第一章 1.1.2 空间向量基本定理（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦共线向量、共面向量定理及空间向量基本定理，通过“平面向量基本定理能否推广到三维空间”的问题导入，搭建从二维到三维的认知支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以问题链驱动探究，如共线共面定理适用性讨论、空间向量分解唯一性证明，培养数学思维。结合长方体四点共面证明、基底表示向量步骤等实例，强化数学语言表达，助力学生发展空间观念，为教师提供系统的定理应用与分层练习资源。

1.1.2 第一章 <<< 空间向量基本定理 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 学习目标 我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量.通过今天的学习，我们一起去寻找答案. 导 语 一、共面向量定理 二、空间向量基本定理 课时对点练 三、空间向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 共面向量定理 一 提示　共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量. 平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，它适用于空间向量. 共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容是什么？它们适用于空间向量吗？ 问题1 1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在 的实数λ，使得 . 2.共面向量定理： (1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b ，则对该平面内任意一个向量c，存在 的实数对(x，y)，使得c＝ . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b ，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在 的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. (3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点 ，则点P在平面ABC内的充 要条件是，存在 的实数对(x，y)，使 ＝ . 唯一 b＝λa 不共线 唯一 xa＋yb 不共线 唯一 不共线 唯一 知识梳理 注 意 点 <<< 8 　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点 例 1 9 10 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. (2)四点共面：证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 反 思 感 悟 证明空间向量共面或四点共面的方法 11 　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 跟踪训练 1 12 13 ∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 14 二 空间向量基本定理 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？ 问题2 16 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)， 17 请证明有序实数组的唯一性. 问题3 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 18 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. ①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. ②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的 或 . ③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合 能生成所有的空间向量，空间向量的一组基底记为 .此时a，b，c都称为_______；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 不共面 线性组合 线性表达式 xa＋yb＋zc {a，b，c} 基向量 知识梳理 19 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 注 意 点 <<< 20 例 2 21 ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， 22 23 24 25 反 思 感 悟 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 用基底表示向量的步骤 跟踪训练 2 27 28 29 空间向量基本定理的应用 三 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点A为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°. 例 3 31 {a，b，c}为一组基底. ＝a·b＋a·c－b·c－c2 ＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1 32 ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6， 33 反 思 感 悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧 根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直.可求两向量的数量积、夹角、长度. (1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 跟踪训练 3 √ OA，OB，OC两两互相垂直， 同理∠ABC，∠BCA均为锐角.故△ABC为锐角三角形. 35 90° 36 37 1.知识清单： (1)共线向量基本定理、共面向量定理. (2)空间向量基本定理. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为 A.a B.b C.c D.2a √ 1 2 3 4 对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D. 1 2 3 4 √ A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面 C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面. 1 2 3 4 4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点. 16 1 2 3 4 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. 1 2 3 4 0 ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的是 A.{3a，a－b，a＋2b} B.{2b，b－2a，b＋2a} C.{a,2b，b－c} D.{c，a＋c，a－c} √ 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为空间的一组基底； 同理可判断B，D中的向量共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AE(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为 √ xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)关于空间向量，以下说法正确的是 A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C.设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间 的一组基底 D.若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据平面向量基本定理可知，空间的三个向量中，若有两个向量共线，那么这三个向量一定共面，故A正确； 由于 ＝1，所以根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面，故B正确； 因为{a，b，c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，所以a＋b，b＋c，c＋a也不共面，因此{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故C正确； a·b<0，则〈a，b〉可以是钝角，也可以是180°，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG. 3a＋3b－5c 9.已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)证明：E，F，G，H四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接EG，BG. 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面. (2)证明：BD∥平面EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又BD⊄平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：AA1⊥BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值. ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，M是线段CC1的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长AG交BC于点D，连接PD，则D为BC的中点， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这 两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A－A1C1D1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝AOC＝θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即OG⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋y (1)与共线，则A，B，C，D四点不一定共线. (2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝1，反之亦成立. M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. 因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面. ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1). 设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋＝＋， ∴，，为共面向量. 从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 使得＝xi＋yj. 两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k. (1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝ －3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底. 假设，，共面. 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一组基底. (2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点.试用基底{a，b，c}表示向量，，，. 连接BO(图略)，则＝＝(＋) ＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋) ＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. 连接AN(图略)，则＝＋. 由ABCD是平行四边形，得＝＋＝a＋b， 则＝－＝－(a＋b). 又＝－＝b－c， 故＝＋＝－＝－ ＝b－(b－c). 故＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c) ＝(－a＋b＋c). 连接AD1(图略)，则＝＋. ＝－＝－(a＋b)， ＝＋＝b＋c， 故＝＋＝－(a＋b)＋b＋c ＝－a＋b＋c. (1)求·； 如图，令＝a，＝b，＝c， ∵＝b＋c， ＝－＝a－c， ∴·＝(b＋c)·(a－c) ＝－1＝－. (2)求的模. ∵＝a＋b＋c， ∴||2＝|a＋b＋c|2 ∴||＝. 所以·＝(－)·(－)＝·＝||2>0， 所以〈，〉为锐角， (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则与所成的角为______. 令＝a，＝b，＝c， ＝＋＝a＋b， ＝－＝＋－－－ ＝＋－－－＝－－＝a－b－c， 故·＝· ＝a2－a·b－a·c＋b·a－b2－b·c＝×4－×8＝0， 即⊥，则与所成的角为90°. 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝·[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A； 对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排 除B； 2.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于 A.(b＋c－a) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) 由题意知＝－＝－(＋).因为＝a，＝b，＝c，所以＝(c－b－a). 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6＝＋2＋ 3，则 由6＝＋2＋3， 得－＝2(－)＋3(－)， 即＝2＋3，∴，，共面， 则：(1)·＝____； ＝b·＝|b|2＝42＝16. 设＝a，＝b，＝c， ·＝·(＋) ＝·(a＋c) (2)·＝____.  ·＝(＋)·(＋) ∵＝(a－b)，∴与a，b共面， 2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是 A. B. C. D.或 ∴a，b，不能构成空间基底. 3.如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于 A.a－b＋c B.－a＋b＋c C.a－b＋c D.－a＋b＋c ∵E是CD的中点，＝b，＝c， ∴＝(＋)＝(b＋c). ＝＋＝－＋， 又＝a， ∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c. A.＝－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 对于C，由＋＋＝0，得＝－－，则，，为共面向量，即M，A，B，C四点共面； 对于A，由＝－－，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面； 对于B，由＝＋＋，其系数和＋＋＝≠1，所以M，A，B，C四点不共面； 对于D，由＋＋＋＝0，得＝－(＋＋)，其系数和为－3，不为1，所以M，A，B，C四点不共面. A.，－1，－ B.，1， C.－，1，－ D.，1，－ 由空间向量基本定理，得 解得 B.若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四 点共面 ＋＋ ∵2＝2＋2＋2 ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋， ∴＝(＋＋). 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，， 作为基向量，则＝____________________. (＋＋) ＝－＝－ ＝＋ ＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c. 8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝____________. ＝＋＝＋(＋ ) ＝＋＋＝＋， 方法一　∵＝－＝－＝，∴EH∥BD. 方法二　∵＝＋＝2＋2 ＝2＝2(＋)＝2＋2， 又，不共线， ∴与，共面. 设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1， ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝＝ ＝＝， ∴线段AC1的长为. ∵＝c，＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，即AA1⊥BD. 由(1)知＝a＋b＋c，∵＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c) ||＝＝ ＝＝， ∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝， ∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 中点，点N在线段BA1上，且BN＝2NA1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于 A. B.－ C.2 D. 由题意可知＝＋＝＋＋＝－＋－＋(－)＝－＋，所以x＝，y＝－1，z＝，故x＋y＋z＝－. 12.点G是三棱锥P－ABC的底面△ABC的重心，且满足λ＝＋＋，则λ为 A.1 B.2 C.3 D.4 所以＝(＋)， 因为G为△ABC的重心，则＝， 即－＝(－)， 所以＝＋＝(＋＋)， 即3＝＋＋，故λ＝3. 13.(多选)若向量，，的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量，，成为空间一组基底的关系的是 A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，，，共面； 对于B，D，易知，，共面； 故只有C中，，不共面，只要，，共面，就不能作为一组基底. 14.如图，在三棱锥O－ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若＝k，＝m，＝n，则＋＋＝_____. 由题意可知，＝＝(＋) ＝ ＝ ＝＋＋. 使＝λ＋μ， 所以－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)k＋λm＋μn， 所以 所以＋＋＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝. 15.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位 置所构成的几何体的体积是______. 其体积是××1×1×1＝. 又设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. ∵＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)， ∴⊥， ＝c－b， ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. $