第二章 2.6.1 双曲线的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线的标准方程这一核心知识点，通过回顾椭圆定义（距离和），类比引入“距离差”构建双曲线定义，系统推导焦点在x轴、y轴的标准方程，形成从椭圆到双曲线的知识迁移支架，涵盖定义辨析、方程求法等关键内容。 以《悲伤的双曲线》歌曲情境导入，结合拉链实验让学生直观感知轨迹形成，培养数学眼光观察现实世界。通过椭圆与双曲线定义、方程推导的类比，发展数学思维的逻辑推理能力，分层例题与练习助力学生用数学语言表达和解决问题，课中辅助探究教学，课后帮助查漏补缺。

2.6.1　双曲线的标准方程 [学习目标]　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 导语 同学们有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．生活中遇到的双曲线的例子有很多，今天我们就来研究数学中的优美曲线——双曲线． 一、双曲线的定义 问题1　回顾椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 提示　如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．根据焦点位置的不同，其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)． 问题2　把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于F1F2的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔(粉笔)就画出一条曲线，同理可画出另一支(如图)．显然曲线上的点满足“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件． 问题3　在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于F1F2的长度，如果截取的长度等于F1F2的长度，其轨迹还是上述图形吗？ 提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线． 知识梳理 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 注意点：(1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 例1　已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　) A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线 C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线 答案　D 解析　 当a＝3时，2a＝6，|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)． 当a＝5时，2a＝10，|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线． 反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 跟踪训练1　已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 答案　D 解析　因为F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线． 二、双曲线的标准方程 问题4　类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 因为|PF1|＝， |PF2|＝， 所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)． 问题5　设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示　－＝1(a>0，b>0)． 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b的大小关系不确定． 例2　(1)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________． 答案　－＝1 解析　由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1， 解得a2＝3，b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)焦距为26，且经过点M(0,12)的双曲线的标准方程是__________． 答案　－＝1 解析　∵双曲线经过点M(0,12)， ∴M(0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 反思感悟　求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式； (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常通过条件列方程组求解． 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论． 跟踪训练2　焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为_________________． 答案　－＝1 解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得 解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 三、双曲线标准方程的辨析 例3　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 答案　B 解析　∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0， 即或 解得k>5或－2<k<2. 反思感悟　双曲线方程的辨识方法 将方程化为标准方程的形式，假如方程为＋＝1，则当mn<0时方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． 跟踪训练3　在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 答案　C 解析　方程mx2－my2＝n可化为－＝1. 由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线． 1.知识清单： (1)双曲线的定义． (2)双曲线的标准方程． (3)双曲线标准方程的辨析． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：双曲线有两支，定义中若没有绝对值，则只能取一支． 1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 答案　B 解析　 设A(1,0)，B(－1,0)， 则由已知得||PA|－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线． 2．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 答案　A 解析　∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴－2＜m＜2. 3．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1 B．1或－2 C．1或 D. 答案　A 解析　由题意知解得a＝1. 4．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程为______________． 答案　－＝1 解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 根据题意得 解得或(舍去)， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 答案　A 解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线． 2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D．(，0) 答案　B 解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝， ∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝，故右焦点坐标为. 3．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由题意得2a＝|－|＝4， 所以a＝2， 又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线C的标准方程为－＝1. 4．双曲线C：－＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|等于(　　) A．9 B．9或1 C．1 D．6 答案　A 解析　因为2c＝8，所以c＝4， 所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2， 根据双曲线的定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4， 所以|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或|MF2|＝9， 当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6<8不符合题意，故舍去； 当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14>8，符合题意， 综上，|MF2|＝9. 5．(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C，给出以下四个判断，其中正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t<1或t>4时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 答案　BCD 解析　当t＝时，曲线C表示圆，故A错误； 若曲线C表示双曲线， 则(4－t)(t－1)<0， 即t<1或t>4，故B正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆， 则 即1<t<，故C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则即t>4，故D正确． 6．(多选)点P为双曲线C上一点，双曲线C的焦点F1，F2分别为椭圆＋＝1的顶点，且|PF1|－|PF2|＝4，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　AD 解析　依题意知，椭圆的顶点为(±4,0)，(0，±2)， ∴当双曲线的焦点在x轴时，c＝4， 又2a＝4，∴a＝2， ∴b2＝c2－a2＝12， 双曲线C的标准方程为－＝1. 当双曲线的焦点在y轴时，c＝2， 又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8， 双曲线C的标准方程为－＝1， 故选AD. 7．(5分)若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________． 答案　±6 解析　当k>0时，方程可化为－＝1， 则c2＝＋k＝，即2×＝6，故k＝6. 当k<0时，方程可化为－＝1， 则c2＝－，故2×＝6，解得k＝－6. 综上所述，k＝－6或6. 8．(5分)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________________． 答案　－＝1(x≥3) 解析　由|MA|－|MB|＝6，且6<|AB|＝10， 故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支． 得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16. 所以点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 9．(10分)动圆M的半径为r，与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解　∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切， ∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1， ∴|MC1|－|MC2|＝4， ∴点M的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， ∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥2)． 10．(10分)求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)双曲线的一个焦点坐标是(，0)，且经过点(－5,2)；(5分) (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．(5分) 解　(1)∵c＝，且焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a2<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 于是双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意，知c＝2. ∵双曲线过点(3，2)， ∴－＝1. 又a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故双曲线的标准方程为－＝1. 11．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(－5,0)和B(5,0)，点C在双曲线－＝1的右支上，则等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　因为点C在双曲线－＝1的右支上， 且A(－5,0)和B(5,0)为双曲线的两个焦点， 所以|CA|－|CB|＝8， 又因为|AB|＝10，所以由正弦定理得 ＝＝＝－. 12．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　据已知条件得焦点在x轴上， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则a2＋b2＝5.① ∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)， ∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程， 得－＝1.② 由①②解得a2＝1，b2＝4， ∴双曲线的方程为x2－＝1. 13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　A 解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)． 14．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________． 答案　－＝1 解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2，得＝－1， ∴·＝－1，∴c＝5， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点(4，－3)，∴－＝1， 又∵c2＝a2＋b2＝25，解得a2＝16，b2＝9， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 15．在△ABC中，|AB|＝4，△ABC的内切圆切AB于点D，且|AD|－|BD|＝2，则顶点C的轨迹为(　　) A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．双曲线的一部分 答案　D 解析　如图，设△ABC的内切圆与边BC，AC的切点分别为E，F， ∴|AD|＝|AF|，|BD|＝|BE|，|CE|＝|CF|， 又|AD|－|BD|＝2，|CA|＝|CF|＋|AF|， |CB|＝|CE|＋|BE|， ∴|CA|－|CB|＝|AF|－|BE|＝|AD|－|BD| ＝2<|AB|＝4且|CA|>|CB|， ∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，除去与AB的交点，故选D. 16．(13分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程． 解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点O为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求双曲线方程为－＝1(x>2)． 学科网（北京）股份有限公司 $