14.3 角的平分线-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

∴.∠BAD=∠ECA. ∠EAC+∠ECA=90°，.∠EAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°.∴.AB⊥AC. 专题二证明三角形全等的基本类型 1,证明：C是AB的中点，∴.AC=BC. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，{AD=BE, CD-=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SSS) 2.证明：AB∥CD,.∠ABD=∠EDC 在△ABD和△EDC中， (∠ABD=∠EDC, BD=DC, ∠1=∠2， .△ABD≌△EDC(ASA),∴.AB=DE. .DE+BE=BD=CD,..AB+BE=CD 3.证明：如图所示，设∠1∠7. .∠BCE=∠ACD, ∴.∠3+∠4=∠4+∠5. .∠3=∠5. 在△ABC和△DEC中， ∠1=∠D, 3∠3=∠5， BC=EC, ∴.△ABC≌△DEC(AAS).∴.AC=CD 4.证明：△EDF为等腰三角形，∠DEF=∠DFE=65°， .DF=DE,∠EDF=50°，.∠BDF=130°-∠ADE. 又：∠A=∠B=50°， .∠AED=130°-∠ADE, .∠BDF=∠AED. 在△BDF和△AED中， ∠B=∠A, ∠BDF=∠AED, DF=DE, ∴.△BDF≌△AED(AAS) 阶段检测一（14.1~14.2) 1.B2.D3.C4.B5.B 6.37.38.4 9.解：(1)证明：BE∥DF,∴.∠ABE=∠D 在△ABE和△FDC中， (∠ABE=∠D, RAB=FD, ∠A=∠F, ,.△ABE≌△FDC(ASA),∴.AE=FC. (2)△ABE2△FDC,..∠E=∠FCD=25°， .∠EBD=∠E+∠A=25°+110°=135°. 10.解：∠ABC与∠DFE互余. 理由：在Rt△ABC和Rt△DEF中， (BC=EF, AC=DF, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), ∴.∠ABC=∠DEF. 又，∠DEF+∠DFE=90°， .∠ABC+∠DFE=90°， 即两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余， 11.证明：(1)，AE平分∠BAD,.∠BAE=∠FAE 在△ABE和△AFE中， (AB=AF, ∠BAE=∠FAE, AE=AE, .△ABE≌△AFE(SAS). (2)由(1)，知△ABE≌△AFE, ∴.EB=EF,∠AEB=∠AEF,∠B=∠EFA=90°， ∴.∠EFD=90° :∠BEC=180°，∠AED=90°，.∠AEB+∠DEC=90, ∠AEF+∠DEF=90°，.∠DEC=∠DEF E为BC的中点，.EB=EC,∴.EF=EC. 在△ECD和△EFD中， EC=EF, ∠DEC=∠DEF, ED-ED, ∴.△ECD≌△EFD(SAS), ∴.∠ECD=∠EFD=90°，∴.BC⊥CD 12.解：(1)①证明：，∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED= 50°，.∠ACB=∠DCE=180°-2X50°=80° '∠ACB=∠ACD+∠DCB, ∠DCE=∠DCB+∠BCE, ∴.∠ACD=∠BCE. △ACB和△DCE都是等腰三角形， .'.AC=BC,DC=EC. 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, ∠ACD=∠BCE, DC=EC, ∴.△ACD≌△BCE(SAS),.AD=BE. ②.△ACD≌△BCE,∴.∠ADC=∠BEC ,‘点A,D,E在同一条直线上，且∠CDE=50°， .∴.∠ADC=180°-∠CDE=130°，.∠BEC=130° '∠BEC=∠CED+∠AEB,∠CED=5O°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=80°. (2)AE=2CF+BE. 证明：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， .∠CDE=∠CED=45 ,CF⊥DE,∴.∠CFD=90°， '.∠CDF=∠DCF=∠FCE=∠FEC=45°， ∴DF=EF=CF. .'AD=BE,.'.AE=DE+AD=2CF+BE. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.C 2.解：(1)如图所示，DE即为所求. 8 (2)DE∥AC. 3.C4.C5.D 6.证明：，AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°，∴.DC=DE DC=DE, 在△DCF和△DEB中，∠C=∠BED, CF=EB, ∴.△DCF≌△DEB(SAS),.BD=DF 7.解：(1)如图所示，作∠ADE=∠C,交AB于点E,DE即 为所求. (2)22 8.D9.1510.42 11.解：(1)∠B=50°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=70°. :AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=立∠BAC=35, ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=50°+35°=85 (2)如图所示，过点D作DH⊥AC于 点H ,'AD是△ABC的角平分线，DE⊥ AB,DH⊥AC, ..DH=DE=8. ,点F是AC上的动点，∴.DF的最小值为DH的长， 即DF的最小值为8. 12.解：PC=PD. 理由：如图所示，过点P分别作PE⊥OB 于点E,PF⊥OA于点F, ∴.∠CFP=∠DEP=90. ,OM是∠AOB的平分线， .'PE=PF. :∠PFO=∠PEO=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°. .∠2+∠FPD=90°.：∠CPD=90°， .∠1十∠FPD=90°.∴.∠1=∠2. 在△CFP和△DEP中， ∠CFP=∠DEP, PF=PE. ∠1=∠2， .△CFP≌△DEP(ASA).∴.PC=PD: 第2课时角的平分线的判定 1.A2.A 3.证明：D是BC的中点，.BD=CD DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.△BDE和△CDF都是直角三角形，△ADE和△ADF也 都是直角三角形 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (BD=CD, BE=CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD-AD, DE=DF, .Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴.∠DAE=∠DAF, ∴AD是△ABC的角平分线. 4.C5.122°6.C7.D8.B 9.①② 10.证明：(1)如图所示，过点P作PD⊥ AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥ AC于点F. ,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, .'.PD=PE,PE=PF, ..PD=PE=PF, ∴.AP平分∠BAC. (2②)：SaPa:Sa:S△Pe-(分AB·PD）:(2BC· PE):(AC.PF),PD-PE-PF, .SAPAB SAPRC SAPAC=AB:BC AC. 11.证明：.PE⊥OB,PD⊥OA, .∠PEG=∠PDF=90. 在Rt△PFD和Rt△PGE中， (PF=PG, DF=EG, .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).∴.PD=PE.P是OC上 一点，PD⊥OA,PE⊥OB,.OC是∠AOB的平分线： 12.解：(1)1：1 (2)如图所示，过点D作DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F. E AD平分∠BAC,DE=DF. .AB=m,AC=n, ∴.SAABD:S△McD= (AB·DE）:(分ACDF) m i n. (3)AD=DE, ∴.由(1)知，S△ABD:S△EBD=1:1. SABDE=10, ∴.S△ABD=10. .AC=3,AB=5,AD平分∠BAC, .由(2)知，S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3, .S△AcD=6,.S△ABc=10+6=16. 数学活动 1.D14.3角的平分线 第1课时 角的平分线的性质（答案P8) ←通基础 知识点1作已知角的平分线 1.推理能力如果要作已知∠AOB的平分线 OC,合理的顺序是() 第3题图 第4题图 ①画射线OC;②在OA,OB上分别截取OD, 4.运算能方如图所示，在△ABC中，AB=6, OE,使OD=OE;③分别以点D,E为圆心，大 AC=4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, 于。DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内 BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 部相交于点C 5.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DEI A.①②③ B.②①③ AB于点E,S△ABc=24,DE=4,AB=7,则 C.②③① D.③②① AC的长为() 2.如图所示，点D在△ABC的AB边上，且 ∠ACD=∠A. (I)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E. (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) A.3 B.4 C.6 D.5 (2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC 6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 的位置关系.（不要求证明） ∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上， BE=FC.求证：BD=DF. 知识点2角的平分线的性质 3.(信阳罗山期中)如图所示，BD是∠ABC的平 分线，DE⊥AB于点E,△ABC的面积是 30cm2,AB=12cm,DE=3cm,则BC的长 度为() A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 36 优+学案·课时通△ 7.如图所示，在△ABC中，点D在边AC上， 11.如图所示，AD是△ABC的角平分线，且 (1)请你过点D作DE∥BC,交AB于点E. DE⊥AB于点E,∠B=50°，∠C=60. (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (1)求∠ADC的度数. (2)如果点E在∠C的平分线上，∠C=44°，连 (2)若DE=8,点F是AC上的动点，求DF 接CE,那么∠DEC= 的最小值 之通能力mw 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥ AB,根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成 立的是( 通素养mL 12.几何直观如图所示，∠AOB=90°，OM是 ∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在 射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB A.∠BDE=∠BACB.DE=DC 交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系？ C.∠DAE=∠DACD.△ADE≌△BDE 请说明理由 9.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,BD:CD=3:2,点D 到AB的距离是6，则BC的长是 第9题图 第10题图 10.如图所示，在△ABC中，BC=9cm,AC= 12cm,CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于 点E,DE= AC,则△ABC的面积为 cm2. △八年级·上册·数学.RJ 37 第2课时 角的平分线的判定（答案P9) 通基础 MBAMK1KKKKK1111K1114111411311 知识点2三角形的角平分线 4.三角形中到三边距离相等的点是( ) 知识点1角的平分线的判定 A.三条高线的交点 1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，ED⊥ B.三条中线的交点 AB于点D且ED=EC,如果∠A=40°，那么 ∠EBD的度数是( C.三条角平分线的交点 A.25° B.30° C.35 D.40° D.三边垂线的交点 5.如图所示，O是△ABC内一点，且到三边的距离 相等，若∠A=64°，则∠BOC℃的度数为 第1题图 第2题图 2.推理能力如图所示，点P到AE,AD,BC的 B 距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平 知识点3角的平分线的实际应用 分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P 6.如图所示是一块三角形草坪，现要在草坪上建 在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC, 一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的 ∠CBE,∠BCD的平分线的交点.其中说法正 距离相等，则凉亭的位置应选在() 确的有() A.4个 B.3个C.2个 D.1个 3.(济南校级期末)如图所示，在△ABC中，D是 B BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 A.△ABC三条中线的交点处 E,F,BE=CF.求证：AD是△ABC的角平 B.△ABC三边的垂线的交点处 分线 C.△ABC三条角平分线的交点处 D.△ABC三条高所在直线的交点处 ☆易错点忽视三角形的外角平分线与内角平分 线有相同的性质 7.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所 示的三角形区域，如果要修建一个集贸市场， 使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个 集贸市场可选的位置有( /B A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 38 优计学离·课时通 之通能力 LKK111111111211 11.如图所示，P是OC上一点，PD⊥OA于点 D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上 8.如图所示，在△OAB和△OCD中，OA=OB, 的点，且PF=PG,DF=EG.求证：OC是 OD=OC,OA>OC,∠AOB=∠COD=50°， ∠AOB的平分线. 连接AC,BD相交于点M,连接OM.下列结 论：①AC=BD;②∠AMB=50°；③OM平分 ∠COB;④MO平分∠BMC.其中正确的个数 为() ←通素养 A.4 B.3 C.2 D.1 12.推理能力（北京丰台区期中）在△ABC中，D 9.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥ 是BC边上的点（不与点B,C重合），连 AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ, 接AD, PR=PS,下面三个结论：①AS=AR;②QP∥ (1)如图①所示，当点D是BC边的中点时， AR;③△BRP≌△CSP. S△ABD:S△ACD= 其中正确的结论是 .(填序号) (2)如图②所示，当AD平分∠BAC时，若 AB=m,AC=n,求S△ABD:S△AcD的值.（用 含m,n的式子表示) (3)如图③所示，AD平分∠BAC,延长AD 到点E,使得AD=DE,连接BE,若AC=3, 10.如图所示，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP AB=5,S△BDE=10,求S△ABc的值. 平分∠ACB,连接AP. (1)求证：AP平分∠BAC. (2)求证：S△PAB:S△PBC：S△PAC=AB: BC AC. △八年级·上册.数学.RJi 39