第3章二次根式 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第3章二次根式》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．二次根式中字母x的取值可以是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 3．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．计算 ． 10．已知，则代数式的值为 ． 11．若最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 12．若，则的值为 ． 13．已知：，，，，若符合上面的规律，则的值为 ． 14．形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简： ． 三、解答题 15．求下列各式中的取值范围． (1)二次根式在实数范围内有意义． (2)在实数范围内成立． 16．计算 (1) (2) (3) (4) 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值： ，其中 19．如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 20．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 解得：， ∴字母x的取值可以是． 故选：C． 2．D 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 3．D 【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到答案． 【详解】要使有意义，则， ∴． 要使有意义，则， ∴． 故同时满足在实数范围内有意义，只有． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式被开方数必须是非负数这一特性． 4．B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，结果不是，故D项错误． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴ ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值, 先根据有理数的性质得到，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后变形得到原式，再利用整体代入的方法计算，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 原式 ． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 8． 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟知相关计算法则是解题的关键，先化简，再合并即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．2 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算．利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 10．4 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 11．2 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，求出． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， ． 故答案为2． 12． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入计算的值． 【详解】解：由题意得且， ∴． ∴． 故答案为：． 13．109 【分析】本题主要考查的是二次根式的混合运算以及归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题． 观察所给的等式，整理得出，，，则，再结合，列式，求得的值，从而求得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴以此类推，得， ∵， ∴，， ∴ 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． （2）依据二次根式乘法法则成立的条件，两个被开方数都为非负数，从而列不等式组求解． 【详解】（1）解：要使有意义，则， ， ； （2）解：要使成立，则 ， 由得， 由得， 所以． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键是先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据四则运算顺序和同类二次根式合并法则进行计算，同时注意括号和系数的处理． （1）先去括号，再将、、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （2）先根据乘法分配律去括号，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （3）先利用乘法分配律计算与、的乘积，化简结果后合并同类二次根式； （4）先计算二次根式的除法，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，零指数幂，利用完全平方公式和平方差公式进行求解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先进行二次根式的乘法，二次根式的除法和零指数幂，然后再进行二次根式的减法运算； （2）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的减法，最后进行二次根式的除法运算； （3）先利用完全平方公式和平方差公式进行整理，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 18．； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 19．(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 20．(1) (2) (3)2026 【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可． (2) 仿照阅读资料中的化简解答即可． (3) 仿照阅读资料中的化简解答即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，化简求值，熟练掌握新方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， 故 ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $