精品解析：湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

高一年级第一学期10月检测数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：肖凤希 审题人：严晓春 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 4. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 5. 已知全集，集合，，则图阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. “方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 7. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每题中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，.若集合，则______. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 14. 方程有两根，，且，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 19. 设集合. （1）11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. （2）证明：属于的两个整数，其积也属于； （3）写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一学期10月检测数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：肖凤希 审题人：严晓春 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】修改量词否定结论，可得结果. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 3. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 4. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再结合包含关系求出集合的个数. 【详解】依题意，，由，知， 因此集合可视为集合与集合的子集的并集，又的子集有个， 所以集合C的个数为8. 故选：A 5. 已知全集，集合，，则图阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出两集合，求出其交集，再求出相关补集即可. 【详解】，即，解得，则， ，则， 再在集合中取其补集得，则图阴影部分表示的集合是. 故选：D. 6. “方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出“方程至多有一个实数解”的充要条件，即可判断. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为即， 又是的充分不必要条件， 故选： 7. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 8. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每题中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小. 【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确； B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确； C选项，， 因为，，所以，故，所以，C正确； D选项，，因为，所以，，， 但的正负不确定，故无法判断的正负，从而无法判断与的大小关系，D错误. 故选：ABC. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；举反例即可判断B的真假． 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件． 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对B：，但为有理数， 若为无理数，但为有理数，为无理数， 故“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件；B正确， 对C：由“且”可得“”， 但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BD． 11. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式、结合“1”的妙用计算判断ACD；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，.若集合，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出，进而可得到答案. 【详解】由易知，， 由两个集合相等的定义可知包括两种情况： ①，得，经验证，符合题意； ②，易知该方程组无解， 综上，，， 则． 故答案为：0. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到为真命题，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为“”为假命题，可得为真命题， 即对于任意恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以取得最小值，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 方程有两根，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，易得，依题意可得，解之即得. 【详解】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. 【小问1详解】 由于或，， 故，， ， 【小问2详解】 ∵，∴ 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 可得 ,讨论，从而得到不等式组，求解参数； （2）若， q是p的必要不充分条件，知A真包含于B，即可求参数范围. 【小问1详解】 由，可得 ， 由 可得， 当，则，可得， 当，则，可得， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 若，是的必要不充分条件，A真包含于B， 则（不能同时取等号），解得， 故的取值范围为. 17. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 19. 设集合. （1）11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. （2）证明：属于的两个整数，其积也属于； （3）写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 【答案】（1）因为，，所以，； （2） 设这两个整数分别为， 则集合中的元素， 所以． 因为，所以， ，则成立. （3） “偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以， 而，所以满足集合， 所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以． 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 【解析】 【分析】（1）分析有，，再结合其定义即可判断. （2）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即 （3）设，再结合定义代入判断即可，且证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $