第二章 2.5.1 第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆及其标准方程的综合应用，以椭圆定义和标准方程为基础，构建“方程设法—定义应用—轨迹方程求解”的递进学习支架，涵盖焦点位置判断、共焦点椭圆设法、定义求距离及相关点代入法等具体内容。 资料以生活轨迹现象导入，结合例题变式（如三角形周长与P位置关系）和跟踪训练，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。步骤化解题规范助力数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　椭圆及其标准方程的综合问题 [学习目标]　1.熟练掌握椭圆的定义和椭圆标准方程的特点.2.会用代入法求曲线的轨迹方程． 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子． 例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹．研究与椭圆有关的轨迹问题及其综合问题是本节的重点，下面就让我们共同学习吧！ 一、椭圆的方程的设法 例1　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点P； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点； (3)中心在原点，过点(，－2)，和(0,2)． 解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，焦距为2c0. 由题意有c0＝1，|PF1|＝＝， |PF2|＝＝， 有m＝＝＝， n＝＝2， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)， 将点(，－)代入， 可得＋＝1， 解得k＝5(k＝21舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)， 椭圆过点(，－2)，和(0,2)， 则 解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 反思感悟　(1)求椭圆标准方程的一般步骤 ①定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． ②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ③找关系：根据已知条件建立关于a，b(或m，n)的方程组． ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2)经过A，B两点． 解　(1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1,0)， ∵椭圆过点， ∴2a＝＋＝4， ∴a＝2，b＝， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 把A，B两点代入， 得 解得 ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　已知两个焦点的坐标分别是F1(－8,0)，F2(8,0)， 可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝8， 由椭圆的定义可得2a＝20，即a＝10， 由a，b，c的关系解得b＝＝6， ∴椭圆的方程是＋＝1. 延伸探究 1．若P是方程＋＝1上的任意一点，F1(－8,0)，F2(8,0)，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________. 答案　15 解析　由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20， 故|PF2|＝15. 2．探究1中把|PF1|＝5改为|PF1|∶|PF2|＝3∶1，求|PF1|，|PF2|的值． 解　由|PF1|＋|PF2|＝20和|PF1|＝3|PF2|，可知|PF1|＝15，|PF2|＝5. 3．探究1中△PF1F2的周长是多少？是否与点P的位置有关？ 解　周长l＝2a＋2c＝36，与点P的位置无关． 反思感悟　如果平面内一点的轨迹满足椭圆的定义，首先要明确焦点的位置，然后利用定义解决问题，其好处是“设而不求”． 跟踪训练2　已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹． 解　由sin B＋sin A＝sin C， 可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义． 令椭圆方程为＋＝1， 则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3， 则点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点)． 三、相关点代入法求点的轨迹方程 例3　点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 解　设动点M的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得 ⇒ 即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)． 又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，从而有＋＝1. 整理得动点M的轨迹方程为＋＝1. 反思感悟　相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)． (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程． (4)化简方程得所求方程． (5)必要时注明限制条件． 跟踪训练3　已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足＝，则动点M的轨迹方程是(　　) A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9 答案　B 解析　设动点M(x，y)，Q(m，n)， ∵＝， ∴ 化简得 又点Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上， 故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16， 则动点M的轨迹方程是(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. 1.知识清单： (1)椭圆的方程的设法． (2)椭圆的定义的应用． (3)相关点代入法求点的轨迹方程． 2．方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点． 1．已知椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于(　　) A．1 B．3 C．6 D．10 答案　C 解析　由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6. 2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上均不正确 答案　A 解析　设经过点P和点Q的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则解得 ∴所求椭圆方程为＋x2＝1. 3．“m＝4”是“椭圆＋＝1的焦距为6”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由当|m|<5时，焦点在x轴上， 焦距2c＝6，则c＝3， 由m2＝a2－c2＝16，则m＝±4， 当|m|>5时，焦点在y轴上，由焦距2c＝6， 则c＝3， 由m2＝b2＋c2＝34，则m＝±， 故m＝±4或m＝±， 所以“m＝4”是“椭圆＋＝1的焦距为6”的充分不必要条件． 4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________． 答案　＋＝1 解析　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0,0)，∵＝， ∴∴ ∵点P在x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，∴x2＋2＝4， ∴点M的轨迹方程是＋＝1. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m等于(　　) A．3 B．5 C．3或5 D．2 答案　C 解析　由题意得2c＝2，得c＝1， 当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4， 因为a2＝b2＋c2，所以m＝4＋1＝5， 当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m， 因为a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1，解得m＝3， 综上，m＝3或m＝5. 2．已知椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　因为椭圆C经过点A(－5,0)，B(0,4)， 所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上， 所以椭圆的方程为＋＝1. 3．已知点F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则|PF|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 答案　A 解析　由题意，点F为椭圆C：＋＝1的右焦点， 则F(2,0)，左焦点为F1(－2,0)， 圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4， 可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点， 又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点， 根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4， 所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2. 4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 答案　B 解析　由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|， 所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8， 所以a＝6，c＝4. 所以b2＝36－16＝20，方程为＋＝1. 因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线， 所以x≠0， 故点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)． 5．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点P在椭圆上，若|PF|＝，则点P的横坐标为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为椭圆C：＋＝1， 所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1,0)， 设P(x0，y0)， 则|PF|＝＝， 又＋＝1，解得x0＝或x0＝， 而－≤x0≤，所以x0＝. 6．(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　AD 解析　依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3， 且△PF2F1为直角三角形， ∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16， ∴|F1F2|＝4，∴c＝2， 故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8， ∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12， 又椭圆的焦点位置不明确， 故所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 7．(5分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________________． 答案　＋＝1 解析　由题意知4a＝4，即a＝， 又因为＝，所以c＝1， 所以b＝＝， 故椭圆C的方程为＋＝1. 8．(5分)已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________． 答案　4 解析　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2， ∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线， ∴|ON|＝|ME|＝4. 9．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝，焦点在y轴上；(3分) (2)a＝2，经过点A(－3，－1)，焦点在x轴上；(3分) (3)经过点(0,2)，且焦距为2.(4分) 解　(1)由a＝4，c＝，得b2＝a2－c2＝1， ∵焦点在y轴上， ∴其标准方程为＋x2＝1. (2)根据条件设所求椭圆的标准方程为＋＝1(0<b<2)， 由A(－3，－1)在椭圆上，则＋＝1， 解得b2＝4， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (3)由题意得c＝1， 若焦点在x轴上，则b＝2， ∴a＝， ∴椭圆的标准方程为＋＝1， 若焦点在y轴上，则a＝2，∴b＝， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 10．(12分)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|.当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程． 解　设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x1，y1)， 因为点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|， 所以 因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上， 所以x2＋2＝25，化简得＋＝1. 11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由题意可得该椭圆的半焦距c＝2，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 取椭圆的右焦点F1(2，0)，连接PF1，如图， 因为|OP|＝|OF|， 所以|OP|＝|OF1|， 所以PF⊥PF1， 又|PF|＝4，|FF1|＝4， 所以|PF1|＝＝8， 所以2a＝|PF|＋|PF1|＝12，即a＝6， 所以b2＝a2－c2＝16， 所以椭圆方程为＋＝1. 12．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P是C上一点，若|PF1|－|PF2|＝a，且sin∠PF1F2＝，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　因为|F1F2|＝2，所以c＝ ， P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a， 又|PF1|－|PF2|＝a， 所以|PF1|＝，|PF2|＝， 又sin∠PF1F2＝，则cos∠PF1F2＝， 所以在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2， 即2＝2＋8－2××2×， 整理得a2－4a＋4＝0， 解得a＝2， 则b2＝a2－c2＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 13．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)， 由＝＋， 可得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)， 则 解得 因为|AB|＝5， 所以2＋2＝25， 即＋＝1. 14．(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________. 答案　 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. ∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知＝＝＝. 15．(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________． 答案　＋＝1 解析　设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m， 由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，所以|AF1|＝6m－3m＝3m， 所以|AF1|＝|AF2|，设A(0，±b)， 由＝，得B， 又点B在椭圆上，故＋＝1， 解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2， 故椭圆的方程为＋＝1. 16．(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程． 解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示， 因为|AD|＝|AC|， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2. 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 学科网（北京）股份有限公司 $