精品解析：陕西省咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年晨光中学高一第一次月考 数学试卷 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 给出下列四个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析各关系式即可得答案. 【详解】解：①,正确；②，错误；③，错误；④，错误. 故正确的个数为1个. 故选：A 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由可知或. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，则,即,所以或，所以时，不一定成立，若，则一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 5. 甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理解出值，则得到不等式，解出即可. 【详解】根据韦达定理得，则，则原不等式为， 解得，即解集为， 故选：B. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B没有包含关系 【答案】A 【解析】 【分析】将集合中的变形为，通过观察集合即可得解. 【详解】因为，，，所以． 故选：A. 7. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据元素与集合的关系求出参数的取值范围; 【详解】解：因为集合，所以， 又因为，则，即， 故选：． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 8. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，进而根据包含关系求解即可. 【详解】由，得，则. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，作差比较可知A正确；对于B，在a>b的两边同时乘以－c可知B正确；对于C，作差比较可知C正确；对于D，在a>b的两边同时乘以可知D错误． 【详解】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质比较大小，属于基础题. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项. 【详解】因为正实数a，b满足，所以， 所以，故当且仅当时等号成立， 故有最大值，A正确； 由A可得， 当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确； ，当且仅当时等号成立， 故有最小值4，C正确； 取，此时，所以的最小值不是， 故D错误， 故选：ABC.. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；变形式子并利用基本不等式求解判断B；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C；配方变形并利用基本不等式建立关系，再解不等式判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，正数为实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以. 故答案为：. 13. 设集合，，则满足且的集合有________个 【答案】12 【解析】 【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解. 【详解】因为且，，． 中一定含有4或5或4、5．当 中含有一个元素时，或，共2个； 当中含有两个元素时，，，，，，共5个； 当中含有三个元素时，，，，，共4个； 当中含有四个元素时，，共1个． 所以满足条件的集合有个． 故答案为：12 14. 调查在某商店购买了商品的50名顾客，发现其中有35名顾客购买了A商品，有30名顾客购买了B商品，则A，B两种商品都购买了的顾客最多有______名，最少有______名． 【答案】 ①. 30 ②. 15 【解析】 【分析】设购买了商品的顾客组成的集合为，购买了B商品的顾客组成的集合为，设的元素个数为，由集合关系证明，，由此可得结论. 【详解】设购买了商品的顾客组成的集合为，购买了B商品的顾客组成的集合为， 则A，B两种商品都购买了的顾客组成的集合为， 设的元素个数为，则的元素个数为， 因为，，故，， 所以， 当时，购买了B商品的顾客都购买了A商品， 所以当购买了B商品的顾客都购买了A商品时，A，B两种商品都购买了的顾客最多，最多为30名． 因为， 所以，当时，的元素个数为， 故当这50名顾客至少购买了A，B两种商品中的一种时，A，B两种商品都购买了的顾客最少，最少为名． 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，或，或或. 【解析】 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 16. 已知全集为，集合，或求： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【小问1详解】 由，或，得. 【小问2详解】 由全集为，得或，， 所以. 【小问3详解】 依题意，或，所以. 17. 设全集为实数集，集合. （1）当时，求； （2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由交集、补集运算即可求解； （2）由条件确定集合是集合的真子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 解，得，所以， 当时，， 或， 所以或， 【小问2详解】 由（1）知，， 而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立）， 解得. 即实数的取值范围. 18. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴， 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年晨光中学高一第一次月考 数学试卷 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 给出下列四个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B没有包含关系 7. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知，则的取值范围是______. 13. 设集合，，则满足且的集合有________个 14. 调查在某商店购买了商品的50名顾客，发现其中有35名顾客购买了A商品，有30名顾客购买了B商品，则A，B两种商品都购买了的顾客最多有______名，最少有______名． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，求，，，. 16. 已知全集为，集合，或求： （1） （2） （3） 17. 设全集为实数集，集合. （1）当时，求； （2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $