第二章 2.6.2 双曲线的几何性质（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质及应用，通过类比椭圆的范围、对称性等性质提出探究问题，构建从椭圆到双曲线的知识迁移支架，引导学生逐步掌握双曲线的标准方程、渐近线、离心率等核心内容。 其亮点在于以数学眼光观察双曲线与椭圆的联系与差异，通过例题解析和跟踪训练培养学生的数学思维，如例1将非标准方程化为标准方程的推理过程，结合表格梳理性质强化数学语言表达。课时对点练涵盖基础巩固与综合运用，帮助学生深化理解，教师可借助系统的知识结构和分层练习提升教学效果。

2.6.2 第二章 <<< 双曲线的几何性质 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题. 学习目标 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 导 语 一、双曲线的简单几何性质 二、由简单几何性质求标准方程 课时对点练 三、双曲线的离心率 随堂演练 内容索引 双曲线的简单几何性质 一 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 ＝1(a>0，b >0)的几何性质. 问题 6 提示　1.范围 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2.对称性 x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心. 7 3.顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点. 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个. (2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长. (3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 方程为x2－y2＝m(m≠0). 8 4.渐近线 (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图. 9 5.离心率 (2)e的范围：e>1. 10 标准方程 图形     性 质 焦点 _________________ ____________________ 焦距 |F1F2|＝____ 范围 ____________________ ____________________ F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 知识梳理 11 标准方程 性 质 对称性 对称轴：_________，对称中心：_________ 顶点 _________________ ____________________ 轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____ 离心率 e＝ (e>1) 渐近线 _________ _________ x轴、y轴 坐标原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b 12 (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为y＝±x. (3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. 注 意 点 <<< 13 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 例 1 14 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 15 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 延伸探究 16 17 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 反 思 感 悟 18 跟踪训练 1 (3,0) 19 二 由简单几何性质求标准方程 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 问题4 21 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性， 而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1F2所在直线 为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 22 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式， 23 设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 问题5 24 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ____________________ ____________________ 焦点 _____________ ________________ a，b，c的关系 c2＝_______ (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 知识梳理 25 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上. (2)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b的大小关系不确定. 注 意 点 <<< 26 　求满足下列条件的双曲线的方程： 例 1 27 28 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 29 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2,1)，得λ＝3， (3)过点(2,1)的等轴双曲线. 30 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 反 思 感 悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 31 ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). ③等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0). 反 思 感 悟 32 跟踪训练 2 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 33 34 ∴a2＝3b2. ① 又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， 解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. 35 双曲线的离心率 三 例 3 √ 37 即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 38 反 思 感 悟 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 跟踪训练 3 　已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 √ 40 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a. 因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c， 所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2， 即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2， 得e2－2e－1＝0. 41 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)由简单几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 √ √ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是 A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 √ 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， 1 2 3 4 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________. 1 2 3 4 由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)， 可得e4－6e2＋1＝0， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知双曲线 ＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为 √ 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设双曲线 ＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝± x，则下列结论正确的是 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 √ √ |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知曲线C： ＝1，下列说法不正确的是 A.m<2时该曲线为双曲线 B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件 C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上 √ √ 则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确； 若曲线C为双曲线，则m≠0，∴m2>0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若双曲线y2－ ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ ______. 双曲线的渐近线方程为x±my＝0， 圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1， 则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1. ∵双曲线的渐近线与圆相切， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒 数，则该双曲线的方程为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝64，c2＝64－16＝48， 从而a′＝6，b′2＝12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切. (1)求双曲线的离心率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx， 若双曲线焦点在x轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)， 即(－c－3,4)·(c－3,4)＝0， 所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5， 所以a＝3，b＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即bx＋ay－ab＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是双曲线的离心率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又2c＝10， ∴c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.已知A，B，C是双曲线 ＝1(a>0，b>0)上相异的三个点，点A，B关于原点对称，直线BC，AC的斜率乘积为2，则双曲线的离心率为 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 根据对称性，知B(－x1，－y1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知P为双曲线 －x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线 分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为 A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 76 ∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； 所以a2＝b2＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－ ，求双曲线的离心率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2， 所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2， 所以3b4－2a2b2－a4＝0， － 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1 可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称. (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝(x>a)， 它与直线y＝x的位置关系：在直线y＝x的下方. 它与直线y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图. (1)定义：e＝. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) y＝±x －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) y＝±x 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，半实轴长a＝， 半虚轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 　 已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是_______. 双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝. 因为|PF1|＝， |PF2|＝， 两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 得－＝1(a>0，b>0). 所以－＝±2a， ① 提示　－＝1(a>0，b>0). －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝， ∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为－＝1. (2)一个焦点为(0,13)，且离心率为； 又＝，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为－＝1. ∴所求双曲线方程为－＝1. ①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2). (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程. ∵e＝，∴＝，∴＝， ∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2). ② ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. 　 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝， 则＝2，可得e＝＝. A.＋1 B.＋1 C.2 D.2 因为e>1，所以e＝＋1. 可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6  D.离心率为 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1， 2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±x ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x. 由已知可得2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝， ∴a＝＝＝， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故所求双曲线的方程为x2－y2＝8. ＋1 即－＝1. 解得e2＝3＋2，所以e＝＋1. 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 代入双曲线方程得－＝1，  A. B. C. D. － 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 3.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为 A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x ∵e＝，∴＝，即＝3， ∴b2＝2a2，即b＝a， ∴渐近线方程为y＝±x. － 由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 由双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； D.若曲线C为双曲线且离心率为，则m＝或m＝－ ＋ 由题意知，若曲线C为双曲线，则即m<2且m≠0， 故A不正确； 若该曲线为等轴双曲线，方程可化为－＝1， e＝＝7，即6m2＋m－2＝0， 解得m＝或m＝－，故D正确. ∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝或m＝－(舍去). －＝1 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝， 故所求双曲线的方程为－＝1. 则＝4，解得k＝. 则＝，e＝＝； 若双曲线焦点在y轴上，则＝， e＝＝， 故所求双曲线的离心率为e＝或e＝. 由PF1⊥PF2得·＝0. 由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25， 所以双曲线的方程为－＝1. 10.设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 直线l的方程为＋＝1， 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 11.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由题意，点P(2,1)在双曲线C的渐近线y＝x上， 故所求双曲线C的方程为－＝1. ∴＝，即a＝2b. A. B. C. D. － 所以kAC·kBC＝·＝. 因为点A，C在双曲线上，所以 两式相减得＝ ⇒＝ ⇒ kAC·kBC＝＝2， 所以e2＝＝＝1＋＝3⇒e＝. 设点P(x0，y0)，则有－x＝1， 所以y－4x＝4. 易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0， 所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 14.双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝的距离之比为______. 离心率e＝2，则＝2， ∴b＝a， ∴右焦点F2(2a,0)，直线x＝＝＝， 设点P(x0，y0)，∴－＝1，即－＝1， ∴点P到F2的距离与点P到直线x＝的距离之比为 ＝＝＝＝2. 15.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0).若双曲线N的渐近线与椭圆M的交点恰好在以原点为圆心，椭圆M的焦距为直径的圆上，且交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为_____. －1 依题意双曲线的渐近线方程为y＝±x，又双曲线N 的渐近线与椭圆M的交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，所以＝，所以双曲线N的离心率为e′＝＝2. 设椭圆M的右焦点坐标为(c,0)，则双曲线N的渐近线与椭圆M的一个交点坐标为，因为点在椭圆M上，所以＋＝1， 即＋＝4，＋＝4， 即e2＋＝4， 即e4－8e2＋4＝0， 解得e2＝4＋2(舍去)或e2＝4－2，所以e＝－1. 故椭圆M的离心率为－1. 16.双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0). 由题意，知＝1，c＝2，a2＋b2＝c2， 所以双曲线方程为－＝1. 由题意，设A(m，n)，则kOA＝， 从而n＝m， 又m2＋n2＝c2，所以m＝c，n＝， 所以A， 将点A代入双曲线方程－＝1得， －＝1， 所以34－22－1＝0， 所以＝1，从而e2＝1＋＝2，又e>1， 所以e＝. $