15.3.2 等边三角形 预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦等边三角形核心知识点，以等腰三角形为基础，系统梳理其定义（三边相等）、性质（三边等、三角均60°、三条对称轴）及判定方法（定义法、三角等、等腰+60°角），构建从特殊到一般的知识支架。 资料通过推理推导性质（如内角和证三角60°）培养推理意识，结合跷跷板、警示标志等情境题发展应用意识，清晰总结与分层练习助力知识体系构建，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 （预习讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 知识与技能： (1) 理解等边三角形的概念，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。 (2) 掌握等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 (3) 掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (4) 能够运用等边三角形的性质和判定方法解决简单的问题。 2. 过程与方法： (1) 通过观察、比较、归纳等数学活动，体验等边三角形性质和判定方法的探索过程。 (2) 在解决问题的过程中，进一步体会转化、类比等数学思想。 知识点梳理 1. 等边三角形的定义 · 定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。 · 解读： (1) 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它特殊在“三条边都相等”。 (2) 反过来，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 2. 等边三角形的性质 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角形的所有性质，还具有自身独特的性质。 · 性质1：等边三角形的三条边都相等。 （这是由定义直接得到的）如果△ABC是等边三角形，那么 AB = BC = CA。 · 性质2：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 (1) 讲解： 因为等边三角形是等腰三角形，所以它的两个底角相等。由于三条边都相等，所以它的三个角中，任意两个角都可以看作底角。因此，三个内角都相等。 (2) 设每个内角为 x，则 x + x + x = 180°（三角形内角和定理），解得 x = 60°。所以每一个内角都等于60°。 (3) 如果△ABC是等边三角形，那么 ∠A = ∠B = ∠C = 60°。 · 性质3：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴。 讲解： 等边三角形的对称轴是每条边上的中线、高线和所对角的平分线所在的直线。由于三条边都相等，三个角也都相等，因此这三条线（中线、高线、角平分线）是重合的，且有三条这样的直线，分别对应三条边。 3. 等边三角形的判定方法 判定一个三角形是等边三角形，可以从边或角入手。 · 判定方法1（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。 (1) 如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形。 (2) 即：在△ABC中，如果 AB = BC = CA，那么 △ABC是等边三角形。 · 判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 (1) 讲解： 在一个三角形中，如果三个角都相等，那么根据“等角对等边”的性质，可以推出这个三角形的三条边都相等，因此它是等边三角形。 (2) 如果在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，那么 △ABC是等边三角形。 · 判定方法3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (1) 讲解： 这是一个非常重要且常用的判定方法。需要满足两个条件：一是等腰三角形，二是有一个内角是60°。 (2) 两种情况： 1. 当等腰三角形的顶角是60°时，它的两个底角相等，且和为 180° - 60° = 120°，因此每个底角为 120° ÷ 2 = 60°，三个角都为60°，所以是等边三角形。 2. 当等腰三角形的一个底角是60°时，另一个底角也是60°，则顶角为 180° - 60° - 60° = 60°，三个角都为60°，所以是等边三角形。 (3) 因此，只要等腰三角形中有一个角是60°，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形。 (4) 如果在△ABC中，AB = AC（或AB = BC，或AC = BC），且有一个角等于60°，那么 △ABC是等边三角形。 4. 等边三角形的对称性 · 性质： 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 · 讲解： 这三条对称轴分别是等边三角形三条边上的中线、高线和所对角的平分线所在的直线（实际上这三条线在等边三角形中是重合的，即“三线合一”）。 知识点总结 · 等边三角形定义： 三条边都相等的三角形。 · 等边三角形性质： 1. 边：三条边都相等。 2. 角：三个内角都相等，且均为60°。 3. 对称性：是轴对称图形，有三条对称轴（三线合一所在直线）。 · 等边三角形判定（满足其一即可）： 1. 定义法：三条边都相等的三角形。 2. 三个角都相等的三角形。 3. 有一个角是60°的等腰三角形。 巩固练习 一、选择题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．如果，那么 B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等 C．两个锐角之和一定是钝角 D．三个内角都相等的三角形是等边三角形 2．已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径作弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径作弧，两弧交于点B，作射线OB，那么∠AOB的度数是(　　). A．90° B．60° C．45° D．30° 5． 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O 上下转动，立柱 OC与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，则AB 的长为 (　　) A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m 6．已知等边△ABC的一边长为2，则它的周长是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 7．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 8．下列关于的说法错误的是（　　） A．若，则为等腰三角形 B．若为直角三角形且，，则等于的一半 C．若中，则为直角三角形 D．若中，，则为等边三角形 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为　 　． 11．如图，等边三角形中，是上的高，，则　 　． 12．如图，两艘轮船由海平面上地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶海里到达，两地，则，两地相距　 　海里． 13．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点，再以为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点，画射线OC，则的度数为　 　. 14．公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有　 　条对称轴． 15．如图，在中，，，是边上的中线，则是　 　三角形． 16．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为　 　． 三、解答题 17．如图， △ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB， AC 于点D， E. 求证：△ADE 是等边三角形. 18． 如图， 在 中， ， 交 BC 于点 D. 若 求BC的长. 19．如图，在等边三角形 ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°， 图中有哪些与 BD相等的线段?证明你的结论. 参考答案 1．D 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．3 11．1 12． 13．60° 14．3 15．等边 16． 17．证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠A=∠ADE=∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形. 18．解：∵ ∴∠C=∠B=30°， ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∵ ∴∠BAD=90°， ∴BD-2AD=4，∠DAC=120°-90°=30°， ∴∠DAC=∠C， ∴CD=AD=2， ∴BC=BD+CD=4+2=6. 19．解：∵ △ ABC是等边三角形， AD 是BC 上的高， ∴ ∠ B= ∠ C=60°，BD=CD， ∵ ∠BDE=∠CDF=60°， ∴ △BDE 和 △CDF是等边三角形， ∴与 BD 相等的线段为CD、CF、BE、DE、DF、AF、AE. 学科网（北京）股份有限公司 $