章末检测试卷(一)第一章 空间向量与立体几何（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理空间向量与立体几何知识，涵盖法向量、空间直角坐标系、线面角等核心内容，通过例题解析串联向量运算与几何证明计算，构建“概念-方法-应用”知识网络，帮助学生形成完整知识体系。 其亮点是分层设计复习内容，从选择填空到解答题逐步提升难度，如正方体多命题判断考查逻辑推理，翻折问题培养空间观念。结合错题解析强化运算准确性，助力学生用数学语言描述空间关系，教师可据此高效开展针对性复习。

章末检测试卷(一) 第一章 <<< 一、单项选择题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R， 即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直. 17 18 19 4.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)， 所以2a－b＝(4,2n－1,2). 因为2a－b与b垂直， 所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点 ，点D在yOz平面内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， 则AD的长为 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点D在yOz平面内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， 17 18 19 纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长AB＝3，则点B到平面ACD1的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题意，知B(3,3,0)，A(3，0,0)， C(0,3,0)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3). 17 18 19 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取x＝1，可得n＝(1,1,1)， 17 18 19 二、多项选择题 9.下列命题中错误的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然A正确； 若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B错误； 17 18 19 只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 √ 10.已知直线l过点P(1,0，－1)，且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若n是平面α的法向量， 把各选项代入验证，只有选项D不满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，则下列命题中正确的是 A.AC1⊥EG B.GC∥ED C.B1F⊥平面BGC1 D.EF和BB1所成的角为 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，G(2,1,2)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，B1(2,2,2)，F(0,0,1)，B(2,2,0). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题 12. 对于任意非零空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量； ③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 其中真命题为_____.(填序号) ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ③是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴3＋5－2z＝0，∴z＝4. 17 18 19 14.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，将菱形沿对角线AC折成直 二面角D′－AC－B，折起后直线AB与CD′间的距离为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AC∩BD＝O，在菱形ABCD中， AC⊥BD， 折起后，OD′⊥AC，OB⊥AC， 由于二面角D′－AC－B为直二面角，即平面ACD′⊥平面ABC， ∵平面ACD′∩平面ABC＝AC，OD′⊥AC，OD′⊂平面ACD′，∴OD′⊥平面ABC， 以O为坐标原点，直线OC，OB，OD′分别为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在原菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 15.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)， ＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0， (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2). (1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求实数k； 17 18 19 由已知可得，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)， 因为(a＋kb)∥(2a＋b)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若向量a＋kb与2a＋b所成角为锐角，求实数k的范围. 17 18 19 由(1)知，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)， 因为向量a＋kb与a＋2b所成角为锐角， 所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k,1,2k)·(1,2,2)＝1－k＋2＋4k>0， 解得k>－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点. (1)求证：BM∥平面ADEF； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD. 以D为坐标原点， 的方向分别为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2). ∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：BC⊥平面BDE. 17 18 19 ∴BC⊥DB. 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE， ∴BC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4， N是CC1的中点. (1)求点N到直线AB的距离； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的空间直角坐标系， ∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2). 17 18 19 设点N到直线AB的距离为d1， ∴点N到直线AB的距离为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求点C1到平面ABN的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求证：平面SBD⊥平面SBC； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为CB＝BD,2∠BCD＝90°，故∠CBD＝90°， 所以BC⊥BD. 又SD⊥BC，SD∩BD＝D，所以BC⊥平面SBD. 因为BC⊂平面SBC，所以平面SBD⊥平面SBC. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若点P在线段SC上，且 ＝λ，平面ABP与平面SBD所成角为60°，求λ的值. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可得，平面ABCD⊥平面SBD， 17 18 19 所以SE⊥BD，故SE⊥平面ABCD. 如图，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，S(1,1,2). 所以P(2－λ，4－3λ，2λ)， 设n＝(x，y，z)为平面ABP的法向量， 不妨取n＝(2λ，0，λ－2). 因为平面SBD与平面ABP所成角为60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量为 A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b－c D.－a－b＋c ＝＋＝＋＝＋ ＝＋＝－a＋b＋c. 则有解得 面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为 A. B.3 C. D. 由题可知||＝1，||＝1，||＝. 〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°， 所以||2＝2＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.  A. B. C. D. 解得n＝，所以a＝， 所以|a|＝＝. A A. B. C. D. 所以点D的竖坐标z＝4·sin 30°·sin 60°＝， 所以D(0，－1，). 所以AD＝||＝＝. A. B. C. D. ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1). cos〈，〉＝＝. 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为. A. B. C. D. ∴＝(－3,3,0)，＝(－3,0,3)，＝(0,3,0). 则 ∴点B到平面ACD1的距离为＝. A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0 B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 C.若，共线，则AB∥CD D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误； A.(1，－4,2) B. C. D.(0，－1,1) 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a， 则必须满足 ＝(－2,2,2)，＝(1,1,0)，·＝－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故A正确； ＝(－2,1，－2)，＝(－1,0，－2)，不存在实数λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故B错误； ＝(－2，－2，－1)，＝(0，－1,2)，＝ (－2,0,2)，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1 不成立，故C错误； ＝(－1,0，－1)，＝(0,0,2)，设EF和BB1所成角为θ，则cos θ＝＝＝，由于θ∈，所以θ＝，故D正确. ①a∥b⇔＝＝； 若b有一个坐标分量为0，则＝＝表示不成立，故①不正确； |a|＝＝≠1，不是单位向量，故②不正确； 13.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)， 且⊥平面ABC，则＝________________. ∵⊥，∴·＝0， ∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC， ∴即 解得故＝. ∴OA＝OC＝，OB＝OD′＝1， 设n＝(x，y，z)，令 则 ∴A(－，0,0)，B(0，－1,0)，C(，0,0)，D′(0,0,1)， 则＝(，－1,0)，＝(－，0,1)， 令x＝1，则y＝，z＝，∴n＝(1，，). 又∵＝(，0,1)， ∴AB与CD′间的距离d＝＝＝. (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标； 由题意知，＝(1，－3,2)，点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3,2)＝(λ，－3λ，2λ)，  ＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6)＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3) ∴λ＝，∴D. ∵＝(2,1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝＝， ||＝＝， ∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7， ∴cos B＝cos〈，〉＝＝＝， ∴sin B＝， ∴S＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 所以＝＝，可得k＝. 又当k＝时，(a＋kb)∥(2a＋b)， 可得实数k的取值范围为.  ，， ∴＝＋，故，，共面. 则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)， ∵·＝－4＋4＝0，  ＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 又·＝0，∴BC⊥DE. 则A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，  ＝(0,4,2)，＝(2，2,0)， 则||＝2，||＝4. 则d1＝＝＝4. 则由n⊥，n⊥， 得 令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝. 易知＝(0,0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2， 则d2＝＝＝. ∴点C1到平面ABN的距离为. 19.如图，在四棱锥S－ABCD中，∠DAB＝∠ADC＝2∠ABD＝2∠BCD＝90°，CB＝BD＝2，SB＝SD＝，SD⊥BC. 设E为BD的中点，连接SE，因为SB＝SD＝， 因为＝λ， 易得平面SBD的一个法向量为＝(2,2,0).  ＝(0,2,0)，＝(2－λ，4－3λ，2λ)， 由得 所以|cos〈，n〉|＝＝， 解得λ＝或λ＝－2(舍去).故λ的值为. $