专题强化02：有理数的运算题型归纳【十一大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

专题强化02：有理数的运算题型归纳 【题型归纳】 题型一：有理数加法法则及其运算律 题型二：有理数的减法法则 题型三：有理数加减混合计算 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 题型五：有理数的除法法则 题型六：倒数 题型七：科学记数法 题型八：近似数 题型九：有理数的乘方 题型十：有理数的四则运算法则 题型十一：有理数运算的综合 【题型探究】 题型一：有理数加法法则及其运算律 【例1】．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法结合律，解决本题的关键在于运用加法结合律时，要对符号进行正确处理. 根据加法的结合律，逐一判断选项的正误. 【详解】解：A、，选项说法正确，不符合题意； B、原式，选项说法正确，不符合题意； C、原式，选项说法错误，符合题意； D、原式，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法交换律，注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动．根据有理数加法交换律逐项判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意； B、，原变形错误，不符合题意； C、 ，原变形错误，不符合题意； D、 ，原变形正确，符合题意； 故选：D ． 题型二：有理数的减法法则 【例2】．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的减法法则计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算法则，先对每个选项中的算式去括号，省略括号和加号，再将结果与进行比较，选出正确选项． 【详解】解：A项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意； B项：写成省略括号和加号的形式为，符合题意； C项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意； D项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意． 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)4 (3) (4)4 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 题型三：有理数加减混合计算 【例3】．（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，涉及减法转化为加法、加法运算律的应用以及绝对值的性质等知识点．熟练掌握有理数的运算法则、运算律以及绝对值的性质是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再按照从左到右的顺序依次计算； （2）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）利用加法交换律和结合律，把分母相同的分数结合在一起进行计算； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再将减法转化为加法进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先将小数转化为分数，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 【例4】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列式子中，计算正确的有(   ) ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：①，该项计算错误，不符合题意； ②，该项计算正确，符合题意； ③，该项计算正确，符合题意； ④，该项计算错误，不符合题意； 即计算正确的有②③． 故答案为：B． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广东珠海·阶段练习）在中，运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法的运算律，熟练掌握乘法交换律和乘法结合律是解答本题的关键，根据算式结合乘法运算律判断即可． 【详解】解：在中，运用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的运算，先观察整理得，，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 故选：C． 题型五：有理数的除法法则 【例5】．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数除法运算． 将除法转化为乘法时将除数变为原来的倒数即可． 【详解】， 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中可以运用分配律使计算简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、，该算式不适合使用分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练2】．（20-21七年级上·山东聊城·期中）下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除混合运算法则及除法法则． 利用乘除混合运算法则及除法法则逐项进行判断即可． 【详解】解：，故A选项成立，B、D选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 故选：A． 题型六：倒数 【例6】．（2025-2026七年级上·江苏无锡·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，形式上是符号不变，交换分子分母的位置即可.据此计算，即可得出结果. 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， 又∵， ∴的倒数是. 故选：A. 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山西大同·阶段练习）如果有理数a，b满足，则的倒数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，有理数的乘法，有理数的减法，倒数的定义，解答即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，有理数的减法，倒数的定义，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 解得， 故，的倒数为， 故选：B． 【跟踪训练2】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握相反数、倒数、绝对值的定义，熟练运用整体代入及分类讨论思想．根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解： a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ，，； ． 故选：C． 题型七：科学记数法 【例7】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）安徽亳州是闻名遐迩的“中华药都”．2024年，亳州现代中医药产业规模突破2102亿元，其中2102亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：亿， 亿用科学记数法表示为：， 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪训练3】．．（24-25七年级下·广东深圳·期中）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：B． 题型八：近似数 【例8】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一张纸的长度约为，下列关于该数值说法正确的是（    ）． A．这个数是准确数 B．这个数是近似数，它精确到 C．这个数是近似数，它精确到百分位 D．这个数是近似数，它精确到个位 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数，熟练掌握有效数字和精确度是关键．根据长度约为判定该数为近似数，它精确到0.1． 【详解】解：由一张纸的长度约为知，是近似数，它精确到小数点后一位，即． 故选：B． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到个位） D．（精确到百分位） 【答案】A 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据四舍五入的规则，逐一判断各选项是否符合精确度的要求，然后即可求解； 【详解】解：选项A：精确到（十分位），应看百分位上的数字，百分位上的数字是0，小于5，应舍去，结果为。选项结果为，与要求不符，故错误； 选项B：精确到（百分位），需看千分位的数字，千分位是9，，故百分位2进1得，正确； 选项C：精确到个位，需看十分位的数字，十分位是3，，故个位4保持不变，结果为，正确； 选项D：精确到百分位，需看千分位的数字，千分位是4，，故百分位0保持不变，结果为，正确； 综上，错误的选项是A， 故选：A； 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．取，身高约，其中和165都是近似数 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，正确理解近似数的精确度是解题的关键．根据近似数的精确度逐一判断即可． 【详解】解：A、近似数精确到十分位，精确到百分位，两者精确度不同，所以A选项错误，不符合题意； B、（用四舍五入法精确到），所以B选项错误，不符合题意； C、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，所以选项C错误，不符合题意； D、是无理数，取是取其近似值；身高约是测量所得的近似值，故和165都是近似数，该说法正确． 故选：D． 题型九：有理数的乘方 【例9】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铁丝剩下的铁丝长度，依次求得第二次剪去铁丝剩下的铁丝长度，第三次剪去铁丝剩下的铁丝长度， 由此发现规律，即可求解第次剪完后剩下铁丝的长度． 【详解】解： 第一次剪去铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第二次剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第三次再剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， ， 则第次剪完后剩下铁丝的长度是． 故选：C ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，乘法、乘方的运算定义，根据乘法的定义：个相加表示为 ，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解： 故选：C. 题型十：有理数的四则运算法则 【例10】30．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）结合加法结合律和交换律简便计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （4）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （5）先将除法化为乘法，再将变形为，利用乘法分配律简便计算即可； （6）利用乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)2 【分析】本题考查有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的加减法则计算即可； （3）根据有理数的除法法则计算即可； （4）根据有理数的加减法则计算即可； （5）根据有理数的四则运算进行计算即可； （6）根据有理数的加减法则计算即可； （7）根据有理数的乘法分配律进行计算即可； （8）根据有理数的四则运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） ． （6） ． （7） ． （8） ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握计算法则，明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，再进行有理数的加减运算； （2）先进行乘方运算，将除法转化为乘法，利用分配律展开，再进行加减计算； （3）先利用分配律展开，再进行加减法计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 题型十一：有理数运算的综合 【例11】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学校举办了“变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记作“”，不足的记作“”，该校七年级六个班收集的废纸情况如表所示，统计员同学不小心将其中一个数据弄脏看不清了，但他记得四班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 与标准量的差值 0 (1)请你帮忙计算七年级五班同学收集废纸的质量； (2)若本次活动每个年级收集废纸质量排名前三的班级可以获得荣誉称号，请计算七年级获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量； (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，之内的为2元，超出的部分为元，求废纸卖出的总价格． 【答案】(1) (2) (3)67.5元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算， （1）根据四班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为得五班收集废纸的质量最多，可得超出标准质量为，即可得五班收集废纸的质量； （2）由（1）得五班收集废纸的质量最大，超过标准，可得本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，即可得获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量； （3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，可算出卖出的废纸的总质量，进而列算式计算，可得废纸卖出的总价格． 【详解】（1）解：∵四班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为， ∴五班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：， ∴五班收集废纸的质量为：， 答：五班收集废纸的质量为； （2）解：由（1）得五班收集废纸的质量最大，超过标准， ∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、五班， ∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：． 答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为； （3）解：七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为： ， ∴废纸卖出的总价格为：（元）． 答：废纸卖出的总价格为67.5元． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法，除法 (2)① (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算， 故答案为：减法，除法； （2）显然小明的解法是错误的，从第①步开始出现错误， 故答案为：①； （3） 原式的倒数 ， 原式． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段练习）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． （1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确的列式是解题的关键；根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【详解】解：6个小棍正放表示，8个小棍斜放表示， 因此图2可列的算式为， 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，有理数的加法，有理数的乘法，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， ∴，， ， 故D错误；A，B，C正确； 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中时，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据“万亿”表示万亿，即 万，亿，进而表示即可． 【详解】解：万亿． 故选：D ． 4．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）把写成省略加号和括号的形式后的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查把有理数加减法写成省略加号和括号的形式，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据减法法则将减法转化为加法，再写成省略加号和括号的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 5．（25-26七年级上·北京·阶段练习）在下面每组算式中，不能用等号连接的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键．运用有理数运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．绝对值等于本身的数是正数 B．0除以任何数都得0 C．如果两个数相除，商是负数，那么这两个数异号 D．几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是根据运算法则来解答． 根据有理数乘除法的运算法则和绝对值的运算法则进行解答即可． 【详解】解：A．绝对值等于本身的数是正数和0，故本选项不符合题意； B．0除以任何不等于0的数都得0，故本选项不符合题意； C．如果两个数相除，商是负数，那么这两个数异号，故本选项符合题意； D．几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负，0除外，故本选项不符合题意， 故选：C． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律，根据乘法分配律即可求解，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 【详解】解：运用了乘法分配律， 故选：． 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可. 【详解】设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即， 即， 故选：B. 二、填空题 9．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若一个数的倒数是，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义作答即可． 【详解】， ∵， ∴若一个数的倒数是，则这个数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，有理数的加减乘法的混合运算，计算即可． 本题考查了相反数，倒数，代数式的值，有理数的乘法，加减法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数，互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法： ①若， 则； ②若a、b互为倒数， 则 ③若，则； ④若，则a、b互为相反数．其中正确的有 （请填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查有理数的加除法，相反数，绝对值，倒数．根据有理数的加除法法则，相反数的定义，绝对值性质，倒数性质进行逐项判断即可． 【详解】解：①若，则或，故该项不正确； ②若a、b互为倒数，则，所以，故该项不正确； ③，则，故该项不正确； ④若，则a、b互为相反数，故该项正确． 故正确的只有④． 故答案为：④． 12．（25-26七年级上·云南昆明·阶段练习）新定义规定图形表示运算，表示运算，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用， 根据新定义要求列出算式，再根据有理数加法法则计算即可. 【详解】解：根据题意，待求式. 故答案为：1. 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）年月日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑．本次比赛全程约公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约万次精密关节运动．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，即可求值． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）如果a，b，c是有理数，且，那么的值为 ． 【答案】或0或4 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数四则混合运算，应用“分类讨论”的数学思想是关键． 根据、、是非零有理数，可知，，为两正一负或两负一正或三正或三负，按四种情况分别讨论代数式的可能的取值即可． 【详解】解：∵为非零有理数， 由已知可得：，，为两正一负或两负一正或三正或三负． ①当，b，c为两正一负时，不妨设为正，为负， ∴， ∴； ②当，b，c为两负一正时，不妨设为负，为正， ∴ ∴； ③当，b，c为三正时， ∴ ∴； ④当，b，c为三负时， ∴ ∴； 综上所述，的值为0或或． 故答案为：0或或． 三、解答题 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）利用加法交换律和结合律简便计算即可； （3）将除法化为乘法计算即可； （4）根据乘法分配律的逆运算法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2）解： 原式 （3）解： 原式 （4）解： 原式 16．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算， （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （6）根据有理数的除法运算法则计算即可； （7）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （8）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解： ． 17．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的______运算，再求括号外的_____运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法；除法 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）仿照材料中的方法2计算即可． 【详解】（1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算； 故答案为：减法；除法； （2）解：原式的倒数 ， 原式． 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家将汽油车换成了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表）．以20千米为标准，多于20千米的记为“”，不足20千米的记为“”，刚好20千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/千米 0 (1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知原汽油车每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量为15千瓦时，电费标准为元/千瓦时，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比原汽油车节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米 (2)估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确地列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． 【详解】（1）（千米） 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （2） （元） 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 19．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）请解答下面的问题： (1)，则___________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； 【答案】(1)1，，2或 (2)或1 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据化简绝对值的法则进行求值即可； （2）判定字母的符号情况，然后根据化简绝对值的法则进行求值即可． 【详解】（1）解：，则，，则，，同为正数时， 则；，同为负数时，则； 故答案为：1，，2或； （2）解：由条件可知： 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当都是负数，即时， 则：； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a 则； 综上所述，值为或1． 20．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：，；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_____；②______； (2)当时，_______；当时，______； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值运算．熟记相关结论即可． （1）观察可知，去掉绝对值符号的形式为：大数小数，据此即可求解； （2）由观察所得结论即可求解； （3）去掉绝对值后，进行合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：原式 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：有理数的运算题型归纳 【题型归纳】 题型一：有理数加法法则及其运算律 题型二：有理数的减法法则 题型三：有理数加减混合计算 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 题型五：有理数的除法法则 题型六：倒数 题型七：科学记数法 题型八：近似数 题型九：有理数的乘方 题型十：有理数的四则运算法则 题型十一：有理数运算的综合 【题型探究】 题型一：有理数加法法则及其运算律 【例1】．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：有理数的减法法则 【例2】．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 题型三：有理数加减混合计算 【例3】．（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 【例4】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列式子中，计算正确的有(   ) ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广东珠海·阶段练习）在中，运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：（    ） A． B． C． D． 题型五：有理数的除法法则 【例5】．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中可以运用分配律使计算简便的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（20-21七年级上·山东聊城·期中）下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 题型六：倒数 【例6】．（2025-2026七年级上·江苏无锡·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山西大同·阶段练习）如果有理数a，b满足，则的倒数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【跟踪训练2】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型七：科学记数法 【例7】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）安徽亳州是闻名遐迩的“中华药都”．2024年，亳州现代中医药产业规模突破2102亿元，其中2102亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．．（24-25七年级下·广东深圳·期中）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 题型八：近似数 【例8】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一张纸的长度约为，下列关于该数值说法正确的是（    ）． A．这个数是准确数 B．这个数是近似数，它精确到 C．这个数是近似数，它精确到百分位 D．这个数是近似数，它精确到个位 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到个位） D．（精确到百分位） 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．取，身高约，其中和165都是近似数 题型九：有理数的乘方 【例9】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 题型十：有理数的四则运算法则 【例10】30．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一：有理数运算的综合 【例11】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学校举办了“变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记作“”，不足的记作“”，该校七年级六个班收集的废纸情况如表所示，统计员同学不小心将其中一个数据弄脏看不清了，但他记得四班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 与标准量的差值 0 (1)请你帮忙计算七年级五班同学收集废纸的质量； (2)若本次活动每个年级收集废纸质量排名前三的班级可以获得荣誉称号，请计算七年级获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量； (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，之内的为2元，超出的部分为元，求废纸卖出的总价格． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段练习）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）把写成省略加号和括号的形式后的式子是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京·阶段练习）在下面每组算式中，不能用等号连接的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．绝对值等于本身的数是正数 B．0除以任何数都得0 C．如果两个数相除，商是负数，那么这两个数异号 D．几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若一个数的倒数是，则这个数是 ． 10．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，则 ． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法： ①若， 则； ②若a、b互为倒数， 则 ③若，则； ④若，则a、b互为相反数．其中正确的有 （请填序号）． 12．（25-26七年级上·云南昆明·阶段练习）新定义规定图形表示运算，表示运算，则 ． 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）年月日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑．本次比赛全程约公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约万次精密关节运动．将数据用科学记数法表示为 ． 14．（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）如果a，b，c是有理数，且，那么的值为 ． 三、解答题 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 16．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 17．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的______运算，再求括号外的_____运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)根据材料中的方法2计算：． 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家将汽油车换成了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表）．以20千米为标准，多于20千米的记为“”，不足20千米的记为“”，刚好20千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/千米 0 (1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知原汽油车每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量为15千瓦时，电费标准为元/千瓦时，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比原汽油车节省多少钱？ 19．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）请解答下面的问题： (1)，则___________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； 20．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：，；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_____；②______； (2)当时，_______；当时，______； (3)计算：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $