期中高频易考题综合测试01【范围：第1-3章】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册期中高频易考题综合测试 【 范围：第1-3章】 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（本题3分）如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 4．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为（   ）． A． B． C． D． 5．（本题3分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 8．（本题3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 10．（本题3分）如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若，是方程的两个根，则的值为 ． 12．（本题3分）如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ． 13．（本题3分）若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为 ． 14．（本题3分）如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 15．（本题3分）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 16．（本题3分）已知是方程的一个根，代数式的值是 ． 17．（本题3分）湖南省拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的概率为 ． 18．（本题3分）如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 20．（本题9分）已知关于 x 的方程 有两个实数根． (1)求实数 k 的取值范围； (2)若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值． 21．（本题9分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．（本题9分）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 23．（本题9分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 24．（本题10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 25．（本题12分）如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $期中高频易考题综合测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题(（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) 19.(本题8分)用适当的方法解下列方程： (1)x2-6x+5=0 (2)2x(x+1)=3(x+1) 20.(本题9分) 21.(本题9分) D B 22.(本题9分) D E H B G C 23.(本题9分) 人数 25 20 20 15 D 一一一一一一一一一一一- 10% 10 B 10 0% 5 A A BC D 实验 图1 图2 (0L￥)忆 ■ E园 阁 I园 N d (乙LΨ)S7 2025-2026学年北师大版九年级数学上册期中高频易考题综合测试 【 范围：第1-3章】 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（本题3分）如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 4．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线的积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为、， ∴菱形的面积， 故选：． 5．（本题3分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意列出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花有：红黄、红白、红紫、黄白、黄紫、白紫，共6种情况， 当选中红黄、红白、黄紫、白紫时，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种情况， ∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率是． 故选：C． 6．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 7．（本题3分）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：， 解得：， 即， 如图，对角线和交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 故选：A 8．（本题3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 9．（本题3分）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10．（本题3分）如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质推出，，得到和都是等腰直角三角形，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是边长为的正方形， ，，，，， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点在第二象限内， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查三线合一，直角三角形的性质，连接，三线合一得到，由直角三角形的性质得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵，F是的中点， ∴， 又∵E是的中点， ∴ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴， ∵， ∴． 故答案为∶5． 13．（本题3分）若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将一元二次方程配方成的形式，求出p，q的值，从而可求的值． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：5． 14．（本题3分）如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 15．（本题3分）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 16．（本题3分）已知是方程的一个根，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． 17．（本题3分）湖南省拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的运算，熟练掌握列表法是解题的关键． 利用列表法求出概率即可． 【详解】解：将“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点分别记为：，，，，在这四个景点中选择两个景点去游玩，列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能结果，其中他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的结果有：，两种结果， ∴， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】连接，，根据题意及正方形的性质，证得四边形是平行四边形，得到，，进而证明四边形是矩形，得到，， 从而得到，结合，得到， 根据正方形的对称性得到，， 进而根据角和边的等量代换证得，，从而得到是等腰直角三角形， 已知的长，根据勾股定理可求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，从而可解得正方形的边长． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 即也是正方形的对称轴， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 即， （负值已舍去）， ， 即正方形的边长为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可． （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， 移项：， ∴， ∴或， 解得：． 20．（本题9分）已知关于 x 的方程 有两个实数根． (1)求实数 k 的取值范围； (2)若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系． （1）由，进一步求解即可． （2）由，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于 x 的方程 有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：设方程的两根为，， 则 ，， ， 由题意，， 即 ， ∴， 解得：，， ∵ ， ∴． 21．（本题9分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得四边形是平行四边形，，结合角平分线得到，利用等腰三角形的性质得，即可判定为菱形； （2）根据菱形的性质得，，，利用勾股定理求得，结合即可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质． 22．（本题9分）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转得，因为于点H，所以，则垂直平分； （2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点F在的延长线上，由，求得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分． （2）解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 23．（本题9分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； （2）解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 24．（本题10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)14000 (2)降价30元 (3)不能达到，见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式进行计算即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可； （3）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：14000； （2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得； 要求每箱饮料获利大于80元， ， 答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元； （3）， 整理得， ， 方程无解， 答：每天销售饮料获利不能达到15000元． 25．（本题12分）如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 【答案】(1)：，证明见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】（1）连接，可证明，得到；根据四边形内角和定理和平角的定义可证明，则可证明，得到，据此可证明； （2）过点E作于H，求出，由三线合一定理得到，证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理可得答案； （3）先根据题意补全图形，可证明B、D、N三点共线；可证明，由折叠的性质可得，，即；过点M作，过点N作，垂足分别为G、W，证明，再证明都是等腰直角三角形，可推出；过点E作于P，延长交于Q，连接，则四边形是矩形，由（2）可知，则，进而可求出；过点M作于H，则，由等面积法可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下所示： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴B、D、N三点共线； 由（1）可得， 又∵， ∴， 由折叠的性质可得，，即； 如图所示，过点M作，过点N作，垂足分别为G、W， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于P，延长交于Q，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由（2）可知， ∴， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图所示，过点M作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 试卷第4页，共6页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $