3.8 圆内接正多边形教学设计 2024-2025学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计围绕圆内接正多边形的定义、相关概念及尺规作图展开，从生活中正多边形图案导入，衔接圆的性质与尺规作图旧知，通过预习回顾与课堂类比推理搭建学习支架。 突出动手实践与几何推理融合，以正六边形作图、正四边形探究为例，培养几何直观与推理意识，例题解析强化应用意识，助力学生提升空间观念与作图能力，为教师提供结构化、素养导向的教学方案。

初中数学北师大版（2012）九年级下册 8 圆内接正多边形 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节内容属于"图形与几何"领域，重点培养学生对圆内接正多边形的概念理解与作图能力。课标要求：1）理解圆内接正多边形的定义及相关概念（半径、中心角、边心距），掌握其几何特征；2）掌握用尺规作圆内接正六边形（边长等于半径）和正四边形（利用直径垂直平分性质）的基本方法；3）通过作图实践发展几何直观和推理能力，体会正多边形与圆的密切关系。教学中应注重引导学生发现正边形中心角为的规律，培养其运用圆规直尺解决实际问题的能力。 教材分析 本节课介绍了圆内接正多边形的概念及其相关元素，如外接圆、中心、半径、中心角和边心距，并通过等分圆周的方法构造圆内接正多边形，重点以正五边形和正六边形为例说明作图原理；接着引导学生利用尺规作图完成圆内接正六边形和正四边形，强调减少误差的操作技巧。教学过程围绕概念理解与作图实践展开，注重动手操作与几何推理的结合。本节内容与前面学习的圆的基本性质、等分线段、对称图形等内容密切相关，是圆的知识应用的延伸。本节课有助于学生加深对正多边形与圆关系的理解，提升尺规作图能力和几何直观素养，为后续学习正多边形的面积、弧长、扇形及圆的其他性质打下基础，同时培养学生的逻辑思维和动手实践能力。 学情分析 学生已学习正多边形的基本性质、圆的有关概念及尺规作图的基本方法，掌握了等分线段和作垂直平分线的技能，具备一定的几何直观与动手操作能力，九年级学生思维活跃，乐于探究图形规律，但对抽象几何关系的理解仍需具体操作支持，本节课要求学生通过理解圆内接正多边形的定义及其与外接圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，并能运用尺规作图法作出圆内接正六边形和正四边形，通过“做一做”和“想一想”活动发展推理能力和作图能力，体会等分圆周构造正多边形的思想，进一步提升几何直观、空间观念与实践意识，为后续学习正多边形的计算与圆的度量关系打下基础。 教学目标 1. 理解圆内接正多边形的定义及其相关概念（如中心、半径、中心角、边心距），掌握正多边形与外接圆的关系，通过观察与作图活动发展几何直观和空间观念，提升数学抽象与推理能力。 2. 能利用尺规作图完成圆内接正六边形，理解等分圆周构造正多边形的原理，通过动手操作增强实践能力，培养作图技能和严谨的逻辑思维，提升直观想象与数学作图素养。 3. 探索圆内接正四边形的尺规作法，结合已有知识进行推理与验证，发展分析问题和解决问题的能力，通过交流讨论促进合作学习，提高数学表达与批判性思维水平。 重点难点 重点：理解圆内接正多边形相关概念，掌握作圆内接正多边形的方法。 难点：用尺规准确作出圆内接正多边形，尤其是理解作正多边形时的原理。 课前任务 1.知识回顾： 上节课我们学习了圆的相关性质，如圆心角、圆周角等。请大家回忆圆心角与圆周角的关系，并思考如何在圆中确定特殊角度。 2.预习教材： 阅读教材中圆内接正多边形的内容，了解圆内接正多边形的定义、外接圆概念，以及如何将圆等分作出正多边形。标记出正多边形中心、半径、中心角、边心距的定义及作正六边形的方法。 3.问题思考： 思考若要作圆内接正八边形，结合已学知识，你能想出怎样的方法？类比作正六边形、正四边形的思路，尝试探究正八边形作法，并与同学交流想法。 课堂导入 同学们，在生活中，我们经常能看到各种漂亮的图案，比如广场上的地砖铺设，很多都用到了正多边形。像正六边形的地砖，它们拼接得严丝合缝。大家有没有想过，如果要把这些正多边形完美地画在一个圆里，该怎么做呢？其实，在建筑设计、机械制造等领域，精确作出圆内接正多边形非常重要。今天，就让我们一起走进“圆内接正多边形”的世界，探究如何把一个圆进行等分，从而作出各种圆内接正多边形，看看这里面到底蕴含着怎样的数学奥秘。 圆内接正多边形 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来探究圆内接正多边形的相关知识。观察下图： 我们可以看到五边形的所有顶点都在上，这样的正多边形就叫做圆内接正多边形，而这个圆就是该正多边形的外接圆。 要作一个圆内接正多边形，只需要将圆等分（），然后依次连接各分点即可。比如图中五边形就是的内接正五边形。这里有几个重要概念需要掌握： 1. 中心：圆心就是这个正五边形的中心 2. 半径：的长度就是这个正五边形的半径 3. 中心角：就是这个正五边形的中心角 4. 边心距：，垂足为，的长度就是这个正五边形的边心距 接下来我们学习如何用尺规作圆内接正六边形。观察下图： 因为正六边形的中心角为，所以它的边长等于外接圆的半径。具体作图步骤如下： 1. 作的任意一条直径 2. 分别以、为圆心，以的半径为半径作弧 3. 这些弧与相交于点、和、 4. 顺次连接、、、、、各点，就得到正六边形 （二）师生互动 教师提问：同学们，根据刚才学习的圆内接正六边形的作图方法，你们能想到如何用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？ 学生思考后回答：可以先作两条互相垂直的直径，这样就把圆分成了四个相等的部分，然后连接四个端点就能得到圆内接正方形。 教师追问：很好！那为什么这样作出来的四边形一定是正四边形呢？ 学生回答：因为两条直径互相垂直平分，把圆周分成四个相等的弧，每条弧对应的弦长相等，且中心角都是90°，所以四条边相等，四个角也相等。 教师继续引导：那么，如果我们要作圆内接正八边形，应该怎么做呢？ （三）设计意图 通过直观的图形展示和具体的作图步骤，帮助学生理解圆内接正多边形的定义和相关概念。采用从特殊到一般的教学方法，先学习正六边形的作图方法，再引导学生思考正四边形的作图方法，培养学生的类比推理能力。通过师生互动环节，激发学生的思维，让学生主动参与知识的建构过程，加深对圆内接正多边形性质的理解。整个探究过程注重培养学生的空间观念和几何直观能力，同时渗透数学的严谨性和逻辑性。 新知应用 例题题目：如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距。 解答： 我们根据题目已知条件和正多边形的性质逐步求解。 第一步：求中心角 正六边形有6条边，它的中心角是指从圆心出发，连接相邻两个顶点所形成的角。 由于圆周角为，且正六边形将圆周六等分， 所以每个中心角为： 第二步：求边长 连接，考虑。 因为和都是圆的半径，所以。 又因为，两边相等且夹角为， 所以是等边三角形（三边相等的三角形）。 因此，第三边也等于半径： 而是正六边形的一条边，所以正六边形的边长为。 第三步：求边心距 题目中给出，垂足为，则线段就是正六边形的边心距（即圆心到一边的距离）。 由于正六边形对称，每条边对应的边心距都相等，我们可以选择任意一边计算，这里选。 注意：在正六边形中，边与边长度相同，均为，所以。 因为，且为垂足，在等腰三角形中，也是底边上的高和中线， 所以是的中点，即： 现在在直角三角形中，已知斜边，一条直角边， 利用勾股定理可求另一条直角边（即边心距）： 最终结果： · 中心角： · 边长： · 边心距： 总结 1.题目考查内容 ① 圆内接正多边形的基本概念（中心、半径、中心角、边心距）； ② 正六边形的几何特性（中心角为，边长等于外接圆半径）； ③ 等边三角形的判定与性质； ④ 勾股定理在求边心距中的应用。 2.题目求解要点 ① 利用“正边形的中心角为”求中心角； ② 根据正六边形的特殊性，识别出由两条半径和一条边构成的三角形是等边三角形，从而得出边长等于半径； ③ 利用边心距垂直平分边的性质，构造直角三角形； ④ 在直角三角形中使用勾股定理求解未知边（边心距）。 板书设计 圆内接正多边形 定义：顶点在同一圆上的正多边形，此圆为外接圆 作法：把圆等分（），连各分点 相关概念 中心：正多边形外接圆圆心 半径：外接圆半径 中心角：正多边形相邻顶点与中心连线夹角 边心距：中心到一边的距离 尺规作圆内接正六边形 原理：中心角，边长等于半径 步骤：作直径，以端点为圆心为半径作弧与圆相交 教学反思 本节课围绕圆内接正多边形的概念、性质及尺规作图展开，通过引导学生理解正多边形与外接圆的关系，掌握正六边形和正四边形的尺规作法，落实了“图形与几何”领域的核心内容。教学设计符合课标要求，注重操作与探究，体现了从特殊到一般的数学思想。成功之处在于借助“做一做”和“想一想”环节激发学生动手实践，提升了空间观念和作图能力；同时以问题驱动促进合作交流，增强了思维的逻辑性。不足之处在于对中心角、边心距等概念的深化不够，部分学生在迁移应用中仍存在困惑；尺规作图的操作细节指导需更细致，以减少实际操作中的误差与挫败感。今后应加强几何语言的规范训练，并适当拓展正多边形的对称性，提升综合素养。 学科网（北京）股份有限公司 $