22.3实际问题与二次函数题型分类解答题专题训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数 题型分类解答题专题训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册 一、销售问题 1．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 2．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式； (2)要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； (3)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 3．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 4．深圳市龙岗区某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如表： 销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 … (1)求y与x之间的函数关系； (2)当该公司获得利润560万元时，公司销售单价应定为多少？ (3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润． 5．某超市以10元个的成本购进一批新型儿童玩具，当以17元个的单价出售时，每天可以售出50个．国庆期间，确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，单价每降低1元/个时，每天可多卖出10个玩具．当这种玩具的降价x元时，超市每天获得的利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当这种玩具的降价多少时，超市每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 二、拱桥问题 6．一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），建立如下图所示的平面直角坐标系．为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，该辆货车的最大高度应是多少？ 7．如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 9．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 10．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 三、面积问题 11．如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 12．如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． (1)求顶点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 13．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． (1)能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； (2)的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 14．如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 15．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)18元； (3)售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际销售利润问题中的应用，涉及了一次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，求二次函数的最值问题等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为：，把代入求解即可； （2）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可； （3）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把代入得： ， 解得：， y与x的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得： 解得：或， 要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18元； （3）解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，W随x的增大而增大， 时，W最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 2．(1) (2)17元 (3)；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． （3）解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 3．(1)； (2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于20元，得出x的取值范围； （2）设商店每天销售利润为w元，由题意得每件商品的利润为元，列出w的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵每件商品利润不少于20元， ∴， ∴， ∴； （2）设商店每天销售利润为w元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 4．(1) (2)36元或30元 (3)单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定、一元二次方程在利润问题中的应用以及二次函数的最值求解（结合利润率限制），解题的关键是根据“销售量与单价的一次函数关系”建立函数模型，利用利润公式（利润=单个利润×销售量）列方程或二次函数，再结合题干限制条件求解． （1）设一次函数解析式，选取表格中两组值代入，解二元一次方程组求出和，确定函数关系； （2）根据“利润（销售单价生产成本）销售量”，代入一次函数和利润值560万元，列一元二次方程，求解方程得到销售单价； （3）先根据“利润率不高于”计算销售单价的最大值，再建立利润关于单价的二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴，结合单价上限确定最大利润及对应单价． 【详解】（1）解：设每月销售量（万个）与销售单价（元/个）之间的函数关系式为：． 把代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴公司销售单价应定为元或元； （3）解：∵每个生产成本为元，一件产品的利润率不得高于， ∴， 设该公司获得的利润为w万元， 则 ， ∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为万元． ∴公司销售单价定为元时可获利最大，最大利润为每月万元． 5．(1)， (2)这种玩具的降价1元时，超市每天获得的利润最大，最大利润是360元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求出函数解析式． （1）根据每天的总利润每个玩具利润降价后每天的销售数量可求解析式，根据降价后价格不小于进价，确定x的范围； （2）把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质再结合x的范围可求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意得， 自变量的取值范围为，即． （2）解： ， ， 当时，y有最大值，y最大值为360元， 这种玩具的降价1元时，超市每天获得的利润最大，最大利润是360元． 6． 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设该抛物线对应的函数表达式为，将代入求出该抛物线对应的函数表达式为，将代入求出，根据“车顶离隧道的顶部至少要有的距离”计算即可． 【详解】解：由题意可知，该抛物线经过点． 可设该抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的函数表达式为． 当时，， ． 故该辆货车的最大高度应是． 7．5小时 【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解． 【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意设，则； 把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：， ∴，， ∴顶点到的距离为1， ∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时）， 答：从处淹到拱桥顶还需要5小时． 8．(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题： （1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度 【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系 则抛物线的顶点在原点，设其解析式为 当拱顶离水面时，水面宽 即当时， 将代入解析式得： 解得： 所以函数解析式为： （2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即 代入解析式得： 解得： 此时水面宽度为 原水面宽 所以水面宽度增加： 9．(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 11．(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 12．(1) (2)面积的最大值为 (3)或 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可． （1）把点代入抛物线，即可； （2）设直线的解析式为：，求出解析式；当直线向上平移，与抛物线仅一个交点时，面积有最大值，且平移的解析式为，求出点的坐标，再根据，即可． （3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点；得到，根据全等三角形的判定和性质，则，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，延长交于点，过点作交于点，且轴，同理得到，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为，且通过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点． （2）∵，， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， ∴平移直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴点， 设直线与轴的交点为点， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 延长交于点，过点作交于点，且轴 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上 ∴直线的解析式为：， ∴联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 综上所述，点或． 13．(1)能，理由见解析 (2)AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 【分析】先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园． （2）解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 14．(1)后的面积S是； (2)点P的速度为； (3)当时，最大，最大值为. 【分析】（1）由题意可得点Q的速度为，当时，可得，,再进一步求解即可； （2）由是的二次函数，设的速度为，则的速度为，可得，可得，求解或，结合图象可得不符合题意，从而可得答案； （3）由（2）得：当，则，可得，再结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：∵点Q的速度是点P的两倍，点P的速度为， ∴点Q的速度为， 当时， ，, ∵， ∴， ∴的面积S是； （2）解：由题意可得：是的二次函数，设的速度为，则的速度为， ∴，，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得：或， 结合图象可得不符合题意； ∴点P的速度为； （3）解：由（2）得：当，则， ∴， ∵的最长运动时间为， 的最长运动时间为：， ∴当时，最大， 最大值为：. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，二次函数与几何图形的面积，二次函数的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，本题的计算量大，掌握基础的计算方法是解题的关键. 15．(1)； (2)20；800 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $