第一章 再练一课(范围：§1.1～§1.2)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦立体几何与空间向量，涵盖共面判定、基底概念、线面垂直、距离与角度计算等核心内容，通过从基础概念到坐标运算的递进设计，搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，通过空间直角坐标系建立、法向量运算等方法，结合正方体、圆锥等实例，培养学生空间观念与逻辑推理能力。学生能提升运算与探究能力，教师可借助系统例题解析提高教学效率。

第一章 <<< 再练一课(范围：§1.1～§1.2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.给出下列命题，其中是假命题的是 A.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d} 也可以作为空间的一个基底 B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若 不能构成空间的 一个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a， b，c}构成空间的一个基底 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ ，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，故A是真命题； B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故B是真命题； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C中，由 有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，故C是真命题； D中，∵a，b，c共面，∴{a，b，c}不能构成基底，故D是假命题. 2.设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于 A.4 B.－4 C.2 D.－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设点O为坐标原点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5.若点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′， ∴A′(2，－3,2)， ∵点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′， ∴B′(2,1，－4)， ∵点M为线段A′B′的中点， ∴M(2，－1，－1)， 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系， B(a，a,0)，A1(a,0，a)， 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令x＝1，则y＝－1，z＝－2， 可得n＝(1，－1，－2). ∴点A1到平面MBD的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.下列结论中，正确的是 A.若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2， －3,1)，则l1∥l2 B.若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝ (6,4，－1)，则l⊥α C.若两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)， 则α⊥β D.若直线l的一个方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的一个法向量是u＝(0,－5,0)， 则l∥α √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，由题意知，b＝－a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确； 对于B，若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝(6,4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误； 对于C，因为u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,0,1)，D(1,0,1)，E(5,6，－4)，则 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面ABE的法向量为n＝(x1，y1，z1)， y1＝0，令x1＝1，则z1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是 A.B1G⊥BC B.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1 C.A1H∥平面AEF D.平面AEF与平面AFC所成的角为 √ √ 由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，所以选项A不正确； 连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确； 由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，F(1,2,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的一个法向量为n＝(2,1,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.在直三棱柱ABC－A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′ 的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA′所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设直三棱柱ABC－A′B′C′中，所有的棱长都为2， 11.棱长为1的正方体ABCD－EFGH如图所示，P，Q分别为直线AF，BG 上的动点，则线段PQ长度的最小值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系，设P(1，y0,1－y0)，Q(x0，1，x0)，当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面所成的角分别为 60°和45°，AC＝2，点P为线段B1C上一点，则 的最小值为___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图. 因为CC1⊥平面A1B1C1D1，所以∠CB1C1＝60°， ∠DC1D1＝45°， 设DD1＝x，则C1D1＝x，CC1＝x， 因为AC＝2，所以A1C1＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当C1P⊥B1C时，C1P取最小值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为三棱锥O－ABC所有棱的长都为1， 所以a2＝b2＝c2＝1， 14.如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)MN∥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有A(0,0,0)，P(0,0，a)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0). 方法一　∵M，N分别为AB，PC的中点， 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. ∴MN∥平面PAD. 36 (2)平面PMC⊥平面PDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， ∵n1·n2＝0－b＋b＝0， ∴n1⊥n2，故平面PMC⊥平面PDC. 15.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形， P为DO上一点，PO＝ DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以PA⊥PB，同理PA⊥PC， 又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求二面角B－PC－E的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 过O作ON∥BC交AB于点N， 因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  ，， a＋b ，， 由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4. 3.已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C的坐标为 A. B. C. D. 因为C为线段AB上一点，所以＝t， 又因为||＝||，所以t＝， 所以＝＋t＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝. 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为 A.，－ B.－，－ C.－， D.， 由题意知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.  A. B.3 C.5 D. ∴|MA|＝＝5. A. B. C. D. 则D(0,0,0)，M， ∴＝，＝(a，a,0)，DA1＝(a,0，a). 则即  d＝＝＝a. 对于D，因为u＝－a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. A.＝4－3 B.A，B，C，E四点共面 C.向量是平面ABC的一个法向量 D.OE与平面ABE所成角的正弦值为 由题意知＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(4,6，－4)， 所以4－3＝4(0,2,0)－3(－1,0,1)＝(3,8，－3)≠，故A错误； 设＝x＋y， 即解得 即＝3－4， 设＝λ，即(－1,0,1)＝λ(0,2,0)，即显然无解，即与不共线，所以A，B，C，E四点共面，故B正确； 因为＝(1,0,1)，所以·＝0，·＝1×(－1)＋1×1＝0， 所以⊥且⊥，所以向量是平面ABC的一个法向量，故C正确； 即OE与平面ABE所成角的正弦值为，故D错误. 所以 所以n＝(1,0,1)，＝(5,6，－4)，设OE与平面ABE所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， ＝(0,2，－1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－1)， ＝(0,0,2)， 所以·n＝0，所以A1H∥平面AEF，所以C选项正确； 由图可知，AA1⊥平面AFC，所以是平面AFC的法向量， 则cos〈，n〉＝＝. 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 故平面AEF与平面AFC所成角的大小不是，所以D不正确. 则A(0,0,0)，M， B(，1,0)，N，所以＝，＝. 设AM与BN所成角为θ，则cos θ＝＝＝. 则＝(x0－1,1－y0，x0＋y0－1)，  ＝(0,1，－1)，＝(1,0,1)， 由 解得x0＝y0＝， 所以P，Q， 所以|PQ|min＝＝. ·  C1B1＝x，D1A1＝x， 所以D1C＋D1A＝A1C， 即x2＋2＝22，解得x＝， 所以CC1＝，C1B1＝1，B1C＝2， 所以·＝·(＋) ＝·＋2＝2， 最小值为＝＝， 所以2的最小值为， 即·的最小值为. 13.如图，三棱锥O－ABC所有棱的长都是1，点D 是棱AB的中点，点E在棱OC上，且＝λ， 记＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量； ＝＋＋＝＋－＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc. (2)求||的最小值. a·b＝a·c＝b·c＝， ||2＝2＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c ＝＋λ2－λ＝2＋， 故当λ＝时，||取得最小值，且||min＝＝. ∴M，N. ，， ∴＝，  ＝(0,0，a)，＝(0，a,0). ∴＝＋. 方法二　由方法一知＝. 易知为平面PAD的一个法向量，  ＝(b,0,0)，∴·＝0， ∴⊥，又MN⊄平面PAD， 由(1)，知M， 则即 解得令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b). ∴＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a). 得令z2＝1，则n2＝(0,1,1)， 则即 所以PO＝DO＝，  PC＝＝，PB＝＝， 又△ABC为等边三角形，则＝2OA， 则DO＝，CO＝BO＝AE＝， 所以BA＝，PA＝＝，  PA2＋PB2＝＝AB2，则∠APB＝90°， 则E，P，  B，C，  ＝，  ＝，＝， 由 得 令x1＝，得z1＝－1，y1＝0， 所以n＝(，0，－1)， 由 得 令x2＝1，得z2＝－，y2＝， 所以m＝， 故cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角B－PC－E的余弦值为. $