第一章 1.2.1 第1课时 空间中的点、直线与空间向量（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间中的点、直线与空间向量核心知识点，先以基点建立空间点的位置向量表示，再通过两点确定直线方向向量并梳理其性质，最后应用方向向量共线或垂直关系解决线线平行与垂直问题，构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料以问题驱动导入激发探究欲，如“如何用向量表示点”培养数学眼光，结合正方体模型通过坐标运算证明线线关系，强化逻辑推理的数学思维，坐标表示与向量运算则提升数学语言表达能力。课中例题解析助教师突破重难点，课后跟踪训练与习题帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 第1课时　空间中的点、直线与空间向量 [学习目标]　1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法.2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题． 导语 在交通繁忙的路口，交警借助专用手势，作为“语言”来指挥交通．在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行．同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？让我们一起去认识它们吧！ 一、空间中的点与空间向量 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示． 知识梳理 用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定．此时，称为点P的位置向量． 例1　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若＝(－)，求点P的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标． 解　(1)＝(－1,1,5)，＝(－3，－1,5)， ＝(－)＝(2,2,0)＝(1,1,0)， ∴点P的坐标为(1,1,0)． (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2， 知＝. 设点P的坐标为(x，y，z)，则 ＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x,5－y,5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x,5－y,5－z)， 即得 因此点P的坐标为. 反思感悟　解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标． 跟踪训练1　已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为________． 答案　 解析　设C(x，y，z)， 则(x－3，y－3，z＋5)＝(－1，－6,6)， 解得x＝，y＝－1，z＝－1， 所以点C的坐标为. 二、空间中的直线与空间向量 问题2　空间中给定一个点A和一个方向能确定一条直线l的位置吗？ 提示　可以，设v为直线l的一个方向向量，定点A在直线l上，对于直线l上任一点B，易知存在唯一的实数λ，使＝λv，从而可以确定直线l的位置． 知识梳理 直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定． (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． 注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点． 例2　(1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C，C1重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A. B. C. D. 答案　ABD 解析　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量． (2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 答案　A 解析　由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2,4,6)， 又＝(1,2,3)，所以向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量． 反思感悟　对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 跟踪训练2　已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝______，z＝________. 答案　－　 解析　∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)， ∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)， ∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ， 解得y＝－，z＝. 三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 例3　(1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 答案　B 解析　∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点． 证明：①BF∥D1E； ②BE不与D1M平行； ③BE⊥C1M. 证明　如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1， 则B(1,0,0)，D1(0,1,1)， E，F，M，C1(1,1,1)． ①∵＝，＝， ∵＝－，∴∥ ， ∵B∉D1E，∴BF∥D1E. ②＝，＝， ∵≠， ∴不与平行，∴BE不与D1M平行． ③＝，＝. ∴·＝(－1)×＋0×0＋×(－1) ＝－＝0， ∴⊥，∴BE⊥C1M. 反思感悟　判定直线平行、垂直的向量法 v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量． (1)v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． (2)v1与v2不平行⇔l1与l2不平行． (3)v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2. (4)v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直． 跟踪训练3　(1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是(　　) A．－6 B．6 C．14 D．－14 答案　A 解析　∵l1∥l2，∴a∥b， 则＝＝，解得n＝－4，m＝6， ∴m＋3n＝6－12＝－6. (2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)， 设E(2,2，t)，则＝(0,1，－2)，＝(2,2，t)． 由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0， 即2－2t＝0.所以t＝1，即B1E＝EB. 1.知识清单： (1)空间点的表示． (2)直线的方向向量． (3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归． 3．常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合． 1．已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不确定 答案　A 解析　因为v2＝－2v1，所以v1∥v2，又l1与l2不重合，所以l1∥l2. 2．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是(　　) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0) C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0) D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8) 答案　D 解析　l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线， A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a. 3．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 答案　A 解析　因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0， a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0， b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0， 所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c， 即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直． 4．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为________． 答案　 解析　设M(x，y，z)， 则＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y－2，z＋3)， 由题意得∴ ∴点M的坐标为. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(－1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 答案　A 解析　＝(1,1,3)，故A满足题意． 2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,3，－7)，b＝(2,4,2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 答案　B 解析　∵a·b＝1×2＋3×4＋(－7)×2＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2. 3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 答案　C 解析　∵＝(－3，－2，－5)，＝(2,6,4)， ＝(－1,4，－1)， ∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB⊥AC.又||≠||， ∴△ABC是直角三角形．故选C. 4．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，若向量n满足n⊥a，且n⊥b，则向量n可取为(　　) A．(1,1,0) B．(0,1,1) C．(1,0,1) D．(1,1,1) 答案　D 解析　由题意，设向量n＝(x，y，z)．因为n⊥a且n⊥b， 则即 令z＝1，可得x＝1，y＝1，所以其中一个向量n＝(1,1,1)． 5．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　B 解析　因为l1⊥l2，所以a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以m＝. 6．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为(　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C. D. 答案　AD 解析　设D(x，y，z)， 则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,1)． ∵DB⊥AC，∴·＝0， ∴－x＋z＝0.① ∵DC⊥AB，∴·＝0，∴－x＋y＝0.② ∵AD＝BC，∴||＝||， ∴(x－1)2＋y2＋z2＝2.③ 由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－. 7．(5分)若直线l1的方向向量为v1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________． 答案　垂直 解析　因为＝(1，－1,1)， 所以v1·＝(1,3,2)·(1，－1,1)＝0， 故两直线的位置关系为垂直． 8．(5分)已知点A(3,5,4)，B(3,0,4)，＝2(O为坐标原点)，则点C的坐标为________． 答案　(9,10,12) 解析　设点C的坐标为(x，y，z)， ∵＝(x－3，y，z－4)，＝(3,5,4)， ∴(x－3，y，z－4)＝(6,10,8)， ∴解得 ∴点C的坐标为(9,10,12)． 9．(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 则，分别为直线MN，RS的方向向量， 所以＝，＝， 所以＝，所以∥， 因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c. 所以＝，所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 10．(10分)如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E，F的坐标；(3分) (2)求证：A1F⊥C1E；(3分) (3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.(4分) (1)解　E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． (2)证明　因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)， 所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)， 所以·＝－ax＋a(x－a)＋(－a)2＝0， 所以⊥，所以A1F⊥C1E. (3)证明　因为A1，E，F，C1四点共面， 所以，，共面． 选取{，}为该平面内的一组基底，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， 所以解得 于是＝＋. 11．一质点从(1,1,1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1,2,3)，2秒后质点所处的位置为(　　) A．(3,5,7) B．(2,4,6) C．(3,5,8) D．(5,3,7) 答案　A 解析　2秒后质点所处的位置为(1,1,1)＋2v＝(1,1,1)＋2(1,2,3)＝(3,5,7)． 12．设直线m的方向向量为(1,1，－1)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,1)为平面α的三点，则直线m与平面α的位置关系是(　　) A．m∥α B．m∥α或 m⊂α C．m⊥α D．m∥α 答案　C 解析　因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,1)为平面α的三点，所以＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)， 设直线m的方向向量为m，则m＝(1,1，－1)， 因为m·＝1×(－1)＋1×1＋(－1)×0＝0，m·＝1×1＋0×1＋1×(－1)＝0， 所以m⊥，m⊥， 又与有公共点B，所以直线m垂直于平面α，即m⊥α. 13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有(　　) A．A1C B．BD1 C．AD1 D．CD1 答案　ABD 解析　如图所示，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)， ∴＝(1,0,1)，＝(1,1，－1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,1)， ∵·＝0，·＝0， ·＝1≠0，·＝0， ∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1. 14．(5分)已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为________． 答案　(1,0,5) 解析　∵D∈平面zOx，∴设D(x,0，z)， 则＝(x，－3，z－5)，＝(－1,3,0)． ∵直线AD∥BC，∴∥， ∴存在λ∈R，使得＝λ， ∴(x，－3，z－5)＝λ(－1,3,0)， ∴ 即 ∴点D的坐标为(1,0,5)． 15．设两条不重合的直线的方向向量分别为m，n，则“存在正实数λ，使得m＝λn”是“两条直线平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若存在正实数λ，使得m＝λn，则m，n共线，可得两条直线平行； 反过来，若两条直线平行，则方向向量共线，但可能同向也可能反向，λ可能为负值． 所以是充分不必要条件． 16．(13分)已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. 证明　设＝a，＝b，＝c. 因为＝(＋)＝(b＋c)， ＝(＋)＝(a＋c)， 所以＝＋＝－a＋(b＋c) ＝(b＋c－a)， ＝＋＝－b＋(a＋c) ＝(a＋c－b)． 所以·＝[c－(a－b)]·[c＋(a－b)] ＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)． 因为||＝||， 所以·＝0， 即⊥. 所以PM⊥QN. 学科网（北京）股份有限公司 $