15.1 图形的轴对称-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

第十五章轴对称 11/11// 大单元建构· /1/1/0 轴对称图形、对称轴、对称点 相关概念 线段的垂直平分线 轴对称的性质 对称轴的画法 轴对称变换 画轴对称的图形 关于x轴对称 用坐标表示轴对称 关于y轴对称 轴对称 定义 等腰三角形 性质 判定 定义 等边三角形 性质 判定 含30°角的直角三角形的性质 最短路径问题 画折为直 /1//II/I 本章核心素养· /11// 学科核心素养 具体内容 价值 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用， 结合生活中存在的轴对称现象，抽象出轴对称、轴 抽象能力 感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形 对称图形的定义 成数学想象力，提高学习数学的兴趣 借助等腰三角形、等边三角形的性质进行线段或 运算能力有助于形成规范化思考问题的品 运算能力 角的计算 质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度 通过线段垂直平分线的性质和判定的证明，经历 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑 “探索一发现一猜想一证明”的过程，体会证明的 推理能力 的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理 必要性；通过对等腰三角形和等边三角形的性质 性精神 和判定方法的学习，提高推理能力 通过作线段的垂直平分线和找出一点到三角形三 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维 几何直观 边距离相等，以及找一点到两边的距离之和最短 的路径 等，培养几何直观 应用意识有助于用学过的知识和方法解决简 通过生活中的轴对称图形、将军饮马等问题，培养 应用意识 单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发 应用意识 展实践能力 △八年级·上册·数学.RJm 45 15.1图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质（答案P11) 通基础 LBKKKKKK111411141111114 知识点3轴对称图形与轴对称的性质 5.如图所示，△ABC和△ADE关于直线1成轴对 知识点1轴对称图形 称，下列结论：①△ABC≌△ADE;②L垂直平 1.教材P69习题15.1T1变式下面的图形是轴对 分DB;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的 称图形的是( 交点一定落在直线1上.其中错误的有( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A B 2.在如图所示的下列图形中，对称轴条数最少的 图形是 ,(只填序号) 口☒ 第5题图 第6题图 6.运算能力如图所示，△ABC和△DEC关于 3 直线1对称，若∠A=60°，∠E=20°，则 知识点2成轴对称 ∠ACB= 3.抽象能力如图所示的图形成轴对称的 通能力 IIIIIlIIllIILllUIIlIIlLulllL 有( 7.下列说法：①线段的对称轴有两条；②角是轴 对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两 点关于连接它们的线段的垂直平分线对称； ④到直线1的距离相等的两个点关于直线1对 A.0个 B.1个 称.其中正确的有() C.2个 D.3个 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.在下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线 8.推理能力如图所示，将长方形纸片ABCD沿 MN成轴对称的是( EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G M 处，EF为折痕.求证：△FGC≌△EBC. 46 优十学案·课时通 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线（答案P11) ←通基础m 4.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若 要使AB与AC的长相等，可添加条 知识点1线段的垂直平分线的性质 件 ,这样做的理由是 1.(凉山州中考)如图所示，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°， 5.如图所示，AD为△ABC的角平分线，AE= DE垂直平分AB交BC于 AF.求证：线段AD所在的直线是线段EF的 点D,若△ACD的周长为 垂直平分线. 50cm,则AC+BC=() A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 2.如图所示，CD垂直平分AB,AB平分 ∠CAD.求证：AD∥BC. 知识点3互逆命题与互逆定理 6.下列说法中，正确的是() A.每一个命题都有逆命题 B.假命题的逆命题一定是假命题 C.每一个定理都有逆定理 D.假命题没有逆命题 7.下列定理中，没有逆定理的是() A.三边对应相等的两个三角形全等 B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 知识点2线段的垂直平分线的判定 距离相等 3.如图所示，P是△ABC内一点，若PB=PC, C.全等三角形的对应角相等 则() D.直角三角形的两锐角互余 A.点P在∠ABC的平分线上 ☆易错点对线段的垂直平分线的判定理解不透 B.点P在∠ACB的平分线上 而出错 C.点P在AB边的垂直平分线上 8.如图所示，直线1与线段AB交于 D.点P在BC边的垂直平分线上 点O,点P在直线1上，且PA= PB,则下列结论正确的有() ①AO=BO；②PO⊥AB;③∠APO= ∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上. B A.1个B.2个C.3个 D.4个 第3题图 第4题图 △八年级·上册·数学.RJ 47 求证：(1)AD=FC. 之通能力 MEK1114111111111 (2)AB=BC+AD. 9.下列命题的逆命题是假命题的是() A.同旁内角互补，两直线平行 B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等 C.若两实数相等，则这两个数的绝对值一定 相等 D.全等三角形的对应边相等 10.（北京海淀区期中)如图所示，在四边形 ABCD中，AD=CD,AB=CB,我们把这种 两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”，根 据所学知识，下列选项正确的一项是() A.AC与BD互相垂直平分 B.AC垂直平分BD 通素养M C.BD平分一组对角 14.推理能力如图所示，在△ABC中，∠BAC> D.AC平分一组对角 90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 11.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F, M,N,直线EF,MN交于点P,连接AP. 连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则 (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上. ∠ACF的度数为( ) (2)求证：AP平分∠FAN. A.48° B.36° (3)设∠FAN=a,其他条件不变时，∠FPN C.30° D.24° 的度数是 .(用含a的代数式表示) 第11题图 第12题图 12.(淄博临淄区期末)如图所示，在△ABC中， AB=2.5,AC=6,CB=6.5,EF垂直平分 AC,点P为直线EF上的任一点，则△ABP 周长的最小值是( A.8.5 B.9 C.12 D.12.5 13.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,E 为CD的中点，连接AE,BE,BE⊥AE,延长 AE交BC的延长线于点F. 48 优+学案·课时通△ 第2课时 作对称轴（答案P12) 接CA,CB,CD,则下列结论不一定正确的 通基础 WMIIIIIIIIIIIUIu 是( 知识点1线段的垂直平分线的尺规作图 A.CD⊥直线L 1.运算能力如图所示，在△ABC中，AB= B.点A,B关于直线CD对称 4 cm,AC=6 cm. C.点C,D关于直线l对称 (1)作BC边的垂直平分线分别交AC,BC于点 D.CD平分∠ACB D,E.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写 。通能力》恤 作法)》 (2)在(1)的条件下，连接BD,求△ABD的 4.已知：如图所示，四边形ABCD.求作：点P,使 周长。 点P在四边形ABCD内部，PA=PB,并且点 P到∠BCD两边的距离相等， 5.(1)如图①所示，有分别过A,B两个加油站的 公路a,b相交于点O,现准备在∠AOB内建 个油库，要求油库的位置点P到A,B两加油 知识点2作对称轴 站的距离相等，而且P到两条公路a,b的距离 2.教材P69练习T1变式如图所示，画出下列图 也相等.请用尺规作图作出点P(不写作法，保 形的对称轴。 留作图痕迹)， B ① ② (2)如图②所示，此图形为轴对称图形，请用无 刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作 图痕迹) 知识点3经过直线外一点作已知直线的垂线 3.如图所示，C,E是直线1 两侧的点，以点C为圆 心，CE的长为半径画弧， DX 交1于A,B两点，又分别以点A,B为圆心， 大于？AB的长为半径画孤，两弧交于点D,连 △八年级·上册·数学.RJi 49在△CDE和△CBF中， ∠D=∠CBF, ∠DEC=∠BFC, CD-CB, .△CDE≌△CBF(AAS), ∴.CE=CF, ∴.AC平分∠DAB (2)由(1)，得△CDE≌△CBF,.BF=DE 在Rt△ACE和Rt△ACF中， (AC=AC, CE=CF, ∴.Rt△ACE≌Rt△ACF(HL), ∴.AE=AF=10, ∴.AB=AF-BF=6. 8.解：(1)证明：在△ABC和△EDC中， (AC=EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(SAS), ∴.∠A=∠E, ∴.AB∥DE. (2)当0≤t≤4时，AP=2tcm, 当4<t≤8时，BP=(2t一8)cm, .AP=8-(2t-8)=(16-2t)cm. (3)如图所示，根据题意，得DQ=tcm, 由(1)，得∠A=∠E,ED=AB=8cm, 则EQ=(8一t)cm. 在△ACP和△ECQ中， ∠A=∠E, AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, .△ACP≌△ECQ(ASA),∴.AP=EQ, 8 当0≤t≤4时，2t=8-t,解得t=3; 当4<t≤8时，16一2t=8-t,解得t=8. 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 【通中考】 9.C10.D11.B 12.100° 13.AD=CE或∠ACD=∠B 14.DE=EF或AD=CF 15.10 16.解：可选取①或②（只选一个即可）. ①证明：在△ABF和△CDE中， AB=CD, AF=CE, BF=DE, .△ABF≌△CDE(SSS),.∠B=∠D. .BF=DE ∴.BF+EF=DE+EF, ..BE=DE 在△ABE和△CDF中， AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF(SAS), .∠AEB=∠CFD, ∴.AECF 或②证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, 4 ∠BAF=∠DCE， AF=CE, .△ABF≌△CDE(SAS) ∠B=∠D,BF=DE, .BF十EF=DE十EF,.BE=DF 在△ABE和△CDF中， AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF(SAS), ∴.∠AEB=∠CFD, :.AE//CF. 17.证明：，点E为边AC的中点， ∴.AE=EC. DE=EF,∠AED=∠CEF, .△AED≌△CEF(SAS), ∴.∠DAE=∠FCE ∴CF∥AB 18.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， ∠C=∠D=90°， ∠CBA=∠DAB AB=BA, ∴.△ABC≌△BAD(AAS) (2)20 19.解：如图所示，作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为 一边作∠DEN=∠C,EN交AM于点P,如图所示，点P 即为所求. 或8. 3 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.A2.②3.B4.B5.A6.100°7.C 8.证明：根据题意，得四边形FGCE与四边形FDAE对称， ∴.DA=GC=CB,∠G=∠D=∠B=90° 又.∠GCF+∠ECF=90°，∠BCE+∠ECF=90°， ∴.∠GCF=∠BCE. ,'.△FGC≌△EBC(ASA) 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线 1.C 2.证明：.CD垂直平分AB,.AC=BC 11 ..∠CAB=∠CBA. 又.'AB平分∠CAD,∴.∠CAB=∠DAB. ∠CBA=∠DAB..AD∥BC. 3.D 4.BD=CD线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距 离相等 5.证明：AD是∠BAC的平分线， .∠BAD=∠CAD. (AE=AF, 在△AED和△AFD中，{∠EAD=∠FAD, AD-AD, .△AED≌△AFD(SAS)..DE=DF..点D在线段EF 的垂直平分线上.又，AE=AF,∴，点A在线段EF的垂直 平分线上.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 6.A7.C8.A9.C 10.C解析：.AD=CD, .,点D在线段AC的垂直平分线上， .'AB=CB, ∴，点B在线段AC的垂直平分线上， .BD是AC的垂直平分线. AD和AB不一定相等，CD和BC不一定相等， ∴AC不一定是BD的垂直平分线，故A,B选项错误； 在△ADB和△CDB中， AD=CD, AB=CB, BD-BD, .△ADB≌△CDB(SSS), .∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD, .对角线BD平分∠ABC,∠ADC,故C选项正确： 直线BD是筝形的对称轴，AC不是，故D选项错误 11.A12.B 13.证明：(1)，AD∥BC, ∴.∠ADE=∠FCE. 'E是CD的中点，∴DE=CE 在△ADE和△FCE中， I∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, .△ADE≌△FCE(ASA). ∴，AD=FC (2).△ADE≌△FCE,∴.AE=FE ,BE⊥AF,.BE是线段AF的垂直平分线， ..AB=BF=BC+CF..'.AB=BC+AD. 14.解：(1)证明：如图所示，连接PB,PC .PE垂直平分AB,PM垂直平 分AC, .'PA=PB,PA=PC,..PB=PC, ∴，点P在线段BC的垂直平分线上 (2)证明：由(1)知PB=PC, .∠PBF=∠PCN. .PE垂直平分AB,∴.PA=PB,FA=FB, .∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA, .∠PAF=∠PBF, 同理∠PAN=∠PCN, .∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. (3)180°-a 2 第2课时作对称轴 1.解：(1)如图所示. (2)如图所示，连接BD, ,DE是BC边的垂直平分线， .'BD=DC. .AB=4cm,AC=6cm,∴.△ABD的周长为 AB+BD-+AD=AB+AC=4+6=10(cm). 2.解：如图所示. *@ 3.C 4.解：如图所示，点P即为所求作. XM 5.解：(1)如图所示，点P即为油库应该修建的位置. (2)如图所示，直线1就是它的对称轴 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.D 2.解：如图所示，四边形A,B1C1D1即为所求作 3.解：(1)如图所示，△DFE即为所求作。