培优02 整式的乘法章末题型归类（3种题型17重难点突破）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优02 整式的乘法章末题型归类 题型1 幂的运算 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】在运用同底数幂的运算法则时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂. 重难点一 幂的运算 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 3．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 4．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）观察下列式子回答问题． (1)已知：，求的值； (2)已知：，求的值； (3)已知：，，求的值． 重难点二 利用幂的运算比较大小 5．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 7．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 重难点三 通过已知幂，求字母之间存在的关系式 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 9．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 10．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 11．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 重难点四 已知两个幂的值求代数式的值 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）实数a，b，c满足，，，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知满足，则代数式的值为 ． 15．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知 ，则代数式 ． 题型2 整式的乘法 重难点一 整式的乘除混合运算 16．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算： (1) (2) 简便运算： (3) (4) 重难点二 化简问题 20．（21-22八年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，  其中a、b满足． 21．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，已知满足． 22．（24-25八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)其中，． 重难点三 根据单项式/多项式与多项式相乘不含某项求参数 解题方法：在多项式乘多项式的展开式中，若同类项的系数和为零，则可以说化简结果不含或不存在这一项.合并同类项时若系数的和中含有待定字母，且存在不含或不存在这一项的已知条件，则可根据系数和为零求出待定字母的值. 23．（2023七年级下·全国·专题练习）要使中不含有的四次项，则等于(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2021七年级下·江苏·专题练习）若恒成立，则 ． 25．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 26．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 27．（22-23八年级上·江西赣州·期末）若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)比较的大小； (3)是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 重难点四 与整式乘法有关的无关型问题 28．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 29．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． 30．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 重难点五 与整式乘法有关的错解问题 31．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 32．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 33．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 34．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 重难点六 整式混合运算的应用 35．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 37．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 38．（2024·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 39．（24-25八年级上·河南新乡·期中）阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 40．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 重难点七 与整式乘法有关的新定义问题 41．（24-25七年级下·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 42．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们定义：．例如． (1)计算：________； (2)按这个规定请你计算：当时，求的值． 43．（21-22七年级下·广东佛山·阶段练习）定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 重难点八 整体代入法 解题方法：在整式运算中，对于较复杂的算式中相同的部分，或者有着倍数关系的部分，将整个部分用新的 字母代替可以起到化繁为简或者降次、消元的效果，使得计算简便. 45．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 46．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 47．（23-24八年级上·全国·课堂例题）先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 48．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）请阅读以下材料： [材料]若，，试比较，的大小． 解：设，那么，． 因为， 所以． 我们把这种方法叫做换元法． 请仿照例题比较下列两数大小：，． 题型3 乘法公式 重难点一 利用乘法公式进行计算 49．（25-26八年级上·北京·阶段练习）若，则的值为 ． 50．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 51．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则 ． 53．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 重难点二 对完全平方式变形求值 54．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 55．（2025八年级上·全国·专题练习）若，，，，则 ． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，试求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 57．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 58．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 重难点三 配方法的应用 59．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 60．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 61．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 重难点四 乘法公式在几何图形中的应用 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 63．（25-26八年级上·全国·课后作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积． 64．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 65．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：；    公式②：；公式③：    公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 66．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 67．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 68．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 重难点五 利用乘法公式进行简便计算 69．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 71．（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 72．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）简便运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 整式的乘法章末题型归类 题型1 幂的运算 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】在运用同底数幂的运算法则时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂. 重难点一 幂的运算 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则进行运算，然后再进行变形，整体代入求值即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ， 把代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 4．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）观察下列式子回答问题． (1)已知：，求的值； (2)已知：，求的值； (3)已知：，，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）先将底数都化为2，再运用同底数幂的乘法计算即可． （2）把底数化成2后利用幂的乘方及同底数幂的乘法计算即可． （3）利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解： ∴，解得． （2）解： ∵ ∴ （3）解： 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的计算及逆运算，能够熟练运用公式进行计算是解题关键． 重难点二 利用幂的运算比较大小 5．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，将a、b、c转化为同指数，比较底数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴bac， 故选B． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方公式逆用，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将，然后比较即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 重难点三 通过已知幂，求字母之间存在的关系式 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：由定义可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 11．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 重难点四 已知两个幂的值求代数式的值 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）实数a，b，c满足，，，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，代数式求值．根据同底数幂的除法运算可得，，则可得，，然后代入计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， 故选：D． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知满足，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，利用平方差公式计算，求解代数式的值，由条件可得，再逐步代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； 故答案为： 15．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知 ，则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，分式的求值，由得，变形后可得，从而，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 题型2 整式的乘法 重难点一 整式的乘除混合运算 16．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，整式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）根据单项式乘多项式及多项式乘以多项式法则运算，再合并即可； （3）先算多项式除以单项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式即可； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （3）先运算积的乘方，然后根据多项式除以单项式解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了整式混合运算，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和多项式乘以多项式计算，再进行整式的加减法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行整式的加减法即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行整式的加减法即可； （4）先计括号内的单项式乘以多项式，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 19．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算： (1) (2) 简便运算： (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算、乘法公式、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方、单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算整式加减即可 （3）提取公因式，再进行计算即可； （4）利用完全平方公式因式分解即可计算． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ； （4）， ， ， ， ． 重难点二 化简问题 20．（21-22八年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，  其中a、b满足． 【答案】，8 【分析】本题主要考查整式的混合运算以及代数求值，绝对值和平方的非负性，涉及完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式计算括号内，然后合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则进行化简，然后根据绝对值和平方的非负性求出，，再求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴且 ∴，， ∴原式． 21．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，已知满足． 【答案】，2 【分析】本题主要考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ， ， ，即， 故原式． 22．（24-25八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)其中，． 【答案】(1)， (2)，40 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式法则和合并同类项法则化简，然后把a的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式和合并同类项法则化简，然后把a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 重难点三 根据单项式/多项式与多项式相乘不含某项求参数 解题方法：在多项式乘多项式的展开式中，若同类项的系数和为零，则可以说化简结果不含或不存在这一项.合并同类项时若系数的和中含有待定字母，且存在不含或不存在这一项的已知条件，则可根据系数和为零求出待定字母的值. 23．（2023七年级下·全国·专题练习）要使中不含有的四次项，则等于(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】展开后合并同类项，令四次项的系数为零计算即可． 【详解】原式 中不含有的四次项， ， 解得：． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减中不含某项问题，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 24．（2021七年级下·江苏·专题练习）若恒成立，则 ． 【答案】-4 【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案． 【详解】解： ， 恒成立， ，，， ，，， 所以． 故答案为：-4． 【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键． 25．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)式子不是完全平方式，理由见解析 【分析】（）根据多项式乘以多项式的运算法则化简式子，再根据结果中不含项和项，得出项和项的系数为，解方程即可求解； （）把（）所得结果代入式子即可说明； 本题考查了多项式乘以多项式不含某项的问题，完全平方式，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ∵化简的结果中不含项和项， ∴，， 解得，； （2）解：式子不是完全平方式，理由如下： 由（）得，，， ∴， ∴式子不是完全平方式． 26．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项与项， ， 解得：； （2）解：． 27．（22-23八年级上·江西赣州·期末）若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)比较的大小； (3)是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）利用多项式乘法法则展开后合并同类项，根据积中不含x项与项得到即可得到p，q的值； （2）根据（1）中得到的p，q的值分别计算，即可得出结论； （3）把p，q的值代入进行判断和分解因式即可． 【详解】（1） ∵多项式中不含x项与项， ∴ ∴； （2），，， ∴； （3）是完全平方式， ∵． 【点睛】此题考查多项式乘法、负整数指数幂、零指数幂、因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 重难点四 与整式乘法有关的无关型问题 28．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义得出，进行求解即可； （2）根据题意得出，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， ； （2）解： ∵值与x无关， ∴ 解得， ∴． 29．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． 【答案】a的值为300 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的乘法运算，设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，结合总利润等于销售两种自行车的利润之和列代数式，再整理即可得到答案． 【详解】解：设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，此时获 得的总利润为： ， 要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，即商店获得的利润与 x 无关 ， ， a的值为300． 30．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)，． (2)， 【分析】（1）根据整式的乘法运算以及加减运算法则进行化简，然后令含的项的系数为零即可求出答案． （2）先把原式整理，根据非负性得出结论，即可作答． 本题考查多项式乘多项式法则、非负性以及完全平方公式的变形运算，本题属于基础题型． 【详解】（1）解： ， 此代数式的值与的取值无关， ∴ ，． （2）解：，， ， 由于，， 故当，时， 即时， 此代数式有最小值为． 重难点五 与整式乘法有关的错解问题 31．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（）；（） 【分析】（）把代入求出结果，进而根据的值与无关得到含项的系数为，据此即可求解； （）根据题意求出这个多项式，再列出正确的算式计算即可； 本题考查了整式的加减无关型问题，单项式乘以多项式，掌握整式是运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴； （）这个多项式为， ∴正确的计算结果是． 32．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 33．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到，，解关于的方程组即可求出a、b的值； （2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为， 那么， 可得 乙抄错为，得到的结果为， 可知 可得， 解关于的方程组，可得，； （2）正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键． 34．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则． （1）先根据平方差公式和合并同类项法则求出，再根据，求出，最后再列出算式，利用多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则求出即可； （2）把代入（1）中所求的，进行计算即可． 【详解】（1）解： , ∵， ， ∴, ∴ ； （2）当时， ． 重难点六 整式混合运算的应用 35．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是把长方形的长与宽用含、的代数式表示出来，再根据长方形的面积公式用含、的代数式把各部分的面积表示出来． （1）根据小长方形的摆放位置可知正方形的边长为，所以正方形的面积为，用正方形的面积减去个小长方形的面积即可得到空白部分的面积； （2）根据小长方形的摆放位置可知大长方形的长为，宽为，可知长方形的面积为，用大长方形的面积减去个小长方形的面积，即可得到空白部分的面积； （3）根据图中空白部分的面积为可得：，根据图中空白部分的面积为，可得：，解方程求出的值，即为小长方形的面积． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的面积为， 由图可知，正方形的边长为， 正方形的面积为， 空白部分的面积为； （2）解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中共有个小长方形， 图4中的空白面积为：； （3）解：图中的空白面积为：， ， 图中的空白面积为：， ， 解得：， 图中的小长方形的面积为． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 【答案】(1)， (2)①3；②9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接根据图2、图3列代数式即可； （2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可； （3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：当正方形的边长为x时， 图2中阴影部分的面积：； 图2中阴影部分的面积：； 故答案为：，． （2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， ∴，即， ①， ∴． ② ． （3）解：，理由如下： 当正方形的边长为x时， 由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：， 由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：， ∴ ， ∵， ∴． 37．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，运用整式的加减法运算即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，运用整式的除法运算即可得到结果． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：； （2）解：另一个长方形的宽： ． 38．（2024·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、整式的混合运算、解不等式等知识点，掌握整式混合运算法则成为解题的关键． （1）由题意列式表示出C，然后再运用整式的乘法运算法则计算即可； （2）将B、C代入运用整式的混合运算发展化简可得，最后根据整式的值大于5列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 程序自动呈现的整式为． （2）解： ， 整式的值大于5， ，解得， 为正整数， 的最小值为1． 39．（24-25八年级上·河南新乡·期中）阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 【答案】(1)B (2) (3)2 【分析】本题考查了多项式的除法，解题的关键是掌握多项式除多项式的运算规则． （1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为0，即可求解， 【详解】（1）解：根据整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：； （3）解： ∵商为整式，余数为0， ∴， ， 故答案为：2． 40．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为10 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据长方形的面积公式求出、，再作差即可得解； （2）先求出正方形的周长，再得出正方形的边长，从而表示出，再求出即可得解． 【详解】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，， ∴ ， 故； （2）解：正方形的周长为：， 正方形的边长为：， ， ， 故与的差是定值，定值为10． 重难点七 与整式乘法有关的新定义问题 41．（24-25七年级下·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 42．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们定义：．例如． (1)计算：________； (2)按这个规定请你计算：当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义运算、整式的四则混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的运算法则以及新定义的算法是解题的关键． （1）直接根据新定义的运算法则求解即可； （2）先根据新定义的运算法则和整式的四则运算法则计算、变形，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． 43．（21-22七年级下·广东佛山·阶段练习）定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义新运算计算即可； （2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论； （3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ∴，， ∴①，②， ①＋②×2得，， ∴的值与m无关； （3），， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键． 重难点八 整体代入法 解题方法：在整式运算中，对于较复杂的算式中相同的部分，或者有着倍数关系的部分，将整个部分用新的 字母代替可以起到化繁为简或者降次、消元的效果，使得计算简便. 45．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 46．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法，即可求解； （2）根据已知条件可得，进而可得，代入代数式，即可求解； （3）根据题意可得，代入代数式，得出，根据完全平方公式的变形，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴原式 （3）解： ； 依题意，系数为1 ∴ ∴ ∵，，， ∴原式 ∴最小值为． 【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，完全平方公式，整体代入法求解代数式的值，熟练的构造整体是解本题的关键． 47．（23-24八年级上·全国·课堂例题）先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 【答案】，． 【分析】把底数化为，再按照单项式的乘法与除法运算进行计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与除法运算，积的乘方运算，单项式的乘法与除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 48．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）请阅读以下材料： [材料]若，，试比较，的大小． 解：设，那么，． 因为， 所以． 我们把这种方法叫做换元法． 请仿照例题比较下列两数大小：，． 【答案】 【分析】令，，分别根据，的式子列出关于，的整式，然后相减并化简即可． 【详解】解：令，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，有理数的大小比较．理解例题的解题思路是解题的关键． 题型3 乘法公式 重难点一 利用乘法公式进行计算 49．（25-26八年级上·北京·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值．熟练掌握平方差公式，开平方，是解题的关键． 运用平方差公式展开，移项合并同类项，开平方，即得． 【详解】解：∵， 用平方差公式展开，得． 移项合并同类项，得． 开平方，得． ∴，或． 故答案为：7或． 50．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 51．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即完全平方公式：．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 53．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】35 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出m，n的值，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 重难点二 对完全平方式变形求值 54．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是关键． 根据，，由得，即可求解． 【详解】解：∵，， 由得， ∴ 故答案为：1． 55．（2025八年级上·全国·专题练习）若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【详解】 ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，试求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 7 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将已知的等式两边平方整理即可求得； （2）将（1）的结论两边平方，整理即可求得； （3）将要求的式子平方，将（1）的结论代入即可求得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 即； （2）， 则， ， ； （3）， ， ， 则． 故答案为：（1）7；（2）；（3）． 57．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形运算，代数式求值，平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式，将化为，再将代入计算即可； （2）先计算的值，再根据平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 答：的值为； （2）∵， ∴ ， ∴． 58．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查代数式的恒等变形能力，涉及完全平方公式的灵活运用，以及利用已知条件求代数式的值．通过已知的和，利用完全平方公式将所求代数式转化为已知条件的组合形式．例如：①可由得到；②可由得到；③需结合与的乘积关系求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：由（2）得，则． （4）解：∵， ∴． 重难点三 配方法的应用 59．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 60．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 61．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 重难点四 乘法公式在几何图形中的应用 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 63．（25-26八年级上·全国·课后作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数，理由见解析 (3)5100 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3） ． ． 64．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， 可以得到的乘法公式是； 故答案为：；；； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 65．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：；    公式②：；公式③：    公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【答案】（1）①④；（2）①4；②12；（3）14 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解； ②利用（1）中的公式③和公式④即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解； 掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把两边平方得：， ∴，即， ∴ ； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 66．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴正方形的面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， 则， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 67．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）；（4）18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，以及对完全平方公式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变的能力． （1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积； （2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解； （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式； （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ∵，， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． 68．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)53 (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 重难点五 利用乘法公式进行简便计算 69．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)20002 (2)4 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）将原式变形为，利用完全平方公式展开计算； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 71．（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 72．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）简便运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3.98 (2)10000 (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）用提公因式法分解即可； （2）用完全平方公式分解即可； （3）用提公因式法分解即可； （4）构造平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $