第2章 圆与方程 章末检测试卷(二)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆的方程、位置关系、切线与弦长等核心内容，通过典型例题解析将圆的标准方程与一般方程转化、外切相交等位置关系判定、切线性质应用等知识点串联，帮助学生构建完整的圆与直线综合应用知识网络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，设计从基础方程转化到综合应用的分层练习，如通过外切求ab最大值培养推理能力，结合轮船安全预警区问题让学生用数学语言表达现实情境。这种设计兼顾不同水平学生，助力教师精准复习，有效提升学生知识巩固与应用能力。

第2章 <<< 章末检测试卷(二) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于 √ 17 18 19 2.若点P(1,1)为圆A：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0). 因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN. 17 18 19 所以直线MN的斜率为2， 所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 3.圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为 A.2x－y－5＝0 B.x－2y－1＝0 C.x－y－2＝0 D.x＋y－4＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4， 则直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 易知圆心坐标是(1,0)，半径是1，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，直线l与圆有两个交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a,2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心C2(b,2)，半径r2＝2，圆C1与圆C2外切， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知圆M：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M半径最小时圆M的标准方程为 A.(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝25 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝25 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆M化为标准方程即(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1， 圆N化为标准方程即(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 则圆心N(－1，－1)，半径为2，圆M与圆N的方程作差， 得相交弦AB所在直线的方程为(2＋2a)x＋(2＋2b)y－1－a2＝0. 又A，B两点平分圆N的圆周， 则圆心N(－1，－1)在相交弦AB所在的直线上， 可得－2－2a－2－2b－1－a2＝0， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当a＝－1 时取等号，则b2的最小值为4， 17 18 19 故圆M半径最小时圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为在圆O上总存在不同的两点A，B使得AB垂直平分OP， 由垂径定理得，OP垂直平分AB， 又因为AB垂直平分OP， 所以OP的中点与AB的中点重合， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知圆C：x2＋y2－2x＝0，直线l：x＋y＋1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当PC·AB最小时，直线AB的方程为 A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.2x－2y＋1＝0 D.2x＋2y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆的知识可知，P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1， 17 18 19 当直线PC⊥l时，PC最小，从而PA最小，此时PC·AB最小， 直线PC的方程为y－0＝x－1，即y＝x－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以以PC为直径的圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0， 又圆C：x2＋y2－2x＝0， 两圆的方程相减可得x＋y＝0， 即直线AB的方程为x＋y＝0. 二、多项选择题 9.已知圆C：x2＋y2＋2mx－2(m＋1)y＋2m2＋2m－3＝0(m∈R)上存在两个点到点A(0，－1)的距离为4，则实数m可能的值为 A.1 　　　 B.－1　　　 C.3 　　　 D.－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，圆C：(x＋m)2＋[y－(m＋1)]2＝22与圆A：x2＋(y＋1)2＝42相交. 故4－2＜CA＜4＋2， 17 18 19 结合选项知A，C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， ∵圆(x－m)2＋y2＝1的圆心坐标为(m,0)，半径为1， 过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于C， 此时△ABC的面积最小， 易得直线AB的方程为4x－3y＋12＝0，AB＝5， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误； 假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0， 由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0， 解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，所以B正确； 17 18 19 可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确； 若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 故C上不存在点M得MO＝2MA，所以D错误. 三、填空题 12.过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3,7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k， 17 18 19 则点(1,2)到圆心的距离d＝2. 由题意，可知点(1,2)在圆外， 解得3<k<7，则实数k的取值范围是(3,7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是____. 17 18 19 4 由题意知O1(0,0)，O2(m,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件， 四、解答题 15.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆心在第二象限，半径为4，求圆的一般方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为圆心在直线x＋y－2＝0上， 17 18 19 所以D2＋E2＝40. 　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为圆心在第二象限， 17 18 19 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－6y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8. (1)求证：直线l与圆C恒相交； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0， 故直线l恒过点A(3,2). ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 即点A在圆C内， ∴直线l与圆C恒相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当m＝1时，过圆C上的点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围. 由题意知，直线l1的方程为x＝0. 又当m＝1时，l：x＋y＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.为了保证某油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向　　 km处设立观测点A，在平台O的正东方向12 km处设立观测点B，规定经过O，A，B三点的圆以及其内部区域为安全预警区. 17 18 19 如图所示，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得A(－2,2)，B(12,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)某日经观测发现，在该平台O正南10 km的C处，有一艘轮船正以每小时8　 km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为该圆经过O，A，B三点， 所以该圆的方程为x2＋y2－12x－16y＝0， 即(x－6)2＋(y－8)2＝100. 设轮船航线所在的直线为l，则直线l的方程为y＝x－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以直线l与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 即轮船在安全预警区内行驶时长为半小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，与x轴正半轴交于点B. (1)求r的值； 17 18 19 因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)， 所以r2＝25，解得r＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 存在.因为r＝5， 所以圆O的方程为x2＋y2＝25， 依题意，得A(0,5)，B(5,0)， 直线AB的方程为x＋y－5＝0， 又因为△PAB的面积为15， 设点P(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得x0＋y0＝－1或x0＋y0＝11(显然此时点P不在圆上，故舍去)， 所以存在点P(－4,3)或P(3，－4)满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设直线l的方程为y＝kx＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线l的方程为y＝x＋1， 所以圆心C在直线l上，所以MN＝2. 17 18 19 A. 　　　 B.2 　　　C.2 　　　 D.4 由题意得，圆心为(－1,0)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝， 所以所求的弦长为2＝2. 又AP的斜率k＝＝－， 则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，直线AC的斜率k＝1， A.(－2，2) B.(－，) C. D. 则由点到直线的距离公式，得<1，即k2<，解得－<k<. A.2 B. C. D. 所以C1C2＝＝|a＋b|＝3，所以a2＋b2＋2ab＝9， 所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝－≤， 即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为. 则圆心M(a，b)，半径为， 即b＝－a2－a－＝－(a＋1)2－2≤－2，b2≥4， 此时圆M的半径最小，为，圆心M(－1，－2)， A. B. C. D. 所以OP的中点在圆O内， 所以2＋2<1， 即x＋y<4， 又3x0＋2y0－4＝0，所以13y－16y0－20<0， 解得－<y0<2. 所以y0的取值范围为. 所以PC·AB＝4S△PAC＝4××PA·AC＝2PA，而PA＝， 联立解得P(0，－1)， 所以PC的中点坐标为，PC＝， 即2<<6， 解得－－1<m<－2或0<m<－1， 10.已知A(－3,0)，B(0,4)，点C在圆(x－m)2＋y2＝1上运动，若△ABC的面积的最小值为，则实数m的值为 A.－3 　　 B.－ 　　 C. 　　D.－ ∴圆心到直线AB的距离d＝， ∴△ABC的面积的最小值为S＝×5×＝， 解得m＝－，m＝－， ∴实数m的值为－或－. 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则 A.轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9 B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得＝ C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线 D.在C上存在点M，使得MO＝2MA 在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝， 设P(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋8x＝0， 使得＝， 设D(m,0)，E(n,0)，则＝2， 当A，B，P三点不共线时，＝＝， 则＝2，化简得x＋y＋x0＋＝0， 与x＋y＋8x0＝0联立，方程组无解， ∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝， ∴d>r，即<2，且7－k>0， 且<|m|<3. 所以m＝±5，所以AB＝2×＝4. 因为O1A⊥O2A，所以m2＝()2＋(2)2＝25， 14.已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则的最 大值为_______. 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，代数式表示圆上的点(a，b)与定点(－1,1)连线的斜率， 令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝，则的最大值为. 由题意得，圆心C， 所以－－－2＝0，即D＋E＝－4. ① 又因为半径r＝＝4， 由①②可得或 所以－<0，－>0，即D>0，E<0.则 联立解得 ∴联立得交点P(0,5)， ∴PC＝2，∴PQ∈[2－2,2＋2]. 2 所以AB＝＝10(km). 所以解得 圆心(6,8)到直线l：x－y－10＝0的距离d＝＝6<r＝10. 直线l截圆所得的弦长为L＝2＝4(km)， 行驶时长t＝＝＝0.5(h). 所以AB＝5， 所以点P到直线AB的距离为3， 所以点P到直线AB的距离为＝3， 建立方程组解得或 因为直线l与圆C交于两点，所以<1， 解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积. 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设得＋8＝12，解得k＝1， 原点O到直线l的距离d＝＝， 所以△OMN的面积S＝MN·d＝×2×＝. $