5.2解一元一次方程 举一反三讲义2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

5.2解一元一次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】解一元一次方程（一） 3 【题型2】解一元一次方程（二） 5 【题型3】列一元一次方程解决和差倍分等问题 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 1.（2025春•黔江区期末）已知x=2是关于x的方程2x-a+6=0的解，则常数a的值是（　　） A．8 B．10 C．-8 D．-10 【答案】B 【分析】把x=2代入方程2x-a+6=0得出4-a+6=0，再求出方程的解即可． 【解答】解：把x=2代入方程2x-a+6=0得：4-a+6=0， 解得：a=10， 故选：B． 【知识点2】解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 1.（2024秋•万全区期末）某同学解一元一次方程5x-1=■x+3时，把“■”处的数字看错了，解得x=4，他把“■”处的数看成了（　　） A．4 B．-9 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】设“■”处的数字为m,则5x-1=mx+3，根据题意把x=4代入即可求解． 【解答】解：设“■”处的数字为m, 则5x-1=mx+3， 把x=4代入得，5×4-1=4m+3， 解得m=4， 故选：A． 2.（2025春•陵水县期末）方程2x-4=0的解是（　　） A．x=2 B．x=-2 C．x=4 D．x=5 【答案】A 【分析】通过移项、未知数系数化为1即可求解． 【解答】解：2x-4=0， 2x=4， x=2， 故选：A． 【题型1】解一元一次方程（一） 【典型例题】方程的解是（　　） A. B.x＝﹣1 C. D.x＝1 【答案】A 【解析】，方程两边同时除以2得， ∴方程的解是. 故选：A． 【举一反三1】方程2x+10＝0的解是（　　） A.x＝5 B.x＝﹣5 C. D. 【答案】B 【解析】2x+10＝0， 移项，得2x＝﹣10， 系数化为1，得x＝﹣5. 故选：B． 【举一反三2】方程－2x－x＝－1－2的解为(　　) A.x＝－1 B.x＝1 C.x＝3 D.x＝－3 【答案】B 【解析】－2x－x＝－1－2， 合并同类项，得－3x＝－3， 系数化为1，得x＝1. 【举一反三3】方程9﹣2x＝5x的解为 　    　． 【答案】 【解析】移项得：﹣2x﹣5x＝﹣9， 合并得：﹣7x＝﹣9， 系数化为1得：． 【举一反三4】已知关于x的方程(m+1)x=7无解，则m的值为            . 【答案】-1 【解析】当m+1=0时，原方程无解，所以m的值为-1. 【举一反三5】解下列方程： （1）2x-x=6-8；（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3；（3）5x-2x=9； （4）+=7；（5）-3x+0.5x=10；（6）7x-4.5x=2.5×3-5. 【答案】解：（1）2x-x=6-8， 合并同类项，得-x=-2， 系数化为1，得x=4. （2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3， 合并同类项，得6x=-78， 系数化为1，得x=-13. （3）5x-2x=9， 合并同类项，得3x=9， 系数化为1，得x=3. （4）+=7， 合并同类项，得2x=7， 系数化为1，得x=3.5. （5）-3x+0.5x=10， 合并同类项，得-2.5x=10， 系数化为1，得x=-4. （6）7x-4.5x=2.5×3-5， 合并同类项，得2.5x=2.5， 系数化为1，得x=1. 【题型2】解一元一次方程（二） 【典型例题】在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A.2x+1+6x＝3（3x﹣1） B.2（x+1）+6x＝3（3x﹣1） C.2x+1+x＝3（3x﹣1） D.（x+1）+x＝3（3x﹣1） 【答案】B 【解析】方程两边同时乘以6，得2（x+1）+6x＝3（3x﹣1）． 故选：B． 【举一反三1】下面解方程的过程，你认为正确的是（　　） A.方程8 x﹣3 x＝﹣10，合并，得5 x＝﹣10＝x＝﹣2 B.方程2（x+3）﹣5（1﹣x）＝3（x﹣1），去括号，得2 x+3﹣5+5 x＝3 x﹣3 C.方程，去分母，得2（2 x+1）﹣3 x﹣2＝6 D.方程5x＝﹣3，系数化为1，得 【答案】D 【解析】A、方程8x﹣3x＝﹣10，合并，得5x＝﹣10，解得，x＝﹣2，原选项表示错误，不符合题意； B、方程2（x+3）﹣5（1﹣x）＝3（x﹣1），去括号，得2x+6﹣5+5x＝3x﹣3，原选项计算错误，不符合题意； C、，去分母，得2（2x+1）﹣（3x﹣2）＝6，原选项计算错误，不符合题意； D、原选项计算正确，符合题意. 故选：D． 【举一反三2】方程15-(7-5x)=2x+(5-3x)的解是            . 【答案】-0.5 【解析】去括号得：15-7+5x=2x+5-3x，移项合并得：6x=-3，解得：x=-0.5. 【举一反三3】解方程： （1）. （2）3x+＝3﹣． （3）． （4）． 【答案】解：（1）， 去分母，得2（x+1）＝5﹣x， 去括号，得2x+2＝5﹣x， 移项，得2x+x＝5﹣2， 合并同类项，得3x＝3， 系数化为1，得x＝1. （2）3x+＝3﹣， 去分母，得18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1）， 去括号，得18x+3x﹣3＝18﹣4x+2， 移项，得18x+3x+4x＝18+2+3， 合并同类项，得25x＝23， 系数化为1，得x＝． （3）， 去分母，可得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6， 去括号，可得：4x+2﹣5x+1＝6， 移项，可得：4x﹣5x＝6﹣2﹣1， 合并同类项，可得：﹣x＝3， 系数化为1，可得：x＝﹣3． （4）， 去分母，得3（2x+1）﹣12＝12x﹣（10x+1）， 去括号，得6x+3﹣12＝12x﹣10x﹣1， 合并同类项，得6x﹣9＝2x﹣1， 移项，得6x﹣2x＝﹣1+9， 合并同类项，得4x＝8， 化系数为1，得x＝2． 【题型3】列一元一次方程解决和差倍分等问题 【典型例题】某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=(　　) A.30 B.40 C.45 D.50 【答案】B 【解析】∵0.50×100=50＜56，∴100＞a，由题意，得0.5a+(100-a)×0.5×120%=56，解得a=40. 故选：B. 【举一反三1】九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有(　　) A.17人 B.21人 C.25人 D.37人 【答案】C 【解析】设这两种实验都做对的有x人，则(40－x)＋(31－x)＋x＋4＝50，解得x＝25. 【举一反三2】一个长方形的周长是70厘米，长与宽的比是5：2，则它的面积是 　      　平方厘米． 【答案】250 【解析】设长方形的长为5x厘米，宽为2x厘米， 根据题意得：2（5x+2x）＝70，解得：x＝5， ∴5x•2x＝5×5×2×5＝250，∴它的面积是250平方厘米． 【举一反三3】栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？在这一问题中，若设树有x棵，通过分析题意，鸦的只数不变，则可列方程：            . 【答案】3x+5=5(x-1) 【解析】设树有x棵，根据题意得：3x+5=5(x-1). 【举一反三4】用“*”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2＋2ab＋a.如：1*3＝1×32＋2×1×3＋1＝16. (1)求3*(－1)的值； (2)若(a＋1)*2＝36，求a的值； (3)若m＝2*x，n＝(x)*3(其中x为有理数)，试比较m，n的大小. 【答案】解：(1)3*(－1) ＝3×(－1)2＋2×3×(－1)＋3 ＝3－6＋3 ＝0. (2)因为(a＋1)*2＝36， 所以(a＋1)×22＋2(a＋1)×2＋(a＋1)＝36， 即4a＋4＋4a＋4＋a＋1＝36， 解得a＝3. (3)由题意可得，m＝2x2＋2×2x＋2＝2x2＋4x＋2，n＝x×32＋2×x×3＋x＝4x， 因为m－n＝2x2＋2＞0， 所以m＞n. 【举一反三5】蔬菜种植户经过调查发现，一种无公害蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，这种蔬菜加工前每千克卖多少元？ 【答案】解：设加工前每千克卖x元，由题意得：(1+20%)x×(1-10%)×30-30x=12，解得x=5. 答：蔬菜加工前每千克卖5元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2解一元一次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】解一元一次方程（一） 2 【题型2】解一元一次方程（二） 3 【题型3】列一元一次方程解决和差倍分等问题 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 1.（2025春•黔江区期末）已知x=2是关于x的方程2x-a+6=0的解，则常数a的值是（　　） A．8 B．10 C．-8 D．-10 【知识点2】解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 1.（2024秋•万全区期末）某同学解一元一次方程5x-1=■x+3时，把“■”处的数字看错了，解得x=4，他把“■”处的数看成了（　　） A．4 B．-9 C．6 D．-6 2.（2025春•陵水县期末）方程2x-4=0的解是（　　） A．x=2 B．x=-2 C．x=4 D．x=5 【题型1】解一元一次方程（一） 【典型例题】方程的解是（　　） A. B.x＝﹣1 C. D.x＝1 【举一反三1】方程2x+10＝0的解是（　　） A.x＝5 B.x＝﹣5 C. D. 【举一反三2】方程－2x－x＝－1－2的解为(　　) A.x＝－1 B.x＝1 C.x＝3 D.x＝－3 【举一反三3】方程9﹣2x＝5x的解为 　    　． 【举一反三4】已知关于x的方程(m+1)x=7无解，则m的值为            . 【举一反三5】解下列方程： （1）2x-x=6-8；（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3；（3）5x-2x=9； （4）+=7；（5）-3x+0.5x=10；（6）7x-4.5x=2.5×3-5. 【题型2】解一元一次方程（二） 【典型例题】在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A.2x+1+6x＝3（3x﹣1） B.2（x+1）+6x＝3（3x﹣1） C.2x+1+x＝3（3x﹣1） D.（x+1）+x＝3（3x﹣1） 【举一反三1】下面解方程的过程，你认为正确的是（　　） A.方程8 x﹣3 x＝﹣10，合并，得5 x＝﹣10＝x＝﹣2 B.方程2（x+3）﹣5（1﹣x）＝3（x﹣1），去括号，得2 x+3﹣5+5 x＝3 x﹣3 C.方程，去分母，得2（2 x+1）﹣3 x﹣2＝6 D.方程5x＝﹣3，系数化为1，得 【举一反三2】方程15-(7-5x)=2x+(5-3x)的解是            . 【举一反三3】解方程： （1）. （2）3x+＝3﹣． （3）． （4）． 【题型3】列一元一次方程解决和差倍分等问题 【典型例题】某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=(　　) A.30 B.40 C.45 D.50 【举一反三1】九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有(　　) A.17人 B.21人 C.25人 D.37人 【举一反三2】一个长方形的周长是70厘米，长与宽的比是5：2，则它的面积是 　      　平方厘米． 【举一反三3】栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？在这一问题中，若设树有x棵，通过分析题意，鸦的只数不变，则可列方程：            . 【举一反三4】用“*”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2＋2ab＋a.如：1*3＝1×32＋2×1×3＋1＝16. (1)求3*(－1)的值； (2)若(a＋1)*2＝36，求a的值； (3)若m＝2*x，n＝(x)*3(其中x为有理数)，试比较m，n的大小. 【举一反三5】蔬菜种植户经过调查发现，一种无公害蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，这种蔬菜加工前每千克卖多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $