精品解析：山东省泰安市新泰市第一中学北校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

新泰一中北校高二上学期第一次大单元考试数学试题 命题人：李成金 审核人：赵玉良 日期：2025.10.13 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍的正弦公式求出斜率的值，再根据其与倾斜角之间的关系即可得到答案. 【详解】， 则斜率为， 则倾斜角，又因为，所以， 故选：C. 2. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法法则可得答案. 【详解】由. 故选：C 3. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 4. 已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称知识得到点关于轴的对称点为，连接，根据和的坐标求得直线的方程，求出它与轴交点坐标即为的坐标． 【详解】解：找出点关于轴的对称点，连接， 与轴的交于点，连接，此时为最短， 由与关于轴对称，， 所以，又， 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以 故选：D． 【点睛】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与轴的交点坐标，是一道中档题． 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 6. 设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将直线的方程化为，利用平行线间的距离公式可求出直线与的距离. 【详解】直线的方程可化为，因此，直线与的距离为. 故选：C. 【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 8. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解. 【详解】∵，，∴， ∵，∴． ∵，∴ ． ∴． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】选项，通过将直线的一般式转换成斜截式，从斜率和截距考虑直线走向；选项，通过选取直线上任意两点求出该直线的一个方向向量，再判断题中向量与该方向向量是否共线；选项，通过考虑两直线与第三直线的垂线的交点，距离第三条直线是否相等来判断第三条直线是否对称轴；选项，根据判断两直线平行的充要条件进行判断. 【详解】对于选项.因为，，故，，均不为0. 直线方程变形得，. 因，所以，又因，所以，即，所以. 因此该直线轴截距小于0，斜率大于0，故不经过第二象限.故选项正确. 对于选项.直线，当时，；当时，. 故该直线经过和.因此向量是该直线的一个方向向量. 而向量与向量并不共线，故向量不是该直线的方向向量.故选项错误. 对于选项.对于直线，变形得，，与该直线垂直的直线都可以表示为，. 该垂线与直线和直线分别交于和. 而此两交点距离直线的距离均为. 故两直线关于直线对称.选项正确. 对于选项.当时，直线与直线平行.因此前者是后者的充分条件. 当直线与直线平行时，，解得. 因此前者是后者的必要条件. 故“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.选项错误. 故选： 11. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 圆方程为 B. 点的轨迹围成区域的面积为 C. 点的轨迹关于对称 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点，结合两点间距离公式化简即可得A；利用圆的面积公式可得B；由直线过圆心可得C；将点代入圆的方程即可得D. 【详解】对A：设，则有， 化简得，故点的轨迹是圆，故A正确； 对B：由点的轨迹是圆， 则点的轨迹围成区域的面积为，故B正确； 对C：由点的轨迹是圆，圆心为， 又直线过点，故点的轨迹关于对称，故C正确； 对D：，故点在圆外，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：. 13. 已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先拆分，在根据向量数量积的定义计算. 【详解】依题意得，四面体为正四面体，于是每一个面为等边三角形，， ，易知的夹角是，的夹角是，连接，易知是等边三角形的高，故，于是. 故答案为： 14. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】把直线化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由，且，所以直线与不垂直， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）先联立两直线方程，求得，再由点斜式求出直线l的方程； （2）设直线m的方程为，分别表示出点的坐标，利用线段中点公式求出的值，即得点的坐标，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由，解得，即得， 由可得其斜率为， 故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. 【小问2详解】 如图，设直线m的斜率为k，其方程为， 令，可得，令，可得，故，， 因为线段的中点，则得，解得， 则、． 故的面积为. 16. 如图，在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得直线的斜率，再利用点坐标即可得解； （2）借助角平分线性质计算可得斜率，即可得直线的方程，再联立两直线方程即可得交点坐标. 【小问1详解】 由边上的高所在直线的方程为， 即，所以直线的斜率， 因为的坐标为，所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 由直线的方程为，令，可得，即， 因为的平分线所在直线的方程为，所以直线与关于轴对称， 又因为关于轴的对称点为，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，解得，即点的坐标为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18. 已知两点，直线. （1）求线段AB的垂直平分线方程； （2）若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出线段AB的中点坐标和斜率，利用垂直求出其中垂线的斜率，利用点斜式即可求得其方程； （2）设圆心坐标为，利用（1）的结论和圆心在直线上，联立成方程组，求解即得圆心坐标，求出圆的半径，即得圆的方程. 【小问1详解】 因线段的斜率为，中点为，即， 则线段AB的垂直平分线的斜率，故其方程为，即； 【小问2详解】 设圆心坐标为，因为圆心在直线上，则① ， 又圆过两点，则线段AB的垂直平分线必过圆心，由（1）可得②， 将①与②联立，解得，则圆心为，圆的半径为， 故圆的标准方程为. 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中北校高二上学期第一次大单元考试数学试题 命题人：李成金 审核人：赵玉良 日期：2025.10.13 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 4. 已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 6. 设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 11. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 圆方程为 B. 点的轨迹围成区域的面积为 C. 点的轨迹关于对称 D. 点在圆内 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 13. 已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则___________. 14. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 16. 如图，在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 已知两点，直线. （1）求线段AB的垂直平分线方程； （2）若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $