《2.3二次根式》自主达标测试题2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册《2.3二次根式》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列选项中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，化简（    ） A．2 B． C． D．6 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 7．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的长是（   ） A． B． C． D．6 8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知则的值为 ． 10．计算： ． 11．比较大小： （填“”“”或“”）． 12．若最简二次根式与可以合并，则 ． 13．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 14．阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 15．已知，，则 ． 16．观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 三、解答题（满分72分） 17．计算题： (1) (2) (3) (4)． 18．已知a、b、c是的三边，化简：． 19．已知，，满足，求代数式的值． 20．已知 ，，，比较的大小关系． 21．先阅读，再回到问题： 化简：．由于题目没有给出的取值范围，所以要分类讨论． ． 令 令得；的零点值为3，的零点值为-2，在数轴上标出3和-2的点，数轴被分成三段，即；当<-2时，原式=-2+1；当时，原式=5；当 3时，原式=2-1． （1）求和的零点值； （2）化简：． 22．某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 23．阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了最简二次根式，即被开方数中不含有开方不尽的因数，被开方数不含有分母，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据二次根式的加减、二次根式的性质以及二次根式的乘除法法则即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值的性质．解题的关键是要考虑开方出来的数必须是非负数，化简绝对值后的数也是非负数．根据，可知，，再根据二次根式的性质及绝对值的化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 7．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用二次根式的性质化简，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于D，作于E，证明，再由勾股定理求解． 【详解】解：作于D，作于E， ∵， ∴ 又 ∴∠， ， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得. 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了解一元一次方程，实数的运算，方程两边同时除以得到，再移项合并同类项即可． 【详解】解：方程两边同时除以得：， 移项合并同类项得：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次根式的减法． 先化简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 12．2 【分析】先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键． 13． 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．当、都为直角边时，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当、都为直角边，由勾股定理得第三边的长为：； 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 17．(1)0 (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是二次根式的加减以及二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可求解； （2）先利用完全平方公式进行乘法运算，运用除法法则进行除法运算，再化简合并即可求解； （3）利用二次根式的乘除法法则计算即可； （4）利用乘法法则，绝对值，平方差公式计算，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18． 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由a，b，c为三角形三边，利用三角形三边关系得到，，，然后化简即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c为三边， ∴，，， 则原式． 19． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 20． 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 21．（1）-1与2；（2）当时，原式；当时，原式=3；当时，原式 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）根据题意给出方法即可求出答案． 【详解】解：（1）令， ， 令， ， 与的零点值为与2； （2）原式 当时， ，， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 22．(1) (2)1056元 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； （2）解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ， ∴， ∴， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $