模块综合试卷(一)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

模块综合试卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－2)，则3＋4的坐标为(　　) A．17 B．1 C．－1 D．－17 答案　B 解析　由题意，可得向量的坐标为3，向量的坐标为－2，所以向量3＋4的坐标为3×3＋4×(－2)＝1. 2．设a∈R，则“a＝－1”是“直线l1：(2a－1)x＋y－2a＝0与直线l2：(a－3)x＋(5a－7)y＋3＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由题意知，当a＝－1时，直线l1的方程为3x－y－2＝0，斜率k1＝3，直线l2的方程为4x＋12y－3＝0，斜率k2＝－.因为k1k2＝－1，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线l1与l2垂直，则有(2a－1)(a－3)＋1×(5a－7)＝0，解得a＝－1或a＝2，故必要性不成立． 3．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(－1,0)，B(1,0)．点P满足kPA·kPB＝3且|PA|＋|PB|＝4，则|OP|等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设P(x，y)， ∵|PA|＋|PB|＝4>|AB|， ∴点P在椭圆＋＝1上，① ∵kPA·kPB＝3，∴·＝3， 即y2＝3x2－3，② 联立①②可得x2＝，y2＝， 则|OP|＝＝＝. 4．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，且＝2，则等于(　　) A．－a－b＋c B．－a－b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 答案　A 解析　如图，∵＝2， ∴＝. ∴＝－ ＝－(＋) ＝－ ＝－ ＝－－＋＝－a－b＋c. 5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　A 解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，可得2a＝4，即a＝2. 由抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得y1＝2x，y2＝2x， 则A点坐标是(x1,2x)，B点坐标是(x2,2x)， A，B的中点坐标是， 因为A，B关于直线y＝x＋m对称， 所以A，B的中点在直线y＝x＋m上，且AB与直线y＝x＋m垂直，可得＝＋m，即x＋x＝＋m，① 且＝－1， 所以x1＋x2＝－，因为x1x2＝－， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝， 代入①得＝－＋m，解得m＝. 6．若圆C1与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－36＝0关于点P(2，－2)对称，则圆C1与圆C2的公共弦长为(　　) A．6 B．5 C．8 D．8 答案　C 解析　由题意知，圆C2的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝41，圆心C2(－1,2)，半径r＝， 因为圆C1与圆C2关于点P(2，－2)对称， 则由圆的对称性可得点P(2，－2)即为两圆公共弦的中点， 则公共弦长为 2＝2＝8. 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AD，CC1，A1D1的中点，则B1P与MN所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C. D. 答案　A 解析　如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则M(0,1,0)，N(2,2,1)，B1(2,0,2)，P(0,1,2)， 所以＝(－2,1,0)， ＝(2,1,1)， 设B1P与MN所成的角为θ， 所以cos θ＝＝＝， 所以B1P与MN所成角的余弦值为. 8．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A. B. C．(1,0) D．(2,0) 答案　B 解析　方法一　∵抛物线C关于x轴对称， ∴D，E两点关于x轴对称． 可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)． 不妨设D(2,2)，E(2，－2)， 则＝(2,2)，＝(2，－2)． 又∵OD⊥OE， ∴·＝4－4p＝0，解得p＝1， 故C的焦点坐标为. 方法二　∵抛物线C关于x轴对称， ∴D，E两点关于x轴对称． ∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等． 不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入抛物线C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1， 故C的焦点坐标为. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ可以取的值为(　　) A．－17 B．17 C．－1 D．1 答案　BC 解析　由题意，得|a|＝，|b|＝， 所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－×× ＝－2－λ－2＝－4－λ， 即λ2－16λ－17＝0，解得λ＝17或λ＝－1. 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2 B．直线l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3，4,2)，则α⊥β D．直线l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，选项正确；对于B，直线l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l⊂α，选项错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项正确；对于D，直线l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，且u＝－a，所以l⊥α，选项错误． 11．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(　　) A. y1y2＝ B．以AB为直径的圆与直线y＝－相切 C. |OA|＋|OB|的最小值是2 D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点一定在定直线上 答案　ABD 解析　抛物线的焦点为，由题意知，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y＝kx＋， 联立可得x2－2kx－1＝0， 所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1， y1y2＝＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋＝，故A正确； 以AB为直径的圆的圆心为， 即，半径为＝＝k2＋1， 所以圆心到直线y＝－的距离为k2＋＋＝k2＋1，等于半径， 所以以AB为直径的圆与直线y＝－相切，故B正确； 当直线AB与x轴平行时，|OA|＝|OB|＝，|OA|＋|OB|＝<2， 所以|OA|＋|OB|的最小值不是2，故C错误； 直线OA的方程为y＝x＝x，与x＝x2的交点坐标为， 因为＝－，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点在定直线y＝－上，故D正确． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．过点(2，－1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为__________________． 答案　2x－y－5＝0 解析　因为所求直线的方向向量为(1,2)， 所以该直线的斜率为k＝2， 又该直线过点(2，－1)， 因此所求直线方程为y－(－1)＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________． 答案　 解析　由题意，得＝， 所以a＝2，所以c＝＝3， 所以该双曲线的离心率e＝＝. 14.数学中有些优美的曲线显示了数学形象美、对称美、和谐美，曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2就是四叶玫瑰线，则不等式(x2＋y2)3≤16x2y2表示区域所含的整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数为________． 答案　5 解析　因为≤，所以(x2＋y2)3≤16x2y2可化为(x2＋y2)3≤162， 得x2＋y2≤4，圆x2＋y2≤4含9个整点，　 经检验，只有(1,1)，(1，－1)，(－1,1)，(－1，－1)和(0,0)共5个整点满足(x2＋y2)3≤16x2y2. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15．(13分)已知O为坐标原点，圆C过点A(1,2)，B(3,2)，D(2,3)，P为圆C外的一动点，过点P作圆C的切线PQ，Q为切点． (1)求圆C的方程；(5分) (2)在①|PQ|＝|PO|，②|PQ|＝，③∠CPQ＝45°三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知________，求|PO|的最小值．(8分) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)因为kAD＝＝1，kBD＝＝－1， 由kAD·kBD＝－1，得∠ADB＝90°，则AB为圆的直径，所以圆心坐标为(2,2)，半径为1， 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1. (2)若选①|PQ|＝|PO|，设P(x，y)， 则|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2， 即|OP|2＋|CQ|2＝|CP|2， 得x2＋y2＋1＝(x－2)2＋(y－2)2， 化简得P点的轨迹方程为4x＋4y－7＝0， 所以|PO|的最小值为O点到直线的距离d＝. 若选②|PQ|＝， 则由|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2，得|CP|＝2， 即P点的轨迹是以(2,2)为圆心，2为半径的圆， 所以|PO|的最小值为O点到C点的距离减半径， 即|PO|min＝2－2. 若选③∠CPQ＝45°，则|CP|＝|CQ|＝， 即P点的轨迹是以(2,2)为圆心，为半径的圆， 所以|PO|的最小值为O点到C点的距离减半径， 即|PO|min＝2－＝. 16．(15分)如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1和B1C1的中点． (1)求点D到平面BEF的距离；(7分) (2)求BD与平面BEF所成角的余弦值．(8分) 解　(1)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz， 依题意，得B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,4)，F(4,2,4)， 则＝(－2,0,4)， ＝(0,2,4)， 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 则即 由此取z＝1， 可得平面BEF的一个法向量为n＝(2，－2,1)， 又由＝(4，－4,0)， 所以点D到平面BEF的距离为 d＝＝＝. (2)设BD与平面BEF所成的角为θ，则θ∈， 且sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝＝， 所以BD与平面BEF所成角的余弦值为 cos θ＝＝＝. 17．(15分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率；(7分) (2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．(8分) 解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx， 其中c＝. 不妨设A，C在第一象限， 由题意得A，B的纵坐标分别为，－； C，D的纵坐标分别为2c，－2c， 故|AB|＝，|CD|＝4c. 由|CD|＝|AB|，得4c＝， 即3×＝2－22， 解得＝－2(舍去)或＝. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1. 所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线为x＝－c. 由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2. 所以C1的标准方程为＋＝1， C2的标准方程为y2＝8x. 18．(17分)如图所示，已知在四棱锥S－ABCD中，平面SBC⊥平面SAC，四边形ABCD为平行四边形，∠BSC＝∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2. (1)求证：平面SAB⊥平面ABCD；(7分) (2)若直线SC与平面SAB所成角的正弦值为，求平面ASC与平面SCD所成角的余弦值．(10分) (1)证明　因为平面SBC⊥平面SAC，平面SBC∩平面SAC＝SC，且SC⊥SB， 所以SB⊥平面SAC. 又因为AC⊂平面SAC，故SB⊥AC. 因为AB⊥AC，且SB∩AB＝B， 故AC⊥平面SAB. 而AC⊂平面ABCD，故平面SAB⊥平面ABCD. (2)解　由(1)知AC⊥平面SAB，所以∠CSA为直线SC与平面SAB所成的角， 故sin∠CSA＝＝. 又因为AC＝2，所以SC＝2，SA＝2. 在Rt△SBC中，SB＝＝2. 取AB的中点H，连接SH，易得SH⊥平面ABCD，所以SH＝， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，0,0)，C(0，2，0)，D(－2，2，0)，S(，0，)， 故＝(－，2，－)， ＝(－3，2，－)， 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 故 即 取y＝1，得n＝(0,1,2)． 又平面SAC的一个法向量为＝(，0，－)， 所以|cos〈，n〉|＝＝. 故平面ASC与平面SCD所成角的余弦值为. 19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点和抛物线y2＝12x的焦点相同，且椭圆过点(－2，)． (1)求椭圆C的方程；(7分) (2)若直线y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，点C在椭圆上，问平行四边形OACB的面积是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，说明理由．(10分) 解　(1)抛物线y2＝12x的焦点坐标为(3,0)． 由题意，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)， 所以另一个焦点是(－3,0)，c＝3. 根据椭圆的定义有2a＝＋＝4， 所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C：＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)， 将②代入①整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－3) ＝16(3－m2＋12k2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝， 因为OACB是平行四边形， 所以＝＋， 所以x0＝x1＋x2＝， y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， 因为(x0，y0)在椭圆上，代入得 2＋42＝12， 整理得，m2＝(1＋4k2), O到直线AB的距离为d＝， 所以S▱OACB＝2S△OAB＝|AB|·d ＝·|x1－x2| ＝|m| ＝|m|· ＝4|m|· ＝＝3， 所以平行四边形OACB的面积为定值3. 学科网（北京）股份有限公司 $