精品解析：福建省南安市国光中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷

国光中学2025年秋初三年月考 数学试卷 （满分150分 试卷120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的．） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先变形得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x2=9， x=±3， 所以x1=3，x2=-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟悉掌握二次根式的化简是解题的关键． 根据最简二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是最简，故A错误； B：为最简二次根式，故B正确； C：，不是最简，故C错误； D：，不是最简，故D错误； 故选：B． 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，与不能合并，不符合题意； B、，与不能合并，不符合题意； C、，与能合并，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 5. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解相关运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．把代入运算求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：， 故选：A． 6. 如图，在中，点E在上，且，交对角线于点F，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了平行四边形的性质，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式除法、加减法、二次根式化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式加法、减法、二次根式性质、除法运算法则解题即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 8. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 9. 若一次函数的图象如图所示，是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像的识别、二次方程根及去绝对值的问题，解题的关键是熟悉一次函数图像，根据符号去绝对值． 根据图像得到，通过因式分解可解方程，代入去绝对值求解即可． 【详解】由图可知，，， 又方程的两个根为，， 则． 故选：B． 10. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，相反数的定义，根据题意得有两个相等的实数根得出，进而求出c的值，代入原方程，再利用根的判别式即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值． 设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 13. 一元二次方程的两根为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于，代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，知道一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题关键． 14. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意可以得到，又因为，从而可以解答本题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得，， 又， 的最小整数值为1， 故答案为：1． 16. 如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1）________； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________．（填数字） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质． （1）由得出，则可得出答案； （2）过点F作交于点G，证明，得出，由（1）得，即可证出． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过点F作交于点G， ∵点M是的中点， ∴N是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9大题，满分86分．请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法，二次根式的减法计算即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了二次根式的乘法，减法，解方程，熟练掌握二次根式的乘法，灵活选择解法是解题的关键． 【详解】解：（1） ． （2）解： ∴， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）画图如下：则即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中位似图形的画图，位似点的坐标计算，熟练掌握作图，坐标计算方法是解题的关键． (1)根据位似中心，结合位似比，画图即可． (2)根据位似坐标计算方法即起始点坐标的位似比倍或位似比的相反数倍计算即可． 【小问1详解】 根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则． 【小问2详解】 内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 19. 已知： （1）___________，___________； （2）求的值； 【答案】（1）14，25 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）根据，代入计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴，， 故答案为：14，25． 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，．求证：∽． 【答案】 证明：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∽． 【解析】 【分析】由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB． 【详解】略． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似. 21. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵ ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数，因此只需要证明判别式大于0即可；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】略 22. 如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克.经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系，并且得到了表中的数据： 价格x（元/千克） 7 5 价格y（千克） 2000 4000 （1）求y与x之间的函数解析式； （2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元? 【答案】（1）；（2）该种水果价格每千克应调低至6元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知可得二元一次方程组解得k，b的值． （2）由题意可得关于x的等式．解出x的值即可． 试题解析：（1）由表格得知 解得 ∴ （2）由题意可得 整理得： 解得： 答：该种水果价格每千克应调低至6元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，分别为上的动点，若点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）当的面积为4时，求点的坐标． （2）多边形的面积能否为19？请判断并说明理由． （3）当，两点之间的距离为时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）不能，理由： 因为， 当多边形的面积为19时，的面积为5， 由（1）得，即， ， 无解， 所以多边形的面积不能为19． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系中点坐标的表示、三角形面积公式及勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题知经过时间秒，此时，表示出，根据面积解方程即可； （2）当多边形面积为19，则的面积为5，代入面积中判断解得情况即可； （3）根据（1）中，应用两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 经过时间秒，此时， 又当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，所以， ， 解得， 所以此时点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，， 则， 即，则， 解得或， 所以此时点的坐标为或． 25. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， 又，①，（依据 ② ）． 同理可得：，， ，即． 任务： （1）依据上述证明过程，补全①②的内容： ①：______；②：______； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1），相似三角形的对应边成比例； （2） 如图，线段表示R的长． （3） 小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 故答案为：，相似三角形的对应边成比例； 【小问2详解】 解：在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 国光中学2025年秋初三年月考 数学试卷 （满分150分 试卷120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的．） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 4. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E在上，且，交对角线于点F，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象如图所示，是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使有意义，则的取值范围是________． 12. 若，则的值为________． 13. 一元二次方程的两根为，，则____________． 14. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 15. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为_____． 16. 如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1）________； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________．（填数字） 三、解答题（共9大题，满分86分．请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 19. 已知： （1）___________，___________； （2）求的值； 20. 如图，在四边形中，，，．求证：∽． 21. 已知：关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 22. 如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 23. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克.经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系，并且得到了表中的数据： 价格x（元/千克） 7 5 价格y（千克） 2000 4000 （1）求y与x之间的函数解析式； （2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元? 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，分别为上的动点，若点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）当的面积为4时，求点的坐标． （2）多边形的面积能否为19？请判断并说明理由． （3）当，两点之间的距离为时，直接写出点的坐标． 25. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， 又，①，（依据 ② ）． 同理可得：，， ，即． 任务： （1）依据上述证明过程，补全①②的内容： ①：______；②：______； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $