精品解析：江苏省无锡市南菁高级中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

江苏省南菁高级中学2025年秋学期高一本部第一次阶段性数学试 卷命题人：张心刚 审题人：祖丰硕 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，则命题p的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为. 故选：D 2. 已知，若集合，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的包含关系求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而，因此或， 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A 3. 若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的性质可知，，从而可得到的两个解为，即可求出a的值. 【详解】由题意可知，，即， 故一元二次方程的解为， 则，解得. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题． 4. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集. 【详解】由题意可知，且，所以， 所以化为， ，解得. 故选：C 5. 若,,则不等式的解集为 A. ，或 B. C. ，或 D. ，或 【答案】A 【解析】 【分析】 原不等式变换为，即可解得答案. 【详解】原不等式可写成不等式组即， 故不等式的解集为，或 故选： 【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力. 6. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 7. 同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数，分类讨论集合的可能情况，统计符合条件的个数即可得解. 【详解】当时，，则，，与矛盾，所以； 设集合中元素的个数， 则集合中元素的个数，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，，满足题意. ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则，以上都满足题意. ③当时，即，则，， 但此时，与题干矛盾，所以不满足题意. ④当时，由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有4个，即不同集合的个数有4个. ⑤当时，由，则，又， 所以，，满足题意. 综上，满足条件的所有不同集合的个数为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是（ ） A. M可以是 B. M可以是 C. M可以是 D. M可以是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式在上有解，分类讨论参数，结合对应方程、二次函数的性质分析不等式的解集，即可得. 【详解】由在上有解， 当时，开口向下，显然， 若且是的两个根，则不等式解集为，D可能满足； 当时，， 若，则且，则解集为； 若恒有，则解集为，满足B； 若，则且，则解集为，不满足A； 当时，开口向上，不等式必有解， 若，则不等式解集为，满足B； 若，且是的两个根，则不等式解集为； 综上，不等式解集不可能为、，有可能为、. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程组的解集用列举法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先代入消元，得到，解该方程后再回代求出对应的，最后用列举法写出集合即可. 【详解】由已知，消去，得，即，解得或， 所以方程组的解集用列举法表示为. 故答案为：. 13. 命题“”为真，则实数a的范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围. 【详解】由题意知：不等式对恒成立， 当时，可得，恒成立满足； 当时，若不等式恒成立则需，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路： （1）先分析的情况； （2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围； （3）综合（1）（2）求解出最终结果. 14. 定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据已知得到中元素为，结合定义求得，即可得. 【详解】由题意，设，显然互不相同， 由且，则有， 由集合中有六个元素，则互不相等， 所以，则. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求出下列不等式的解集 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先判断分母的符号，再将分式不等式转化为整式不等式求解即可. （2）利用绝对值的非负性，先确定，再对不等式两边平方转化为整式不等式求解即可. （3）利用绝对值的非负性，对不等式两边平方转化为整式不等式求解即可. 【小问1详解】 对于，其判别式，且二次项系数，所以恒成立. 因此，解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以， 则两边同时平方可得， 整理得，解得或. 综上，，即不等式的解集为. 【小问3详解】 因为， 所以两边同时平方得， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 16. 已知集合 （1）若，求实数的值； （2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) . (2) 或. 【解析】 【详解】分析：（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案； （2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围． 详解：(1) 当时 当时显然故时， ， （2） 当时， 则解得 当时，则 综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或. 点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题” 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时， 不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为； 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）分五类进行讨论； （2）根据第（1）的结论列出不等式即可得出答案. 【小问1详解】 当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为或； 当时，不等式变为，此时不等式的解集为； 当时，，则恒成立， 所以不等式的解集为； 当时， ，不等式即为， 所以不等式的解集为； 当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为； 综上所述，当时， 不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为； 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，不等式含有无穷多个整数解，不满足题意； 当时，解集为，不等式的解集为，不满足题意； 当时， 不等式的解集只含一个整数解，不满足题意； 当时，函数，故抛物线的对称轴为且开口向上， 要想不等式的解集中恰有三个整数解，这三个整数解只能是，并且和不是不等式的解， 所以有，解得， 因此，实数的取值范围是. 19. 当，定义区间，若存在实数使得，则称是区间的一内点. （1）计算区间的一内点与一内点并比较两内点的大小 （2）若，求证：存在，使得是区间的一内点； （3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证： 【答案】（1） 若是区间的一内点，则存在实数使得， 则； 若，取，则，且， 则是区间的一内点， 故的充要条件是存在，使得是区间的一内点. 由，则， 由，则， 故， 所以存在，使得是区间的一内点. （2）证明： 若是区间的一内点，则存在实数使得， 则； 若，取，则，且， 则是区间的一内点， 故的充要条件是存在，使得是区间的一内点. 由，则， 由，则， 故， 所以存在，使得是区间的一内点. （3）证明：因为是区间的一内点，则， 则恒成立， 则恒成立， 当时，上式不可能恒成立，所以， 所以， 即，即， 同理，因为是区间的一内点，则， 则恒成立， 则恒成立， 当时，上式不可能恒成立，所以， 所以， 即，即，故. 【解析】 【分析】（1）根据题设定义求解出两个的内点，再利用作差法比较即可； （2）根据题意先证明的充要条件是存在，使得是区间的一内点，进而利用作差法可得，即可求证； （3）由是区间的一内点，转化为恒成立，结合二次函数的性质可得，同理可得，即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若是区间的一内点，则存在实数使得， 则； 若，取，则，且， 则是区间的一内点， 故的充要条件是存在，使得是区间的一内点. 由，则， 由，则， 故， 所以存在，使得是区间的一内点. 【小问3详解】 因为是区间的一内点，则， 则恒成立， 则恒成立， 当时，上式不可能恒成立，所以， 所以， 即，即， 同理，因为是区间的一内点，则， 则恒成立， 则恒成立， 当时，上式不可能恒成立，所以， 所以， 即，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南菁高级中学2025年秋学期高一本部第一次阶段性数学试 卷命题人：张心刚 审题人：祖丰硕 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，则命题p的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若集合，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若,,则不等式的解集为 A. ，或 B. C. ，或 D. ，或 6. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 爸爸 B. 妈妈 C. 一样 D. 不确定 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是（ ） A. M可以是 B. M可以是 C. M可以是 D. M可以是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程组的解集用列举法表示为__________ 13. 命题“”为真，则实数a的范围是__________ 14. 定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求出下列不等式的解集 （1） （2） （3） 16. 已知集合 （1）若，求实数的值； （2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 19. 当，定义区间，若存在实数使得，则称是区间的一内点. （1）计算区间的一内点与一内点并比较两内点的大小 （2）若，求证：存在，使得是区间的一内点； （3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $