精品解析：江苏省无锡市港下中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

九年级数学 阶段性练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 三角形的外心是（ ）． A. 各内角的平分线的交点 B. 各边中线的交点 C. 各边垂线的交点 D. 各边垂直平分线的交点 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 5. 下列说法，错误的是（　　） A. 过三点可以确定一个圆 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 弦的垂直平分线一定经过圆心 D. 直径是弦 6. 如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在_________． 12. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 13. 如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________． 14. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 15. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 17. 某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 18. 如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为___________． 三、解答题(本大题共9小题，共96分.) 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为，求实数k的值． 21. 如图，的内接四边形的两组对边的延长线分别交于，，当，，求的度数；设，要解题过程 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 23. 如图，在三角形中，，是上一点，以为半径的与相切于点，与相交于， （1）求证：是的平分线； （2）若，，求长； 24. 如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． （1）用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； （2）如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 25. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 26. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，的长度等于？ 27. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 阶段性练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 是一元二次方程，故符合题意； C. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．直接根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3. 三角形的外心是（ ）． A. 各内角的平分线的交点 B. 各边中线的交点 C. 各边垂线的交点 D. 各边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点． 故选D． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 下列说法，错误的是（　　） A. 过三点可以确定一个圆 B. 等弧所对的圆心角相等 C. 弦的垂直平分线一定经过圆心 D. 直径是弦 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键． 根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：A．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误； B．等弧所对的圆心角相等，正确； C．弦的垂直平分线一定经过圆心，正确； D．直径是弦，正确． 故选：A． 6. 如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 7. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中， ∴ 即直尺的宽度为． 故选：C． 8. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 9. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA． ∴AE=AB=，PA=2，PE==1． ∴PD=． ∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴DC=2， ∴a=PD+DC=2+． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在_________． 【答案】内 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内,据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点A到圆心O的距离为3，且， ∴点A在内， 故答案为：内． 12. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，在上取点，连接，，，，，， 由，得是等边三角形，则，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形得性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上取点，连接，，，，，， ∵半径为的中，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角或， 故答案为：或． 13. 如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 14. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用． 由是直径，可得，又由圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：∵是直径， ∴， 又∵是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出，设，则，，根据栅栏总长为米得出，则，进而根据总区域面积为平米，列出方程，再化为一般式即可求解． 【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形的面积是矩形的倍， ∴， ∴； 设，则，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∵总区域面积为平米， ∴，即； ∴ 即． 故答案为：． 18. 如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由切线性质知，则(勾股定理).为半径(定值)，故当最小时，最小，而的最小值为到的垂线段长度(垂线段最短)． 【详解】如解图，连接，过点C作于点H． 是的切线， ，当时，最小，取最小值． 为等边三角形， ， ， 的最小值为． 【点睛】通过切线性质构造直角三角形，将转化为，再利用“垂线段最短”求最小值，从而得到最小值． 三、解答题(本大题共9小题，共96分.) 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3）， （4）， （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一般方法有：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）直接开平方法求解； （2）因式分解法求解； （3）配方法求解； （4）因式分解法求解； （5）因式分解法求解； （6）因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或， ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴，； 【小问4详解】 解：， 或 ∴，； 【小问5详解】 解： 或 ∴； 【小问6详解】 解： 或 ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为，求实数k的值． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可证明结论； （2）把代入求出k即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：或． 21. 如图，的内接四边形的两组对边的延长线分别交于，，当，，求的度数；设，要解题过程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；连接，根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为圆的内接四边形， ∴ 又∵ ， ， ， ， 即， ， ． 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由三角形内角和定理可得，又，所以，求出，最后通过三角形内角和定理，等腰三角形的性质即可求解； （）过点作，垂足为，由勾股定理得，又，求得，所以，最后由垂径定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在三角形中，，是上一点，以为半径的与相切于点，与相交于， （1）求证：是的平分线； （2）若，，求长； 【答案】（1） 证明：连接； ∵与相切于点D ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、角平分线的定义、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键． （1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证； （2）在中，由勾股定理即可求半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴在中； ∵，， 设圆的半径为r， ∴ 解得， ∴圆的半径为 ∴． 24. 如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． （1）用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； （2）如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 【答案】（1）圆心P的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， （2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可． 【小问1详解】 如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， 连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M， ∵，A（3，0）、B（5，0） ∴，即点M是AB的中点 ∴M点坐标为（4，0） ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y） ∵ ∴，解得 ∴圆心P的坐标为； 【小问2详解】 如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN， 同（1）可得点M的横坐标为4， ∴设点M的坐标为 ∵⊙M与直线l：相切相切与点N ∴ ∴设MN所在直线的表达式为 将点M代入得，即 ∴MN所在直线的表达式为 ∴联立得：，解得 ∴点N的坐标为 ∵点A和点N都在⊙M上 ∴ ∴ 整理得 解得：或 ∴圆心M的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 26. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）为5或7 （2）为或4 【解析】 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可； 【小问1详解】 解：根据题意知，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，． 故当为5或7时，的面积等于； 【小问2详解】 设秒后，的长度等于，根据勾股定理，得 ，即， 整理得，， 解得，． 故当为或4时，的长度等于． 27. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】 [问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）2或5； （2）； [拓展延伸] 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决]略； [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $