第十五章 专题三 等腰(边)三角形的判定与性质的综合运用+阶段检测三(15.3)-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

专题三等腰（边）三角形的判定 类型1)等腰三角形的有关计算 1.运算能力(1)一个等腰三角形的一边长为 8cm,周长为20cm,求其他两边的长， (2)已知等腰三角形的一边长为6cm,另一边 长为7cm,求它的周长， (3)已知等腰三角形的一边长为5cm,另一边 长为12cm,求它的周长， 类型2》等腰三角形的有关证明 2.(聊城阳谷期末)如图所示，已知在△ABC中， AB=AC,AC与AB边上的高BD,CE相交 于点O. (1)求证：△OBC是等腰三角形， (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说 明理由 △八年级·上册·数学.RJi 与性质的综合运用（答案P16) 3.如图所示，△ABC,△ADE均是等边三角形， 点B,C,D在同一条直线上. 求证：(1)CE=AC+CD. (2)∠ECD=60°. 类型3)动态几何中的等腰三角形 4.探究拓展如图所示，△ABC是边长为6cm的 等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发， 分别沿AB,BC方向匀速运动，其中点P运动 的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s, 当点Q到达点C时，P,Q两点都停止运动，设 运动的时间为ts,解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关 系如何？说明理由， (2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是 否能成为等边三角形？若能，请求出t的值； 若不能，请说明理由. 63 阶段检测三 一、选择题 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，则 △ABC的外角∠ACD的度数是( A.115° B.120°C.125° D.130° 2.(黄石黄石港区期末)如图所示，在△ABC中， ∠A=36°，AB=AC,BD是△ABC的角平分 线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则 图中等腰三角形共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(成都锦江区期末)如图所示，△ABC为等边三 角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交 AC的延长线于点E.若AB=5,AE=8,则DE 的长为( ) A.3 B.5 C.7 D.8 4.(榆林榆阳区月考)如图所示是某商场一楼与 二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分 别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC= 150°，BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是() 64 (15.3)(答案P17) 1509 AB A.3 m B.4m C.4.5mD.5m 二、填空题 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD平分 ∠BAC并交BC于点D,BD=5cm,则BC= cm. B D 6.如图所示，AB=BC=CD=DE=EF,若△DEF 为等边三角形，则∠A等于 A D 7.如图所示，AD为等边三角形ABC的高，E,F 分别为线段AD,AC上的动点，且AE=CF, 当BF+CE取得最小值时，∠AFB= D 8.(南昌期末)若一个三角形中一个角的度数是 另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为 “和谐三角形”.例如，三个内角分别为120°， 40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图所示， 在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°， D是边CB上一动点.当△ADC是“和谐三角 形”时，∠DAB的度数是 优+学察·课时通△ 三、解答题 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交 BC于点E,∠BAC=120°，AE=3cm,求BC 的长 10.推理能力如图所示，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线， 交AC于点D,E是AB的中点，连接ED并 延长，交BC的延长线于点F,连接AF. 求证：(1)EF⊥AB. (2)△ACF为等腰三角形 △八年级·上册·数学.RJ 1.如图所示，点B,C,D在同一条直线上， △ABC和△CDE都是等边三角形，BE交 AC于点F,AD交CE于点H,连接FH. 求证：(1)△BCE≌△ACD. (2)FH∥BD 12.如图所示，△ABC是边长为6cm的等边三 角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别 沿AB,BC方向匀速移动. (1)若点P的运动速度是1cm/s,点Q的运 动速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P,Q 两点都停止运动，设运动时间为ts,当t= 2时，判断△BPQ的形状，并说明理由. (2)若它们的速度都是1cm/s,当点P到达 点B时，P,Q两点停止运动，设点P的运动 时间为ts,则当t为何值时，△PBQ是直角 三角形？ 65.∠BAC=120°， 1 ∠BAD=∠DAC=2X120°=60. AD=AB,.△ABD是等边三角形 (2)△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD, ∠EDF=6O°，∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60°， BD=AD, ∠BDE=∠ADF, .△BDE≌△ADF(ASA),∴.BE=AF. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.B2.A3.124.2 5.解：：AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线 于点F,∠BDF=90°，AE=BE.∠ABE=∠A. ∠F=30°，∠DBF=60.∠ACB=90°，∠A=30°. ∴∠ABE=30°.∴.BE=2DE=2. 6.解：(1)过点P作PD⊥AB于点D .∠PBD=90°-60°=30°，且∠PBD=∠PAB+∠APB, ∠PAB=90°-75°=15°，.∠APB=15°，.∠PAB= ∠APB,.BP=AB=7海里， (2)轮船没有触礁的危险.理由： 由(1)得在Rt△PBD中，BP=7海里，∠PBD=30°，∠PDB= 90,PD=PB=3.5海里.3.5>3， ∴该轮船继续向东航行没有触礁的危险 7.B8.C9.8 10.解：过点P作PF⊥OB于点F. .∠AOB=30°，OC平分∠AOB, ∴.∠AOC=∠BOC=15°. PD/∥OA,∠DPO=∠AOP=15. ∴.∠BOC=∠DPO.∴.PD=OD=4cm. .∠AOB=30°，PD/OA,∴.∠BDP=30 1 六在Rt△PDF中，PF=zPD=2cm OC为∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.PE=PF.∴，PE=2cm. 11.解：如图所示，分别过点A,B作AE⊥CP于点E,BF⊥DQ 于点F, 在Rt△ACE中，∠ECA=30°，AC=54cm, aE=2AC=号×54=27em. 同理可得BF=27cm. :点A与点B之间的距离为10cm, ∴.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27十 10+27=64(cm). 闸机C D闸机 箱 箱 12.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， .∠B=60° 60÷2=30(s), '.0≤t≤30，BP=(60-2t)cm,BQ=tcm. 当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60-2t=t,'.t=20, 即当t=20时，△PBQ为等边三角形. (2)若△PBQ为直角三角形，则分两种情况： ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ, 即60-2t=2t,∴.t=15. ②当∠BPQ=90时，BQ=2BP, 即t=2(60-2t),∴.t=24. 即当t=15或t=24时，△PBQ为直角三角形. 专题三等腰（边）三角形的判定与 性质的综合运用 1.解：(1)①若底边长为8cm,则腰长为(20-8)÷2=6(cm),此 时长度为8cm,6cm,6cm的三条线段能构成三角形； ②若腰长为8cm,则底边长为20一8×2=4(cm),此时长度 为8cm,8cm,4cm的三条线段能构成三角形. 综上所述，其他两边的长分别为6cm,6cm或8cm,4cm. (2)①当6cm是腰长，7cm是底边长时，6+6>7，所以能构 成三角形，该三角形的周长为6十6十7=19(cm); ②当6cm是底边长，7cm是腰长时，6十7>7， 所以能构成三角形，该三角形的周长为6十7十7=20(cm). 综上所述，该等腰三角形的周长为19cm或20cm. (3)①当腰长为5cm时，5+5<12，所以不能构成三角形； ②当腰长为12cm时，5+12>12，所以能构成三角形，此时它 的周长是12+12+5=29(cm). 综上所述，该等腰三角形的周长为29cm. 2.解：(1)证明：，AB=AC,.∠ABC=∠ACB. :AC与AB边上的高BD,CE相交于点O, ∴.∠OEB=∠ODC=90°. :∠BOE=∠COD,∠OBE=180°-（∠OEB+∠BOE), ∠OCD=180°-（∠ODC+∠COD),∴.∠OBE=∠OCD, :∠OBC=∠ABC-∠OBE,∠OCB=∠ACB-∠OCD, .∠OBC=∠OCB,.OB=OC,.△OBC是等腰三角形. (2)点O在∠BAC的平分线上.理由如下： 在△BEO和△CDO中， (∠OBE=∠OCD, BO=CO, ∠BOE=∠COD, .△BEO≌△CDO(ASA),.OE=OD. 又，BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.点O在∠BAC的平分线上. 3.证明：(1)△ABC,△ADE均是等边三角形， .AE=AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°. '.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE. .△BAD≌△CAE(SAS)..BD=CE. .BD=BC+CD=AC+CD, ..CE=BD=AC+CD. (2)由(1)知△BAD≌△CAE. .∠ACE=∠ABD=60° ∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°， 4.解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直 角三角形.理由： ,AB=AC=BC=6cm,点P运动的速度为1cm/s,点Q运 动的速度为2cm/s, .当点Q到达点C时，BP=3cm. ∴.此时点P为AB的中点..PQ⊥AB. (2)能.假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等 边三角形，∴.BP=PQ=BQ.∴.6一t=2t,解得t=2. ∴△BPQ能成为等边三角形，此时t的值为2. 阶段检测三（15.3) 1.A2.D3.A4.B5.10 6.157.105 8.30°或80°或52.5°或0° 9.解：AB=AC,∴.∠B=∠C.∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=合180-∠BAC)=30 又AE⊥AB,.∠BAE=90° .∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90°=30°. ∴.∠C=∠EAC.∴.EC=AE=3cm. 在Rt△ABE中，∠B=30°， ∴.BE=2AE=6cm. '.BC=BE+EC=6+3=9(cm). 10.证明：(1).AB=AC,∠BAC=36°， ∴.∠ABC=∠ACB=72°. 又，BD是∠ABC的平分线， ∴.∠ABD=36°， ∴.∠BAD=∠ABD,.AD=BD 又，E是AB的中点，，DE⊥AB,即EF⊥AB. (2).FE⊥AB,AE=BE,.FE垂直平分AB, .AF=BF,,.∠BAF=∠ABF 又∠ABD=∠BAD,.∠FAD=∠FBD=36 又∠ACB=72°， .∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°， .∠CAF=∠AFC=36°， .AC=CF,即△ACF为等腰三角形， 11.证明：(1).△ABC和△CDE都是等边三角形， .BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°. '.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， (BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD, .△BCE≌△ACD(SAS). (2)由(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH.又，'△ABC 和△CDE都是等边三角形，且点B,C,D在同一条直线上， .∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF. 在△BCF和△ACH中， ∠CBF=∠CAH, 3BC=AC, ∠BCF=∠ACH, .△BCF≌△ACH(ASA).∴.CF=CH. 又，∠FCH=60°， △CHF为等边三角形 .∠FHC=∠HCD=60°..FH∥BD 12.解：(1)△BPQ是等边三角形，理由如下： 如图所示，根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, 当t=2时，AP=2cm,BQ=4cm. :△ABC是边长为6cm的等边三 角形， .AB=6cm,∠B=60°， ∴.BP=4cm, ..BP=BQ, ∴.△BPQ是等边三角形. (2)在△PBQ中，BP=(6一t)cm,BQ=tcm, 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° ①当∠BQP=90°时，∠B=60°， .∠BPQ=30°， ∴BQ=号BP,即4=2(6-0 1 解得t=2; ②当∠BPQ=90时，同理得BP=BQ, 1 即6-t=2,解得t=4. 综上所述，当t=2或t=4时，△PBQ是直角三角形. 特色素养专题（一）传统文化专题 1.A2.C3.D4.C 5.A或C 6.由 7.24 数学活动 1.B2.D3.A4.C e 6.45° 7.A8.D 本章综合提升 【本章知识归纳】 线段两个端点线段两个端点(x,一y)(一x,y) 等边对等角等角对等边 【思想方法归纳】 【例】解：当底边长为5时，腰长为6，此时能构成三角形，它的周 长为5+6+6=17； 当底边长为6时，腰长为5，此时能构成三角形，它的周长为 6+5+5=16. 因此等腰三角形的周长为17或16. 【变式训练1】50或65或80 【变式训练2】解：当底角为70时，顶角为180°-70°-70°=40°； 7