精品解析：山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025—2026学年济宁二中高二年级10月份检测 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 2. 已知点在平面内，并且对于平面外一点，有，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 3. 设,1,，,,，若与为共线向量，则（　　） A. ， B. C. D. 4. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 在数学考试中，小强的成绩在90分以上（含90分）的概率是0.1，在80-89分的概率是0.5，在70-79分的概率是0.2，则小强在数学考试中取得70分以上（含70分）的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 6. 先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ） A. “至少一枚硬币正面向上” B. “只有一枚硬币正面向上” C. “两枚硬币都是正面向上” D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 7. 事件A与事件B的关系如图所示，则（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B互为对立事件 8. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是(　　) ． A. B. C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选题）下列命题中不正确的是（ ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C. 若两个非零空间向量，，满足，则∥ D. 若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N不对立 C. M与N相互独立 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知事件和事件相互独立，若，则______. 13. 已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若 PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______. 14. 有下列四个命题： ①已知A，B，C，D是空间任意四点，则； ②若两个非零向量与满足，则； ③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； ④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题有_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率. 16. 如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球. （1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率； （2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，求与所成角的余弦值． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，. （1）求AM的长. （2）求与所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年济宁二中高二年级10月份检测 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 2. 已知点在平面内，并且对于平面外一点，有，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D． 考点：空间向量的共面问题． 3. 设,1,，,,，若与为共线向量，则（　　） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的性质列方程直接求解． 【详解】解：,1,，,,， 与为共线向量， ， 解得，． 故选：C． 4. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】根据向量减法原则，，而， 故. 故选：C. 5. 在数学考试中，小强的成绩在90分以上（含90分）的概率是0.1，在80-89分的概率是0.5，在70-79分的概率是0.2，则小强在数学考试中取得70分以上（含70分）的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥事件的概率加法公式求解即可 【详解】根据互斥事件的概率加法公式,易得所求事件的概率为 故选：A 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题 6. 先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ） A. “至少一枚硬币正面向上” B. “只有一枚硬币正面向上” C. “两枚硬币都是正面向上” D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 【答案】A 【解析】 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可； 【详解】先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点： 五角向上，一元向上；五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，一元向下； “至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”五角、一元都向上”三个样本点，正确； “只有一枚硬币正面向上”包括五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；两个样本点，错误； “两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点；错误； “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包括一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，两个样本点，错误； 故选：A 7. 事件A与事件B的关系如图所示，则（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B互为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可知事件A与事件B无交集,再分析即可. 【详解】由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且,因此A与B互斥不对立, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了互斥事件的集合表示方法,属于基础题型. 8. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是(　　) ． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率，故选C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，由不共面的向量可作为基底，以及空间向量共面定理依次判断即可得出结论. 【详解】解:对于A选项， ∵， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底； 对于B选项，设 ， ∴，此时无解, 则三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于C选项， 设， ∴,,,此时无解， ∴三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于D选项， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底, 故选：AD. 10. （多选题）下列命题中不正确的是（ ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C. 若两个非零空间向量，，满足，则∥ D. 若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 【答案】ABD 【解析】 【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C 【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误， 对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确， 对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误， 故选：ABD 11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N不对立 C. M与N相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误. 【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确； 对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，选项正确； 对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立. 对于选项：事件发生概率为 ，事件发生的概率，，选项正确. 故选： 【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知事件和事件相互独立，若，则______. 【答案】0.58 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由，得，由及事件和事件相互独立， 得， 所以. 故答案为：0.58 13. 已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若 PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得到的坐标，利用，列出方程组即可求解. 【详解】由已知得， 由题意得即， 解得，. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及向量的数量积的运算，其中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14. 有下列四个命题： ①已知A，B，C，D是空间任意四点，则； ②若两个非零向量与满足，则； ③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； ④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题有_____． 【答案】② 【解析】 【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】对于①，A，B，C，D是空间任意四点，则成立，①错误； 对于②，若两个非零向量与满足，即，则，②正确； 对于③，因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，③错误； ④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz（x，y，z∈R）， 当且仅当x+y+z＝1时成立，则P，A，B，C四点共面，④错误． 故答案为：② 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率. 【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.98 （4）0.28 【解析】 【分析】设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则根据相互独立事件、互斥事件的概率公式，有 （1）计算P（AB）即可； （2）计算P（）＋P（）即可； （3）根据“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况计算即可； （4）根据“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况计算即可 【小问1详解】 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件. 则2人都射中目标的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.9＝0.72. 【小问2详解】 “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中（事件发生），另一种是甲未射中、乙射中（事件发生）.根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P（）＋P（）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B） ＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. 【小问3详解】 “2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p＝P（AB）＋[P（）＋P（）]＝0.72＋0.26＝0.98. 【小问4详解】 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为p＝P（）＋P（）＋P（） ＝P（）·P（）＋P（A）·P（）＋P（）·P（B）＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 16. 如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （2）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （3）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （4）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式. 【小问1详解】 解：， 则； 【小问2详解】 解：，， 所以，； 【小问3详解】 解：. 【小问4详解】 解：. 17. 一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球. （1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率； （2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 【答案】（1）； （2）不公平，理由为： 从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件； 则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件； 因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足摸出的2个球都是白球所包含的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率； （2）用列举法列举出“从袋中连续取两次，每次取一球后放回”所包含的基本事件，以及“取出的两个球中至少有1个黑球”所包含的基本事件，基本事件个数比即为甲胜的概率，进而可得出结论. 【小问1详解】 从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件； 摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件； 则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 求古典概型的概率的常用方法： （1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率； （2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，求与所成角的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】先确定基底，再将向量、分别用基地表示出来，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】取基底， 则， ， 所以 设与所成角为，则， 所以与所成角的余弦值为. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，. （1）求AM的长. （2）求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长． （2）利用向量法求得与所成角的余弦值． 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，，， ． 【小问2详解】 因为,2,,,,0,,， 所以，， 则，． 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $