2. 2 二次函数的图象与性质教学设计 2024-2025学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过回顾y=ax²的开口方向、对称轴和顶点坐标，类比图形平移提出y=a(x-h)²+k的图象变化问题，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识脉络。 这份资料以“观察-作图-归纳”为主线，通过对比y=x²与y=(x-1)²的函数值表格及图象，直观呈现平移规律，培养几何直观与空间观念。师生互动中引导归纳参数h、k对图象的影响，发展推理意识，结合列表描点操作强化数形结合，提升运算和数据分析素养。既帮助学生理解平移本质，也为教师提供清晰的探究式教学路径。

初中数学北师大版（2012）九年级下册 2 二次函数的图象与性质 课标分析 课标分析：本节内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》"函数"主题中"二次函数"的核心内容，要求学生掌握二次函数的图象与性质。课标要求通过具体实例（如到的图象变换）理解函数图象的平移规律，能根据解析式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标（如的对称轴为），并能分析函数值随自变量变化的增减性。重点培养学生从特殊到一般的归纳能力（如从具体函数推广到的一般性质），以及运用数形结合思想分析问题的能力，为后续学习二次函数应用奠定基础。 教材分析 本节课通过探究二次函数、与图象之间的关系，引导学生发现形如的函数可由通过平移得到，进而归纳出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标规律。教学过程以观察、作图、比较为主线，帮助学生经历从特殊到一般的归纳过程。本节内容承接了学生对图象的认识，是二次函数图象学习的深化，也为后续研究一般形式的二次函数图象与性质打下基础。通过本课学习，学生能进一步理解函数图象变换的本质，提升数形结合能力，掌握用顶点式描述抛物线特征的方法，为灵活运用二次函数解决实际问题提供工具支持。 学情分析 九年级学生已掌握二次函数的图象特征与性质，能识别其开口方向、对称轴和顶点坐标，并具备用描点法画图的能力，同时在前期学习中积累了函数图象平移的初步经验，这一阶段的学生具有较强的直观感知能力和一定的抽象概括能力，能够通过观察具体例子发现规律，但对符号表达和一般性结论的理解仍需借助具体情境支持，本节课要求学生通过对比与的图象关系，归纳出平移规律并掌握顶点式对应的图象性质，帮助学生实现从特殊到一般的思维过渡，提升数形结合能力和归纳推理水平，为进一步学习二次函数的综合应用奠定基础。 教学目标 1. 理解二次函数与图象间的平移关系，掌握其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标特征，通过观察与作图，发展直观想象和几何直观核心素养，提升空间观念与图形分析能力。 2. 能通过具体实例归纳平移规律，理解参数、对图象位置的影响，培养抽象概括与归纳推理能力，增强数学建模意识和用数学语言描述图形变换的能力。 3. 在探究图象性质过程中，经历列表、描点、画图等操作，强化动手实践能力与数形结合思想，提高数学运算和数据分析素养，发展有条理地思考与表达的能力。 重点难点 重点：理解二次函数图象与图象关系，掌握其开口方向、对称轴及顶点坐标。 难点：探究图象的平移规律及理解平移本质。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了二次函数的图象与性质，回想其开口方向、对称轴、顶点坐标由谁决定？请画出的图象，并指出上述性质。 2.预习教材： 阅读教材中关于二次函数的内容，了解与图象的关系，明确图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，记录疑问。 3.问题思考： 由图象如何得到的图象？两者开口方向、对称轴、顶点坐标有何变化？尝试思考并与同学交流。 课堂导入 同学们，在之前的学习中，我们已经熟悉了二次函数的图象与性质。就像，我们能轻松画出它的图象，也知道其开口方向、对称轴和顶点坐标。现在老师问大家，如果函数变成 ，它的图象会是什么样呢？和 的图象又有什么关联呢？这就如同我们之前学习图形平移时，图形在平面上移动位置，其形状、大小不变，但位置改变了。那二次函数的图象会不会也有类似的“平移”变化呢？今天，就让我们一起探索二次函数的图象与性质，看看其中的奥秘。 二次函数的图象与性质 探究新知 （一）知识精讲 我们先来观察二次函数和的图象关系。请同学们完成下表： 通过对比表格中的数据可以发现，对于相同的值，的值比的值大1。这说明的图象是将的图象向右平移1个单位得到的。 接下来，我们来看这两个函数的图象： 从图象中可以清楚地看到，的图象形状与完全相同，只是位置向右移动了1个单位。类似地，的图象则是将的图象向左平移1个单位得到的。 进一步推广，对于一般形式的二次函数，它是由基本函数的图象经过平移得到的。具体来说： · 当时，图象向右平移个单位 · 当时，图象向左平移个单位 · 当时，图象向上平移个单位 · 当时，图象向下平移个单位 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们要画出的图象，应该如何操作呢？ 学生回答：可以先画出的图象，然后向左平移3个单位，再向下平移个单位。 教师追问：很好！那么谁能说说这个函数的对称轴和顶点坐标是什么？ 学生思考后回答：对称轴是直线，顶点坐标是。 教师继续提问：如果给出函数，它的开口方向是怎样的？当取什么值时，随的增大而减小？ 学生回答：因为，所以开口向下。由于对称轴是，所以当时，随的增大而减小。 （三）设计意图 通过表格数据对比和图象观察，帮助学生直观理解二次函数图象的平移规律，培养数形结合的思想方法。师生互动环节通过层层递进的问题，引导学生深入思考函数图象的性质，发展学生的逻辑推理能力和空间想象能力。整个探究过程注重从具体到抽象的思维过程，让学生在观察、比较、归纳中掌握知识，体现了数学学习的探究性和系统性。 新知应用 例1题目：画二次函数的图象。 (1) 完成下表： 观察上表，你能发现与的值有什么关系？ (2) 在图中，画出的图象。 你是怎么画的？与同伴进行交流。 解答： 我们先从第(1)小题开始： (1) 填写表格并分析函数值的关系 原函数是，新函数是。 我们选取一些的值，分别计算两个函数的函数值： -2 -1 0 1 2 3 8 2 0 2 8 18 18 8 2 0 2 8 观察发现： 当时，，而； 当时，，而； …… 当时，，而。 我们可以看出： 函数在处的函数值，等于函数在处的函数值。 换句话说： 这说明：新函数的图象相当于把原函数的图象向右平移了1个单位长度。 (2) 画出的图象 我们知道是一条开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴是轴（即直线）。 由于是由向右平移1个单位得到的，所以： · 新函数的顶点变为 · 对称轴变为直线 · 开口方向不变，仍向上 · 形状完全相同（因为系数没变） 因此，我们可以这样画图： 1. 先画出的标准图象； 2. 将这个图象上所有点的横坐标都加1，纵坐标不变； 3. 得到的新图象就是的图象。 例如： · 原图象过点 → 新图象过点 · 原图象过点 → 新图象过点 · 原图象过点 → 新图象过点 把这些点描出来，用光滑曲线连接，就得到了新抛物线。 总结 1.题目考查内容 ① 二次函数的图象与的关系； ② 函数值的变化规律与图象平移之间的联系； ③ 利用对应点作图的方法。 2.题目求解要点 ① 理解表达式中的作用：当时，图象向右平移个单位；当时，向左平移； ② 掌握通过列表比较函数值来发现平移规律的方法； ③ 能根据平移规律确定顶点、对称轴，并正确绘制图象。 例2题目：议一议：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？ 类似地，你能发现二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系吗？ 解答： 我们逐个问题分析： 1. 图象关系： 由前面分析可知： · 是由向右平移1个单位得到的； · 同理，是由向左平移1个单位得到的。 所以，三者图象都是抛物线，形状相同（因为相同），只是位置不同。 2. 的性质： · 开口方向：因为，所以开口向上； · 对称轴：形如的对称轴是直线，这里，所以对称轴是； · 顶点坐标：顶点在对称轴上，且此时，即时取得最小值，所以顶点是。 3. 增减性分析： · 当时，随着增大，逐渐减小（比如从到，差值从1降到0），所以减小； · 当时，随着增大，逐渐增大，所以也增大。 因此： · 当时，随增大而减小； · 当时，随增大而增大。 4. 类比分析： · 可看作，所以； · 是由向左平移1个单位得到； · 开口方向：向上（）； · 对称轴：； · 顶点坐标：； · 增减性： · 当时，随增大而减小； · 当时，随增大而增大。 总结 1.题目考查内容 ① 二次函数的图象平移规律； ② 开口方向、对称轴、顶点坐标的确定； ③ 函数的增减性与其图象对称性的关系。 2.题目求解要点 ① 记住形式的图象是由向右（）或向左（）平移个单位得到； ② 对称轴为，顶点为； ③ 若，则函数在对称轴左侧递减，右侧递增；若则相反。 例3题目：想一想：由二次函数的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流。 解答： 我们要从出发，得到的图象。 先将目标函数改写为标准形式： 即它属于的形式，其中： · · · 我们分两步进行图象变换： 第一步：左右平移（由决定） · 因为，所以将的图象向左平移3个单位，得到； · 此时顶点从移到，对称轴变为。 第二步：上下平移（由决定） · 再将上一步得到的图象整体向下平移个单位（因为），得到； · 此时顶点变为，对称轴仍为。 最终图象仍是一条开口向上的抛物线，形状与相同。 总结变换过程： 把的图象先向左平移3个单位，再向下平移个单位，即可得到的图象。 总结 1.题目考查内容 ① 二次函数的图象是由经过两次平移得到； ② 平移方向与、符号的关系； ③ 顶点位置的确定。 2.题目求解要点 ① 平移顺序可以先左右后上下（也可调换，结果一样）； ② 左右平移看：正右负左；上下平移看：正上负下； ③ 最终顶点为，对称轴为，开口方向由决定。 例4题目：议一议：二次函数与的图象有什么关系？ 解答： 我们来系统归纳一般情况。 设原始函数为，其图象是顶点在原点、对称轴为轴的抛物线。 现在考虑函数。 我们可以通过以下两步变换从得到该函数的图象： 第一步：水平平移（左右移动） · 将的图象向右（若）或向左（若）平移个单位，得到； · 此时顶点变为，对称轴变为。 第二步：垂直平移（上下移动） · 再将上一步的图象向上（若）或向下（若）平移个单位，得到； · 此时顶点变为，对称轴仍为。 整个过程中，形状不变（因为不变），只是位置改变。 因此，结论是： 二次函数的图象是由的图象经过平移得到的抛物线。 其关键性质如下表所示： 项目 内容 开口方向 时向上；时向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 若：在时减小，在时增大； 若：在时增大，在时减小 总结 1.题目考查内容 ① 一般形式的图象与基本形式的关系； ② 图象的平移规律； ③ 抛物线的开口方向、对称轴、顶点、增减性的统一判断方法。 2.题目求解要点 ① 所有形如的抛物线都可由平移得到； ② 顶点是图象的关键点； ③ 决定开口方向和宽窄，决定左右位置，决定上下位置。 板书设计 二次函数的图象与性质 平移规律 与：右移1个单位 与：左移1个单位 与：左移3个单位，下移个单位 性质 图象：抛物线 开口方向：向上，向下 对称轴： 顶点坐标： 教学反思 本节课围绕二次函数的图象与性质展开，通过对比与等具体函数的图象，引导学生发现平移规律，进而归纳出一般形式的图象特征。教学设计符合课标“以学生为主体，注重探究”的理念，通过“做一做”“议一议”等环节促进学生动手操作与合作交流，成功帮助学生理解图象平移与解析式变化的关系，掌握了开口方向、对称轴、顶点坐标等核心性质。成功之处在于借助表格与图象对照，直观呈现数学规律，提升了数形结合能力；不足之处在于部分学生在自主归纳性质时存在思维跳跃，教师应增加中间过渡性提问，进一步放慢探究节奏，确保全体学生跟上逻辑进程。 学科网（北京）股份有限公司 $