精品解析：云南省某校2026届高三上学期阶段性测试（一）数学试题

2026届高三年级阶段性测试（一） 数 学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、其他知识点抽测综合. 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. －2 C. －1 D. 2 2. 已知，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 9 3. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数则的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 与有关 7. 本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 已知是定义在上的单调函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，只有极大值，无极小值 B. 若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D. 不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最大值为________. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为________. 14. 已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求，的解析式； （2）存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级阶段性测试（一） 数 学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、其他知识点抽测综合. 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. －2 C. －1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集求参数，再代入检验即可. 【详解】，又因为， 故只能，解得，经验证此时满足题意. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】令，解得，代入即可求解. 【详解】令，则，所以． 故选：D． 3. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式结合充分必要条件求解即可. 【详解】若“”，则“”必成立， 但是“”，“”不一定成立， 例如，此时， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段讨论单调性，即可求出的值域. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增， 则,所以； 当2时，函数在上单调递增，, 所以.综上所述，的值域为． 故选：B． 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由条件常数代换后，利用基本不等式计算即得. 【详解】因，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 与有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算定义域，结合定义域化简函数解析式，再计算出为定值即可得解. 【详解】由，则，解得， 则，故， 则， ， 故. 故选：A. 7. 本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 则， 又， 则有，即，故实数的最大值为. 故选：C. 8. 已知是定义在上的单调函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 【答案】C 【解析】 【分析】不妨，则，分单调递增和单调递减，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】根据题意，不妨，则， 当函数单调递增时，可得， 所以，所以； 当函数单调递减时，， 所以，所以； 综上可得，. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时可对A判断求解；由不等式性质可对B判断，由，即可对C判断；由基本不等式即可对D判断. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，，显然正确，故B正确； 对于C，当时，，则，故C正确； 对于D，（当且仅当时等号成立）， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知新定义计算判断A，B，作商计算化简判断C，D. 【详解】对于A选项，，则，由可知，故A正确； 对于B选项，注意到，，故，即，故B正确； 对于C选项，，则，当，，时，，可得，故C错误； 对于D选项，，则，可得，故D正确. 故选:ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，只有极大值，无极小值 B. 若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 当时，函数在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D. 不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】先借助导数讨论函数单调性，再利用函数单调性与极值的关系计算可得A、B；利用函数单调性与最值的关系计算可得C、D. 【详解】， 若，则，即在上单调递增； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 若，则当时，， 当时，， 则在、上单调递增，在上单调递减； 对A：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，有极小值，故A错误； 对B：若函数在处取到极大值，则，故B正确； 对C：当时，在、上单调递增，在上单调递减， 由，，则， 又函数在区间内取到最大值，则有， 解得，故C错误； 对D：若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，且函数在区间内既有最大值又有最小值， 则有，，， 即有，， 当时，，即，不符； 若，则在上单调递增，在区间上不存在最大值与最小值； 综上所述：不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件得到，再利用基本不等式，可求的最大值. 【详解】因为，，，所以，所以， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 14. 已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号） 【答案】② 【解析】 【分析】①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数图像的交点个数问题，分别判断，两种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果； ②根据题意，先令，画出函数的图像，结合函数零点个数以及函数图像，判断方程根的分布情况，以及方程根的个数情况，即可判断出结果； ③根据题意，只需判断出时，函数零点个数不一定是个，即可得出结果. 【详解】①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标， 当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点； 当时，由得，即，即， 因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错； ②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令； 做出函数的图像如下： 由图像可得：当时，与有个交点； 当时，与有个交点； 因为函数恰有个不同零点， 则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）； 所以只需，，因此，， 所以；，，因此；故②正确； ③由，得； 所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数； 由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点； 当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点； 若，由基本不等式可得：，即时，； 若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错. 故答案为：②. 【点睛】本题主要考查判断命题的真假，考查分段函数的应用，考查函数零点的应用，灵活运用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程； （2）求导，分和讨论判断导数的正负，得解. 【小问1详解】 当时，，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，， 当时，有，即在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成当时，恒成立，令，通过变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得，所以， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 因为“”是“”的必要条件，所以， 即对任意的，不等式恒成立， 又，即对任意的，恒成立． 令，则， ， 当且仅当，即时，取“”． 所以，即实数的取值范围是． 17. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求，的解析式； （2）存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据题意，得到，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，设，转化为，当时，得到，设，利用基本不等式，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组，解得，. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 因为，所以， 可得， 所以，即， 设，则，即， 当时，则，不合题意； 当时，则，设，则只需， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 证明：由已知， 所以， 故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可得证． （2）利用函数的奇偶性和单调性，简化不等式即可求解． （3）将函数的图象在区间上与轴有2个交点转化为方程在上有两个实数根的问题， 再利用换元法并结合函数的单调性求出的值域，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，得其定义域为，又，， 所以是上的奇函数，且单调递增． 因此不等式，即， 所以，解得，故不等式的解集为． 【小问3详解】 由已知，， 函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以方程在上有两个实数根， 即在上有两个实数根， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，即， 令，则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其最小值， 且， 作草图如下， 则当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即实数的取值范围为． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1） （2） （3）对任意的，由是偶函数，得， 又，所以， 所以，因为，则， 所以，所以． 对任意的时，，则， 所以.又，则，即， 所以当时，，而为偶函数，画出函数在上的图象如图1所示，其中，但均未知． 首先说明， 若，则，易知此时，则， 所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即． 令，则， 当时，若，如图2，最多有7个零点， 当时，若，如图3，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，如图4，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，则，0，4是的零点， 又，如图5，在区间上各有1个零点，以及，0，4是零点，故最多有9个零点． 综上所述，对任意实数，函数在上至多有9个零点． 【解析】 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据在和上的单调性可得，结合，即可根据二次函数的性质求解， （3）根据的奇偶性以及所给定义，可作出的图象，结合函数图象交点的情况，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，得对， 所以． 【小问2详解】 因为，所以存在实数使得，且， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增． 由，得，所以， 若，则方程无解； 若，则方程可以化为， 因为在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，当时，，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $