专题07 期中真题百练通关53题8大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题07 期中真题百练通关（53题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 数轴与绝对值问题 题型4 新定义与新运算题 题型2 定义新运算与规律探究问题 题型5 绝对值的应用综合题 题型3 整式加减及应用问题 题型6 整式加减及化简求值综合题 题型7 整式加减的应用题 题型8 数轴上动点的综合题 题型一 数轴与绝对值问题（共10小题） 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数轴上点A向右移动3个单位长度得到点B，若点B表示的数为2，则点A表示的数为（   ） A． B．1 C． D．5 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（22-23七年级上·浙江·期中）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 5．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）下列四个数轴上的点A表示的数都是a，其中一定满足为正数的是（  ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 6．（21-22七年级上·浙江温州·期中）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（    ） A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 7．（19-20七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有a、b两个数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子： ； ； ； ．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 题型二 定义新运算与规律探究问题（共10小题） 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（   ） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）设，为实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②；③；④，其中正确的是（    ） A．③④ B．②③ C．①③ D．②④ 16．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 17．（19-20七年级上·浙江湖州·期中）如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（    ）．    A．1 B． C． D． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 19．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如，那么 ． 20．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知符号表示一种运算，，例如，，则 ． 题型三 整式加减及其应用（共8小题） 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在一个长方形中放入三个正方形，边长分别为a，b，c，若要求出右上角阴影部分周长与左下角阴影部分周长的差，则只需知道a，b，c中哪个量（   ） A．a B．b C．c D．a，b，c中任意一个 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④．若长方形②与③的周长和为，则正方形与正方形④的周长和为（　　） A． B． C． D． 25．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 26．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 28．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一个半圆形量角器和直尺的边落在数轴上，量角器的直径的两个端点A，B分别与直尺的刻度0和12重合，数轴的原点和直尺上的刻度15重合，点B表示的数为，则点A表示的数为 ．先将量角器绕B抬起，使A至，然后将其沿数轴无滑动的滚动，最后A点到达数轴上的处，则表示的数为 ．（结果保留π） 题型四 新定义与新运算（共4小题） 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 题型五 绝对值的应用（共3小题） 33．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 34．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 35．（19-20七年级上·浙江杭州·期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 题型六 整式加减及化简求值（共4小题） 36．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中：与是同类项． 37．（25-26七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 38．（21-22七年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求 39．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 题型七 整式加减的应用（共4小题） 40．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 9折优惠 不低于500元 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价300元，她实际付款______元；若一次购物原价600元，她实际付款______元． (2)若小惠在该超市一次购物元．当大于或等于500元时，她实际付款______元（用含的代数式表示并化简）． (3)如果小惠两次购物合计850元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？ 41．（24-25七年级上·浙江金华·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．注：水费按月结算． 每月用水量 单价（单位：元） 不超过的部分 2 超过但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)若某户居民2月份用水，求该月应缴纳水费多少元？ (2)若某户居民3月份用水，则该用户3月份应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)若某户居民4，5月份共用水（5月份用水量多于4月份），设4月份用水求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简）． 43．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．现有、两家商店提出了各自的优惠方案： 店：买一个足球送一条跳绳； 店：足球和跳绳都打9折． (1)分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简） (2)当时， ①通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？ ②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元． 题型八 数轴上的动点（共3小题） 44．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 45．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则______，______；，两点之间的距离为______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点所对应的有理数； (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 46．（13-14七年级·浙江杭州·期中）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题： （1）请直接写出a、b、c的值：______，______，______． （2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，则化简； （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离为，点A与点B之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 1．现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的点分别表示有理数，已知之间的距离是，之间的距离是，设． (1)若以为原点，求和的值； (2)若点表示的数互为相反数，求和的值； (3)若原点在图中数轴上点的右边，且到点的距离是，求的值． 5．初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 6．小明准备将新房地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)客厅的面积是_________ ； (2)用含、的式子表示这套房子的总面积； (3)当，时，若铺地砖的平均费用为元，那么铺地砖的总费用是多少元？ 7．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关（53题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 数轴与绝对值问题 题型4 新定义与新运算题 题型2 定义新运算与规律探究问题 题型5 绝对值的应用综合题 题型3 整式加减及应用问题 题型6 整式加减及化简求值综合题 题型7 整式加减的应用题 题型8 数轴上动点的综合题 题型一 数轴与绝对值问题（共10小题） 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数轴上点A向右移动3个单位长度得到点B，若点B表示的数为2，则点A表示的数为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键． 利用数轴上点的知识解答即可． 【详解】解：∵点A向右移动3个单位长度得到点B，若点B表示的数为2， ∴点B向左移动3个单位长度得到点A， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 3．（22-23七年级上·浙江·期中）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，然后观察数轴得出，，，即可解答． 【详解】解：∵， ∴n和q互为相反数，O在线段的中点处， 如图，    ∴，，， ∴，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 4．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 5．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）下列四个数轴上的点A表示的数都是a，其中一定满足为正数的是（  ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】根据在数轴上的位置判断与的大小即可； 【详解】（1）中，，，故，故（1）符合题意； （2）中，，当时，，故（2）不符合题意； （3）中，，当时，，故（3）不符合题意； （4）中，，，故（4）符合题意； ∴为正数的是（1）（4）． 故选B． 【点睛】本题主要考查了数轴的知识点，由数轴准确判断的大小是解题的关键． 6．（21-22七年级上·浙江温州·期中）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（    ） A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【答案】D 【详解】解：∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，若点B到点C的距离为6， ∴当C在B的左侧时，点C表示的数是1﹣6＝﹣5， 当C在B的右侧时，点C表示的数是1＋6＝7， 点A与点C的距离是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴，分情况讨论得到点C表示的数是解题关键． 7．（19-20七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有a、b两个数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，再根据有理数加法、减法、乘法及乘方运算法则，逐一判断． 【详解】A、由于|a|＜|b|，a＞0，b＜0，所以a+b＜0，该选项正确； B、由于a＞b，所以，a-b＞0，该选项正确； C、由于a＞0，b＜0，所以，该选项正确； D、a＞0，b＜0，所以，所以，该选项错误． 故选：D． 【点睛】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 8．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义是点到原点的距离，分析即可． 【详解】解：∵， ∴点C到原点的距离最近， ∴原点的位置应该在点与点之间（靠近点）或点的右边， 故选：D． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子： ； ； ； ．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴知：，且， ，，， 正确， 故选：D． 10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，理解数轴的折叠，掌握两点之间距离的计算，中点的计算方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵和表示的数分别是和，折叠后，落在的右边，且与点相距个单位长度， ∴点与表示的数为的点重合， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 题型二 定义新运算与规律探究问题（共10小题） 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（   ） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，根据表示不小于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：表示不小于0的最小整数，即，故A选项结论正确，不合题意； 当x是整数时，有最小值， ，故B选项结论正确，不合题意； ，的最大值不能取1，故C选项结论错误，符合题意； 当的小数部分等于时，，故D选项结论正确，不合题意； 故选C． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解： ，，，，，，，，， 故选：B． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）设，为实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②；③；④，其中正确的是（    ） A．③④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义计算，根据定义判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故①错误； ∵，， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 故④错误； 综上所述：正确的结论为②③ 故选B． 16．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以四次循环，再得到，结合每组尾数的和，从未可得答案． 【详解】解：∵ ∴尾数以四次循环， 而，， ∴的末位数字为0， 故选A． 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以四次循环是解本题的关键． 17．（19-20七年级上·浙江湖州·期中）如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（    ）．    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案． 【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是， 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和 的积是． 故本题选B． 【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】42 【分析】此题考查了实数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则． 根据“※”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：42． 20．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知符号表示一种运算，，例如，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据新定义分别计算出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：2． 题型三 整式加减及其应用（共8小题） 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，利用数轴判断式子的符号，整式的加减计算，解题的关键是学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号，根据绝对值定义化简，再计算加减法． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ . 故选B． 22．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．依题意，得，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在一个长方形中放入三个正方形，边长分别为a，b，c，若要求出右上角阴影部分周长与左下角阴影部分周长的差，则只需知道a，b，c中哪个量（   ） A．a B．b C．c D．a，b，c中任意一个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到求周长，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；根据图形，标出两阴影部分的各边长，利用整式的加减运算，得到结果． 【详解】解：设重叠部分的小长方形的长为x，宽为y， ∴右上角阴影部分周长为∶ ， 左下角阴影部分周长为∶， 则右上角阴影部分周长与左下角阴影部分周长的差可表示为∶ ∴只需知道a，b，c中c即可， 故选：C． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④．若长方形②与③的周长和为，则正方形与正方形④的周长和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减的应用，依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c，根据图形可得，进而得出正方形④的周长为，正方形的边长为，根据整式的加减即可求解． 【详解】解：依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c， 则， ∴， ∴， ∵④是正方形， ∴正方形④的周长为， ∵正方形的周长为， ∴正方形与正方形④的周长和为：， 故选：D． 25．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的加减，以及绝对值、数轴，根据数轴，可得出、、的符号，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴得，,且， ∴，，， ∴ ． 故答案为：0． 26．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将代数式化简，然后把，整体代入求解计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 【答案】3775 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，假设两个数中较大的数为，则：，得到50个值的和为50组数中较大的数的和，进而得到最大值为从51开始到100这50个数的和最大，进行计算即可． 【详解】解：设两个数中较大的数为，即：， ∴， ∴50个值的和为50组数中较大的数的和， ∴这 50个值的和的最大值是； 故答案为：3775． 28．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一个半圆形量角器和直尺的边落在数轴上，量角器的直径的两个端点A，B分别与直尺的刻度0和12重合，数轴的原点和直尺上的刻度15重合，点B表示的数为，则点A表示的数为 ．先将量角器绕B抬起，使A至，然后将其沿数轴无滑动的滚动，最后A点到达数轴上的处，则表示的数为 ．（结果保留π） 【答案】 / 【分析】此题考查了数轴，用到的知识点是数轴的特点及圆的周长公式，关键是掌握点的移动与点表示的数之间的关系．首先根据题意求出直尺上的3个单位等于数轴上1个单位，即可得到点A表示的数为，然后求出，得到量角器的半径为6，，然后即可得到表示的数． 【详解】∵量角器的直径的两个端点A，B分别与直尺的刻度0和12重合， ∴， ∵数轴的原点和直尺上的刻度15重合，点B表示的数为， ∴直尺上的3个单位等于数轴上1个单位， ∴点A表示的数为， ∵ ∴量角器的半径为6 ∴量角器的半圆长度为 ∴ ∴表示的数为． 故答案为：，． 题型四 新定义与新运算（共4小题） 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 【答案】(1)①10② (2) (3)3 【分析】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键． （1）根据“相对关系值”的概念求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出和的范围，进而化简关系式即可． 【详解】（1）①根据题意得，． ∴和6关于2的“相对关系值”为10； 故答案为：10 ②， 故答案为： （2）根据题意得，，即 ∴， 解得或． （3）解：由题意得：，分四种情况： 当时，，则； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上：的最大值为3． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 题型五 绝对值的应用（共3小题） 33．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读信息： 信息一：的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息回答下列问题： (1)和5关于2的“双倍关系值”为______． (2)若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值； (3)若和关于1的“双倍关系值”为2，和关于2的“双倍关系值”为2，和关于3的“双倍关系值”为2，…，和关于21的“双倍关系值”为2． ①的最大值为______； ②的值为______（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)的值为5或 (3)①6，②420或440或460或 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“双倍关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“双倍关系值”的定义，求解即可； （2）根据“双倍关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分10种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：由题意得：，即， ， 或， 解得：或， 的值为5或； （3）解：① 和关于1的“双倍关系值”为2， ， 分四种情况： 当时，，则； 当时，，则，即； 当时，，则；即； 当时，，则； 综上，的最大值为6， 故答案为：6； ②分10种情况： 1、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 2、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 3、当时，，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， 时，由，可得，此种情形不存在； 时，由，解得：或， ， 同理得：， ； 4、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 5、当，由，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ，则，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； ； 6、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 7、当，由，可得，解得：或， 时，与矛盾，此种情形不存在； ， 当时，由，可得，解得：或， ，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ； 8、当时，由，，……， ，， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ，，则， 或， ，则，与矛盾，此种情形不存在； ， 同理：，，……，； ，即； ，即； 同理可得：，…，， ， ； 9、当时，，解得， 由可得，， ……， 可得， ； 10、当时，，与矛盾，此种情形不存在； 综上所述：的值为420或440或460或， 故答案为：420或440或460或． 34．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)3或 (4) 【分析】本题考查了绝对值的性质，关键掌握数轴上两点间距离的表示方法、理解绝对值的几何意义和绝对值非负的性质． （1）根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得出结论； （2）根据数轴上两点的距离等于这两个数的差的绝对值列式即可得出结论； （3）根据绝对值的性质化简即可得出结论； （4）结合数轴，根据绝对值几何意义可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示x与的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，； 故答案为：3或； （4）解：表示x到点的点距离之和， 当时，的值最小是： ． 35．（19-20七年级上·浙江杭州·期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 【答案】（1）5；A与C;（2）|x+2|；-4或0；1;（3）1019090 【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求； （2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值； （3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和． 【详解】（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离， 故答案为5，点A与C； （2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2， ∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|， 当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4， 当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4； 当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x， 当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x， 当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9， ∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值； 故答案为|x＋2|；−4或0；1 （3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018， 当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018， 当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016， … 同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2， |x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090； 故答案为1019090． 【点睛】本题考查列代数式、绝对值的意义；能够明确题意，列出相应的代数式，根据绝对值的意义，合理的去掉绝对值符号是解题的关键． 题型六 整式加减及化简求值（共4小题） 36．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中：与是同类项． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算及求值： （1）利用乘法交换律和结合律进行简便计算； （2）先计算乘方，并把除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减； （3）先去括号，合并同类项，再根据同类项的定义确定a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． （3）解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， 当时， 原式． 37．（25-26七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 38．（21-22七年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减运算． （1）先利用整式的加减进行化简，然后代数求值即可； （2）先进行整式的加减进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ， 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 39．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 题型七 整式加减的应用（共4小题） 40．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 9折优惠 不低于500元 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价300元，她实际付款______元；若一次购物原价600元，她实际付款______元． (2)若小惠在该超市一次购物元．当大于或等于500元时，她实际付款______元（用含的代数式表示并化简）． (3)如果小惠两次购物合计850元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？ 【答案】(1)270；530 (2) (3)元 【分析】此题考查了列代数式，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）低于500元但不低于200元按9折付款即可；低于500元但不低于200元按8折付款其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠即可； （2）等量关系为：当大于或等于500元时，实际付款折（购物款）折； （3）两次购物小惠实际付款第一次购物款折折（第二次购物款）折，把相关数值代入计算可求两次购物实际付款一共多少元，进一步求出小惠两次购物一共节省了多少元即可求解． 【详解】（1）解：（元）； （元）． 故若小惠一次购物原价300元，她实际付款270元；若一次购物原价600元，她实际付款530元． 故答案为：270；530； （2）解： 当时，他实际付款元． 故答案为：； （3）解： 小惠第一次购物货款为元， 小惠第二次购物货款为元， 小惠二次购物实际付款为：元． 41．（24-25七年级上·浙江金华·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)20元 (2)①元；②元 (3)当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式及整式加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）①先求出三月份用水量，再列式计算即可得解；②先求出三月份用水量，再列式计算即可得解； （3）由题意知，4月份的用水量少于，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：应交水费（元）； （2）解：① ∵某户居民2，3月份共用水15吨，2月份用水4吨， ∴月份用水（吨）， ∴该用户2，3月份应交水费（元）； ② ∵某户居民2，3月份共用水15吨，某户居民2月份用水a立方米， ∴月份用水吨， 当时，该用户3月份应交水费元； （3）解：由题意知，4月份的用水量少于， ①当时，月份用水量超过 总水费为元 ②当时，月份的用水量不少于，但不超过， 总水费为元 ③当时，月份的用水量超过，但不到， 总水费为元； 综上所述，当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元． 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．注：水费按月结算． 每月用水量 单价（单位：元） 不超过的部分 2 超过但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)若某户居民2月份用水，求该月应缴纳水费多少元？ (2)若某户居民3月份用水，则该用户3月份应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)若某户居民4，5月份共用水（5月份用水量多于4月份），设4月份用水求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简）． 【答案】(1)8元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据各数量之间的关系，正确列出代数式是解题的关键． （1）利用该月应缴纳水费＝2×该户居民2月份的用水量，即可求出结论； （2）由，利用该用户3月份应缴纳水费超过但不超过的部分，即可用含a的代数式表示出该用户3月份应缴纳水费； （3）由该户居民4，5月份用水总量及4月份用水量，可得出该户居民5月份的用水量，再利用该户居民4，5月份共缴纳水费该户居民4月份的用水量（该户居民5月份的用水量），即可用含x的代数式表示出该户居民4，5月份共缴纳水费． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． 答：该月应缴纳水费8元； （2）解：根据题意得：该用户3月份应缴纳水费元； （3）解：∵该户居民4，5月份共用水（5月份用水量多于4月份），且4月份用水， ∴该户居民5月份用水， ∴该户居民4，5月份共缴纳水费元． 43．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．现有、两家商店提出了各自的优惠方案： 店：买一个足球送一条跳绳； 店：足球和跳绳都打9折． (1)分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简） (2)当时， ①通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？ ②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元． 【答案】(1)元，元 (2)）①B店；②能，先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳，10000元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，理解题意并列出代数式是解题的关键． （1）分别根据“在A店购买需付款＝足球定价×购买足球数量+跳绳定价×（购买跳绳数量﹣50）”和“在B店购买需付款＝折扣×（足球定价×购买足球数量+跳绳定价×购买跳绳数量）”解答即可； （2）①将分别代入（1）中求得的两个代数式，计算并比较大小即可； ②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳并计算总付款即可． 【详解】（1）解：在A店购买需付款（元）， 在B店购买需付款（元）． 答：在A店购买需付款元，在B店购买需付款元． （2）解：①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在B店购买较为合算． ②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱． （元）． 答：先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱，共需付款10000元． 题型八 数轴上的动点（共3小题） 44．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，7 (2)①5，②最小值是，最大值是4 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的意义，整式的加减运算． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）①根据题意，得到点为的中点，求出点表示的数，再进行求解即可；②表示出，，根据绝对值的意义，进行求解即可． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为；点表示的数为； （2）①当点运动到与点和点的距离相等时，点在中间，则点表示的数为， ∴； ②由题意，得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，表示数轴上表示的点到与表示的点的距离之和， ∴当，即时，取最小值， ∴的最小值是，最大值是4． 45．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则______，______；，两点之间的距离为______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点所对应的有理数； (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】(1)，；10 (2) (3)点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的概念，整式的加减，数轴， （1）根据为二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （2）根据点的运动，找到规律，可得点对应的有理数； （3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论， 根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键． 【详解】（1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2023次运动P点对应的数为； （3）解：移动后的位置为，移动后的位置为， ①当点D向左运动时，移动后的位置为， 则， 的值始终保持不变， ，即； ②当点D向右运动时，移动后的位置为， 则， 的值始终保持不变， ，即（舍去）， 综上所述，点运动的方向向左，且． 46．（13-14七年级·浙江杭州·期中）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题： （1）请直接写出a、b、c的值：______，______，______． （2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，则化简； （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离为，点A与点B之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）2，，；（2）；（3）不变， 【分析】（1）先根据是立方根等于本身的负整数，求出，再根据，即可求出、； （2）先得出点、之间（不包括点）的数是负数或0，得出，再化简即可； （3）先求出，，从而得出． 【详解】解：（1）是立方根等于本身的负整数， ． ， ，； 故答案为：2，，； （2），，、在数轴上所对应的点分别为、， 点、之间（不包括点）的数是小于的负数， ， ； （3）依题意得：，，， 所以，， 所以 ， 故的值不随着的变化而改变． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减的应用．通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 1．现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为， 则，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 选：C． 2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上有理数的大小比较，熟练掌握数的意义是解题的关键． 根据数轴上位置得到，，即可推出，，进而得到答案． 【详解】根据数轴可知：，， ∴，， ∴， 故选：D． 3．把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 4．如图，数轴上的点分别表示有理数，已知之间的距离是，之间的距离是，设． (1)若以为原点，求和的值； (2)若点表示的数互为相反数，求和的值； (3)若原点在图中数轴上点的右边，且到点的距离是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加法运算． （）以为原点时，先确定；再根据距离及位置关系，得出；接着依据距离及位置关系，得到；最后将代入， 计算出； （）已知点表示的数互为相反数，且之间的距离是，由此推出表示的数为， 表示的数为，即：，又因为之间的距离是，且在右侧，所 以；最后将代入， 计算出； （）原点在图中数轴上点的右边，且到点的距离是，所以；因为在左侧， 且之间的距离是， 故；又因之间的距离是，且在左侧，所以； 最后将代入，计算得； 【详解】（1）解：∵以为原点， ∴， ∵ 之间的距离是，且在左侧， ∴， 又∵之间的距离是，且在右侧， ∴， 将代入， 可得； （2）∵点表示的数互为相反数，且之间的距离是， ∴表示的数为， 表示的数为， 即：， 又∵之间的距离是，且在右侧， ∴， 将代入， ； （3）∵原点在图中数轴上点的右边，且到点的距离是， ∴， ∵之间的距离是，且在左侧， ∴， 又∵之间的距离是，且在左侧， ∴， 将代入， ∴． 5．初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)___________． (2)___________； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，有理数的加减运算，乘法运算，根据题意找出运算规律是解题的关键． （1）裂项后，将各项相加，消掉互为相反数的项； （2）裂项后乘以，将各项相加，消掉互为相反数的项； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉互为相反数的项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．小明准备将新房地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)客厅的面积是_________ ； (2)用含、的式子表示这套房子的总面积； (3)当，时，若铺地砖的平均费用为元，那么铺地砖的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)总费用是3000元 【分析】本题考查代数式求值、列代数式，整式的加减计算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值，利用数形结合的思想解答． （1）根据图示利用矩形的面积公式即可得； （2）分别计算出卧室、卫生间、厨房、客厅的面积 ，然后相加即可得； （3）代入具体数值求出总面积，再乘以费用即可． 【详解】（1）解：根据题意得：客厅的面积是； 故答案为：； （2）解：根据题意得：卧室面积：， 卫生间面积：， 厨房面积：， 所以总面积： ； （3）解：当，时， 总面积为： ， 所以总费用是元， 答：铺地砖的总费用是元． 7．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据手捂住的多项式为等式右边的整式减去左边的整式，再化简即可； （2）根据非负数的性质先求出a，b，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意 ， 用手捂住的多项式为． （2）解： ， ， ， ， 所捂住的多项式的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $