2.1.1 等式的性质与方程的解集 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教案聚焦“等式的性质与方程的解集”，涵盖等式性质、恒等式、十字相乘法及方程解集等核心知识点。通过数学史证明历程导入，衔接初中已有等式认知，搭建从直观理解到符号表达的学习支架。 此教案特色鲜明，以天平和跷跷板类比等式性质培养几何直观（数学眼光），引导学生用符号语言表性质发展数学抽象，十字相乘法结合图示强化直观想象，例题多解法提升数学运算能力。落实数学抽象、逻辑推理等核心素养，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

百师联盟 精品资源 侵权必究 课题 2.1.1 等式的性质与方程的解集 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第二章第一部分第一小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 （1）掌握等式的性质并会应用；（重点） （2）掌握几个重要的恒等式； （3）会用十字相乘法进行因式分解；（难点） （4）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.（重点） 核心素养 （1）数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程； （2）逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法； （3）数学运算：求方程的解集； （4）直观想象：十字相乘法分解因式； 教学方法和手段 教学方法：启发法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 导入 新课 【情境展示】 教师活动：教师介绍数学史上的证明历程，引出本节课题。 通过数学家的各项证明的简单介绍引出本节所要学习的知识。 知识 精讲 知识点一：等式的性质 知识点二：恒等式的概念 知识点三：方程的解集 教师讲解：我们已经学习过等式是指用等号“=”连接起来的式子，比如：3+2=5， 9a+3b=7y，（教师展示天平和跷跷板的图片），等式就像平衡的天平和跷跷板一样，等号两边的结果是相等的. 等式有如下几个性质： 1.对称性 如果 a=b，那么 b=a 2.传递性 如果 a=b，b=c，那么 a=c 等式还有四则运算性质： 1.加减性 等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍然成立. 2.同乘性 等式的两边同时乘以同一个数或代数式，等式仍然成立. 3.同除性 等式的两边同时除以同一个不为零的数或代数式，等式仍然成立. 教师布置任务：请同学们仿照老师所示范的对称性和传递性，用符号语言和量词来表示上述等式的三条运算性质： 学生回答： 如果 a=b，那么 a±c=b±c 如果 a=b，那么 ac=bc 如果 a=b，c≠0，那么 = 教师布置任务：补全下列（1）（2）中的两个公式，你能从量词的角度对下列等式进行分类吗？ （1）a2−b2= (a+b)(a−b) （平方差公式）； （2）(x+y)2= x2+2xy+y2 两数和的平方差公式）； （3）3x−6=0; （4）(a+b)×c=ac+bc; （5）m(m−1)=0; （6）t2+1=(t+1)(t2−t+1). （学生自主完成填空，小组之间讨论交流分类的标准） 预设答案： 等式(1)(2)(4)(6)对任意实数都成立，而等式(3)(5)只是存在实数使其成立. 教师在学生回答的基础上给出恒等式的概念： 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如：因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意实数x,y都成立.所以可用其他代数式去替换其中的x,y，等式仍会成立,若用−y替换其中的y，则(x−y)2=x2+2x(−y)+(−y)2=x2−2xy+y2，就得到了两数差的完全平方公式。 例1： 化简(2x+1)2−(x−1)2. 【解析】 方法一: (2x+1)2−(x−1)2 =4x2+4x+1−(x2−2x+1) =3x2+6x 方法二： (2x+1)2−(x−1)2 =[(2x+1)+(x−1)][(2x+1)−(x−1)] =3x(x+2) =3x2+6x 教师提问：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是否是恒等式？请说明理由. （学生在演算纸上自行证明） 学生回答：是恒等式，将等号左侧展开再合并同类项即可得证. 教师讲解：容易看出，可以利用上述恒等式进行因式分解，给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).通常可用下图表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”. 例如：对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=(x+3)(x+2). 教师提问：(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd是否是恒等式？由此你能给出Ex2+Fx+G的因式分解方法吗？ （学生独立思考，仿照x2+Cx+D的证明思路进行证明，小组之间可以交流讨论，在演算纸上写出证明过程，对于证明比较困难的学生教师进行适当提示） 学生回答：是恒等式. 只需将左边展开然后合并同类项即可. 师生总结：给定式子Ex2+Fx+G，如果能找到a、b、c、d，使得E=ac,G=bd,F=ad+bc,则Ex2+Fx+G=(ax+b)(cx+d)，用图表示为： 教师讲解：方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值， 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 例如：对于方程3x+2=8来说，利用等式的性质，先在等式两边同时加上-2，然后在上述等式两边同时除以3，则得x=2，因此方程3x+2=8的解集为{2}. 又如：对于方程x2+3x+2=0来说，利用恒等式进行代数变形，得到(x+2)(x+1)=0，从而(x+2)(x+1)=0⇔x+2=0或x+1=0，因此，方程x2+3x+2=0的解集为{-2,-1}. 例2 ：求方程x2−5x+6=0的解集. 【解析】因为x2−5x+6=(x−2)(x−3) 所以原方程可化为(x−2)(x−3)=0 所以x−2=0或x−3=0 解得x=2或x=3 所以方程的解集为{2,3} 例3 ：求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数. 【解析】当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以,得x=, 此时解集为{}. 当a=0时，方程变为0x=2,这个方程无解，此时解集为∅. 综上，当a≠0时，解集为{}； 当a=0时，解集为∅. 教师示范等式的对称性和传递性，在此基础上引导学生用符号语言和量词表示等式的运算性质，培养学生的抽象概括能力。 通过学生自主交流讨论，集思广益，让学生较全面地认识等式的类别，培养学生交流表达的能力，发展核心素养。 通过用两种方法进行化简，使学生感受两种方法的优劣，培养他们在运用公式进行恒等变形时选择适当方法的能力，培养观察能力、整体代换能力，提升数学运算素养。 课堂 小结 回顾本节知识，总结概括. 概括学习要点，检查学习效果，引导思考和问题解决。 随堂 训练 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 巩固学生对所学知识的理解和掌握，并帮助他们将所学知识熟练运用。 板书设计 1、 标题 2.1.1等式的性质与方程的解集 二、内容梳理 1.等式的性质 2.恒等式的概念 3.方程的解集 例题解析 0. 展示具体题目 0. 强调关键步骤和思路 练习与巩固 0. 设计几道练习题 0. 引导学生独立完成 0. 点评典型错误与解题思路 三、课堂小结 · 总结本节课的主要内容 · 提醒学生注意的问题 四、作业布置 · 布置相关练习题 鼓励学生自主探索更多实际应用问题 教学设计反思 本节学习等式的性质与方程的解集，学生尽管已经学习过等式的性质的一些内容，包括一元一次方程以及一元二次方程的解法，本节通过观察、探究、归纳、应用，培养学生观察、分析、综合、抽象能力，获取学习数学的方法。体会解方程的基本依据是等式的性质，为后续的学习打好基础。 学科网（北京）股份有限公司 $