13.3 三角形的内角与外角-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和（答案P1) 通基础 K8111111 6.应用意识如图所示，按规定，一块模板中AB, CD的延长线应相交成85°角，因交点不在模板 知识点1三角形内角和定理 上，不便测量，工人师傅连接AC,测得 1.如图所示，在△ABC中，DE∥BC,∠AED= ∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB,CD的 60°，∠A=75°，则∠B=() 延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？ A.30° B.35° C.40°D.45° 第1题图 第3题图 2.在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C,则 ∠C=( ) A.32 B.36° C.40° D.128° 3.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=65°， 则∠APB= 知识点2三角形内角和定理的应用 ☆易错点考虑问题不全面致错 4.在△ABC中，若∠A=28°，∠B=62°，则 7.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角 △ABC是() 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 、通能力 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5.运算能力如图所示，A处在C处的北偏西30° 8.若△ABC三个角的大小满足∠A:∠B: 方向，B处在C处的北偏东45°方向，A处在B ∠C=2：3:4,则∠A的度数为() 处的北偏西70°方向，求∠BAC的度数. A.40° B.60° C.80° D.100° 9.(荆门沙洋期中)如图所示，∠A=40°，则∠1十 ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为( ) 70° 30 B C 440°2 5A A.540° B.500° C.460° D.420° 8 优+学案·课时通 10.空间观念如图所示，把△ABC沿线段DE 通素养 ATEEKK1H1211121111111111414 折叠，使点A落在线段BC上的点F处， BC∥DE,若∠A+∠B=106°，则∠FEC的 13.探究拓展 【概念理解】在一个三角形中，如 度数为 果一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 那么这样的三角形我们称之为“完美三角 形”.如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角 形是“完美三角形”. 【简单应用】如图①所示，∠MON=72°，在射 线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交 第10题图 第11题图 ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段 11.如图所示，BF平分∠ABD,CE平分 OB于点C(点C不与点O,B重合). ∠ACD,BF与CE交于点G.若∠BDC= (1)∠AB0= °，△AOB （填“是” 130°，∠BGC=90°，则∠A= 或“不是”)“完美三角形” 12.推理能力如图所示，△ABC的角平分线 (2)若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三 BD,CE相交于点P, 角形”. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A= 【应用拓展】 如图②所示，点D在△ABC的边AB上，连 接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在 (2)试猜想∠DPC与∠A之间的数量关系， 并说明理由. DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°， ∠DEF=∠B,若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数， M ① ② △八年级·上册·数学.RJ 9 第2课时直角三角形的两个锐角互余（答案P2) 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， 通基础 MEK1111K1014 ∠CAB,∠CBA的平分线AD,BE交于点F, 知识点1直角三角形的两个锐角互余 求∠AFB的度数. 1.几何直观如图所示，AB∥CD,AD⊥AC, ∠ACD=55°，则∠BAD=() A.70°B.55°C.45°D.35 第1题图 第2题图 2.如图所示，AD是Rt△ABC的斜边BC上的 高，则图中与∠B互余的角有() A.1个B.2个C.3个D.4个 知识点2有两个角互余的三角形是直角 3.如图所示，已知∠AOD=30°，点C是射线OD 三角形 上的一个动点.在点C的运动过程中，若 6.在下列条件：①∠A十∠B=∠C,②∠A: △AOC恰好是直角三角形，则∠A的度数 ∠B:∠C=5：3:2,③∠A=90°-∠B, 为 ④∠A=2∠B=3∠C.其中能确定△ABC是 直角三角形的条件有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 7.已知∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内 是AB边上的高，∠1=30°，求∠2，∠B,∠A 角，并且∠A十∠B=128°，∠B-∠C=38°，则 的度数. △ABC是 三角形 8.推理能力如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，BF平分∠ABC,∠AEF=∠AFE. 求证：AD⊥BC. 10 优+学案·课时通△ 9.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，13.如图所示，已知D是线段BC的延长线上一 CE平分∠ACB. 点，∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B,求证： (1)求∠ACE的度数. △AOE是直角三角形， (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°，求证： △CFD是直角三角形， 之通素养M 14.阅读理解（揭阳榕城区期末）定义：如果一个 三角形的两个内角a与B满足2a十B=90°， 那么我们称这样的三角形为“准互余三 角形”. 通能力 MIIIIIIIIuu (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°， 10.有下列条件：①∠A+∠B=∠C,②∠A: ∠A=60°，则∠B的度数是 ∠B:∠C=1:2:3,③∠A=∠B=∠C, (2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. ④∠A=90°-∠B.其中能确定△ABC是直 ①如图所示，若AD是∠BAC的平分线，请 角三角形的有( 判断△ABD是否为“准互余三角形”，并说明 A.①②③ B.①②④ 理由. C.②④ D.①②③④ ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余 11.如图所示，将直尺与含30°角的三角板叠放在 三角形”，若∠ABC=24°，则∠EAC的度数 一起，若∠1=55°，则∠2的度数是() 是 309 A.65° B.70° C.75° D.80° 12.将一把直尺与一块含45°角的三角板按如图 所示的位置摆放，若∠1=60°，则 ∠2= △八年级·上册·数学.RJ 11 13.3.2三角形的外角（答案P2) 通基础 VWB1KK11K1111111444 A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理 的证明才完整 知识点1三角形的外角 B.证法1用严谨的推理证明了该定理 1.在一个三角形中，一个外角是与其相邻内角的 C.证法2用特殊到一般法证明了该定理 3倍，那么这个外角是() D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证， A.150°B.135° C.120° D.100° 就能证明该定理 2.抽象能力顺次延长△ABC的三条边AB,BC,5.如图所示，CD是△ABC的角平分线，∠A= CA,所得的三个外角中，钝角最少有() 30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.无法确定 知识点2三角形外角的性质 3.(东莞期中)如图所示，在△ABC中，∠ACB= 6.(中山期中)如图所示，在△ABC中，∠A= 90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边 75°，∠BCD=32°，CD平分∠ACB. AC上点E处，若∠B=65°，则∠ADE的度 (1)求∠B的度数. 数为() (2)求∠ADC的度数. A.40° B.50° C.65° D.75 第3题图 第4题图 4.已知：如图所示，∠ACD是△ABC的外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证法1：如图所示.，∠A十∠B+∠ACB=180 (三角形内角和定理)， ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴.∠ACD+∠ACB=∠A十∠B+∠ACB(等量 代换). ∴.∠ACD=∠A十∠B(等式的性质). ☆易错点在计算三角形的内外角度数时，审题 证法2：如图所示.，∠A=76°，∠B=59°，且 不仔细导致错误 ∠ACD=135°（量角器测量所得）， 135°=76°+59（计算所得）， 7.(合肥庐阳区期中)若一个三角形三个内角的比 ∴.∠ACD=∠A十∠B(等量代换). 为1：2：6，则该三角形最大的外角为() 下列说法正确的是() A.108° B.120° C.160° D.162° 12 优+学·课时通△ (2)若CA⊥BE,∠ECD-∠ACB=30°，求 通能力 MAEKK14111218141111111111 ∠E的度数 8.如图所示，已知11∥12，则下列式子等于180° 的是() A.a+8+Y B.a+B-Y C.B+Y-a D.a-B+Y 通素养Mu 第8题图 第9题图 13.探究拓展认真阅读下面关于三角形内外角 9.教材P17习题13.3T6变式如图所示，已知直线 平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题. m∥n,∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数为( (1)探究1：如图①所示，在△ABC中，O是 A.80 B.70° C.60° D.50° ∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交 10.推理能力如图所示，将一张三角形纸片ABC 点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？ 的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折 并说明理由。 痕为DE,A'D与AC交于点F.如果∠A=a, (2)探究2：如图②所示，已知△ABC,O是 ∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO ∠CEA'=B,∠BDA'=Y,那么下列式子正确 的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量 的是() 关系？并说明理由。 A.Y=2a+8 B.Y=a+23 (3)探究3：如图③所示，已知△ABC,O是外 C.Y=a+B D.Y=180°-a-3 角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO 的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关 系？并说明理由， 第10题图 第11题图 11.如图所示，点E在边AC上，点F在边AB 上，BE,CF交于点O,且∠C=2∠B,∠BFC 比∠BEC大20°，则∠C的度数为 12.推理能力（泰安宁阳期中）如图所示，CE是 △ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交 BA的延长线于点E (1)试说明：∠BAC=∠B+2∠E. △八年级·上册·数学.RJ 13优计学案课时通 参 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 1.D2.C3.A 4.(1)3△ABD,△ADC,△ABC (2)ABD ADC ABD ADC (3)∠ABD,∠BAD,∠ADB 5.A6.A7.D8.C9.D10.A11.D 12.(1)AC,AD,CD∠BAC,∠ABC,∠ACB (2)BC BDC ABC DBC (3)△BCD,△ACD 13.解：(1)∠A=35°，∠B=60°，∠C=85°， .∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°， .△ABC为锐角三角形， (2):∠B=120>90°， .△ABC为钝角三角形 (3)∠C=90°， ,△ABC为直角三角形. (4).AB=BC, △ABC为等腰三角形. 14.解：(1)△ABE的三个内角分别是∠BAE,∠B,∠AEB (2)AD AC (3)6分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE △ADC,△AEC. 这些三角形中，直角三角形有△ABE,△ADE,△AEC;锐角 三角形有△ABC,△ADC:钝角三角形有△ABD. (4)线段AD是△ABD,△ADE,△ADC的公共边 (5)∠ADC是△ADE,△ADC的公共角；∠AED是 △ABE,△ADE的公共角 15.解：(1) 连接点数/个 123456 出现三角形的个数/个3610152128 (2)共连接了8个点. (32a+1a+2) 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.D2.B3.A4.45.-5<m<-3 6.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,则2x十2x十x=20, 解得x=4.2x=8..各边的长分别为8cm,8cm,4cm. (2)①当5cm为底边长时，腰长=7.5cm; ②当5cm为腰长时，底边长=10cm. 因为5十5=10，不能构成三角形，舍去， 故能围成有一边的长为5cm的等腰三角形，另两边长分别为 7.5cm,7.5cm. 7.D8.A9.D10.A11.6<m<912.8,813.C14.A 15.A 16.40cm或30cm 17.818.21或7.5或1219.3根 20.解：(1)设第三根木棒的长度为xm. 考答案 八年级·上册·数学·RJ 根据三角形的三边关系可得5一3<x<5+3, 即2<x<8,∴.结合表格x=3,4,5,6共4种选择， 有4种规格木棒可供小明的爷爷选择. (2)根据木棒的价格可知选规格为3m的木棒最省钱. 21.解：维修站要建在AC,BD的交点H D 处.理由如下： 如图所示，在四边形ABCD内另取一 点H',连接AH',BH',CH',DH',则 AH'+CH'>AC,BH'+DH'>BD, A B ..AH'+CH'+BH'+DH'>AC+BD,AH+CH+ BH十DH最短. 22.解：(1)，a,b,c是三角形的三边长， .a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0, .la-b-cl+18-c-al+lc-a-81=-a+8+c-6+ c+a-c+a+b=a+b+c. (2)a+b=11①，b+c=9②，a+c=10③， ∴.由①-②，得a一c=2,④ 由③+④，得2a=12,∴.a=6, .b=11-6=5,∴.c=10-6=4 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.B2.B3.9 4.解：CF,BE分别是AB,AC边上的中线，AE=2,AF=3, ∴.AB=2AF=2X3=6,AC=2AE=2X2=4.△ABC的 周长为15，∴.BC=15-6-4=5. 5.A6.40°7.D8.D 9.解：如图所示，过点A作BC边上的高 AE,交CB的延长线于点E. :2BC·AE=2AC·BD,AC=8, BC=4,BD=3, E B Xx8X3AE-6. 10.D11.B12.C13.12:15:1014.4 15.解：(1)如图所示，AE即为所求. (2)AD是△ABC的边BC上的 中线，△ABC的面积为10， △ADC的面积=号×10=5. B (3)AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积 为6， ∴.△ABC的面积为12. BD边上的高为3，.BC=12X2÷3=8. 16.(1)∠ABE=∠ACF,∠BAD=∠BCF,∠CAD=∠CBE (任写一组即可) (2)△ABC (3)△BC 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.D2.A3.115°4.B 5.解：，BECF,∴∠EBC+∠BCF=180°， 即∠EBA+∠ABC+∠BCF=180°. :∠EBA=70°，∠BCF=45°， ∴.∠ABC=180°-∠EBA-∠BCF=65° ∠ACF=30°，∴.∠ACB=∠ACF+∠FCB=75, ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°， 6.解：不符合规定.理由： 延长AB,CD相交于点O. 在△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°， .∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°= 83°≠85°. .模板不符合规定 7.50°或80°8.A 9.D解析：∠A=40°，∴∠1十∠2=180°-40°=140°，∠3+ ∠4=180°-40°=140°，∠5+∠6=180°-40°=140°， .∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=140°+140°+ 140°=420°. 10.32°11.50° 12.解：(1)60 (2②∠DPC=90-号∠A.理由： ,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, ∴∠1=合∠ABC,∠2=7∠ACB, ∠BrC=180-∠I-∠2=180-2∠ABC-2∠AcB 180r-2(☑ABC+∠ACBD. :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴∠BPC=180-(18-∠A)=90+2∠A, ∠DPC=180-(90+2∠A)=90-2∠A. 13.解：【简单应用】1)18是 (2)证明：.∠ACB=90°， .∠AC0=90°.：∠MON=72°， .∠OAC=90°-72°=18. ,∠A0C=72°=4X18°=4∠0AC, ∴.△AOC是“完美三角形” 【应用拓展】 :∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°， .∠EFC=∠ADC,.AD∥EF, .∠DEF=∠ADE. :∠DEF=∠B,∴∠B=∠ADE, ∴DE∥BC,.∠CDE=∠BCD. .'DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE,∴.∠B=∠BCD :△BCD是“完美三角形”， ',∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC. :∠BDC+∠BCD+∠B=180°， .∠B=30°或∠B=80°. 第2课时直角三角形的两个锐角互余 1.D2.B3.60°或90° 4.解：∠ACB=90°，∠1=30°，∠2=∠ACB-∠1= 90°-30°=60°.，CD是AB边上的高，.∠CDB=∠CDA= 90°..∠B=90°-∠2=90°-60°=30°，∠A=90°-∠1= 90°-30°=60°. 5.解：'∠C=90°，，∠CAB+∠CBA=90°. .AD,BE分别平分∠CAB,∠CBA, .∴.∠FAB+∠FBA=45..∴.∠AFB=135. 6.C7.直角 8.证明：如图所示， 在Rt△ABC中， :∠BAC=90°， .∠1+∠AFE=90°. B :BF平分∠ABC, ∠1=∠2.N∠AEF=∠AFE,∠3=∠AEF,∴∠3= ∠AFE..∠2+∠3=90°..∠BDE=90..AD⊥BC. 9.解：(1)∠A=30°，∠B=62°，.∠ACB=180°-∠A- ∠B=88. CE平分∠ACB,∴LACE=∠BCE=2∠ACB=4 (2)证明：CD⊥AB,∴.∠CDB=90° ∴.∠BCD=90°-∠B=28°. ∴.∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°. .∠CDF=74°，∴.∠CDF+∠FCD=74°+16°=90°. ∠CFD=90°.△CFD是直角三角形 10.B解析：①若∠A十∠B=∠C, .∠A+∠B+∠C=180°， .2∠C=180°，即∠C=90°， ,△ABC是直角三角形，符合题意； 3 ②若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠C=1+2+3× 180°=90°， △ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A=∠B=∠C,则∠A=∠B=∠C=60°， △ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A=90°-∠B,则∠A+∠B=90°，∴∠C=90°， ∴.△ABC是直角三角形，特合题意. 综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有①②④. 11.A12.150° 13.证明：，'∠ACD+∠ACB=180°， ∠ACD=∠ACB, ∴.∠ACD=∠ACB=90°. '∠AOE=∠COD,∠COD=∠B, .∠AOE=∠B. :∠BAC+∠B=90°， .∠BAC+∠AOE=90°， ∴.∠AE0=90°，即△AOE是直角三角形. 14.解：(1)15° (2)①△ABD是“准互余三角形”. 理由：AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD ∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°， .2∠BAD+∠B=90°， ,△ABD是“准互余三角形”. ②33°或24° 13.3.2三角形的外角 1.B2.B3.A4.B5.72° 6.解：(1)，CD平分∠ACB, .∠ACB=2∠BCD=2X32°=64°. 在△ABC中，∠A=75°，∠ACB=64°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-75°-64°=41°. (2)∠ADC是△BCD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BCD=41°+32°=73. 7.C8.B9.B10.A11.40° 12.解：(1).CE平分∠ACD,.∠ECD=∠ACE.∠BAC= ∠E+∠ACE,∴.∠BAC=∠E+∠ECD..∠ECD= ∠B+∠E,.∠BAC=∠E+∠B+∠E,∴.∠BAC= 2∠E+∠B. (2),CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.,∠ECD ∠ACB=30°，2∠ECD+∠ACB=180°，∴.∠ACB=40°， ∠ECD=70°.，CA⊥BE,∴.∠B+∠ACB=90°，.∠B= 50°.∠ECD=∠B+∠E,∴.∠E=70°-50°=20. 13.解：(1)∠A=2∠BOC一180°.理由如下： O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，，∠ABC= 2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.在△ABC中，∠A+2∠OBC+ 2∠OCB=180°，.∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180°.在 △BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，.∠OBC+ ∠OCB=180°-∠BOC,.∠A+2(180°-∠BOC)=180°， ∴.∠A=2∠BOC-180°. (2)∠A=2∠BOC.理由如下： :O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，∴∠ABC= 2∠OBC,∠ACD=2∠OCD.,'∠ACD=∠A+∠ABC= ∠A+2∠OBC,∠OCD=∠BOC+∠OBC,∴.2（∠BOC+ ∠OBC)=∠A+2∠OBC,∴.∠A=2∠BOC. (3)∠A=180°-2∠BOC.理由如下： :O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， .∠CBD=2∠OBC,∠BCE=2∠OCB,.∠ABC=180° ∠CBD=180°-2∠OBC,∠ACB=180°-∠BCE=180°- 2∠OCB,.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBO+∠BCO) .:∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴.2（∠CBO+∠OCB)= ∠A+180°.在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴.∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC,.2(180°-∠BOC)= ∠A+180°，∴.∠A=180°-2∠BOC. 专题一与三角形有关的角 1.C2.30°直角3.50°60°70°4.C5.C 6.30°解析：：BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACM的平分线， ∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50. :∠PCM是△BCP的外角，∠P=∠PCM-∠CBP= 50°-20°=30°. 7.解：(1)证明：如图①所示，连接AO并延长， ∠3是△ABO的外角， ∴.∠1+∠B=∠3.① :∠4是△AOC的外角， .∠2+∠C=∠4.② ①+②，得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4， 即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C. (2)如图②所示，连接AD,由(1)可得 ∠F+∠2+∠3=∠DEF,③ ∠1+∠4+∠C=∠ABC,④ ③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+ ∠ABC=130°+100°=230°， 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230° 130 1009 B ② 8解：D5时02∠BED=90-号∠C 证明：：AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ÷∠ABE-∠ABC,∠BAE-G∠BAC, :∠BED=∠ABE+∠BAE=合（∠ABC+∠BAC) 2180-∠c)-90-2∠c. 9.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°， .∠CBD=∠A+∠ACB=110. :BE是∠CBD的平分线， 1 ÷∠CBE=2∠CBD=55 (2):∠ACB=80°，∠CBE=55°， .∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25. DF∥BE,.∠F=∠CEB=25°. 10.解：∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠B=40°，∠C=35°，.∠BAC=105. 又：AE平分∠CAD, ∴.∠CAE=∠DAE. 由翻折得∠BAD=∠DAE, ∠B=∠E=40°. .∠BAD=∠DAE=∠CAE=35° ∴.∠AFD=∠CAE+∠C=70°. 又：∠AFD=∠1+∠E,∠1=70°-40°=30. 11.解：∠CEC'=180°-∠1，∠CFC'=180°-∠2，由翻折得 ∠CEF=2∠CBC,∠CFE=∠CPC.在△CEF中， ∠C=180-∠cEr-∠cFE=150-号(18o-∠1) 2180-∠2)=180-90+7∠1-90+号∠2- 321+∠8. .∠1+∠2=2∠C. 12.解：(1)①是 ②：∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”， △BPC内角的度数分别是72°，72°，36°，∴.∠BCP=36°或 72°，.∠ACP=54°或18°. (2)如图①所示，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时， 满足条件，此时∠BCP=45°； 如图②所示，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时 ∠BCP=60°； 如图③所示，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=50°， 如图④所示，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=40°： 如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时 ∠BCP=30°. 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或 50°或60°.