第三章概率的进一步认识（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第三章 概率的进一步认识 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和画树状图法来辅助枚举法。 （2）树状图法：用画____________的方法列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法； 一般步骤：画树状图时，先列出第一步（或第一个对象）所有可能的结果，然后针对第一步（或第一个对象）的每一个结果，再列出第二步（或第二个对象）所有可能的结果，中间用箭头连接，形成一个树的形状,最后写出一次试验中所有可能出现的结果,从而求出概率. 树状图法一般形式： 注：当一次试验涉及两个因素（步骤）时，可以用树状图法，解题时一定要注意:区分是放回事件还是不放回事件； （3）列表法：用列出________的方法来分析和求解某件事件概率的方法； 一般步骤：将试验中两个步骤(或对象)其中的一个步骤(或对象)为行,另一个步骤(或对象)为列,列出表格,将事件发生的所有可能结果填在表格中,从而计算出其概率. 列表法一般形式: 注：（1）一定先要分清是有放回还是无放回,再有针对性地选择列举方式,做到不重不漏. （2）注意各种结果出现的可能性务必相同,且试验出现的结果必须是有限个. 知识点2：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 考点一：用列举法求概率 例题：1.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同, (1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率; (2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率. 【答案】（1） （2） 3.为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解． 根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题： （1）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？ （2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）400 （2）不公平 【解答】解：（1）根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为2000×＝400； （2）这个游戏规则是不公平的，理由如下： 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况， ∴P（颜色相同）＝＝，P（颜色不同）＝＝， ∴这个游戏规则是不公平的． 巩固训练 1.随着“新冠”疫情防控进入常态化，为了做好个人防护，学校要求学生每天上、放学途中必须佩戴口罩．小明和小亮两人家里都购买了相同数量的淡蓝色和白色一次性医用防护口罩，并且两人每天都随机选择口罩颜色，则某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字1,2,3,乙转盘的四个等分区域分别写有数字4,5,6,7.现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的概率. 3.小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌，小明赢；否则，小亮赢． （1）求小明摸到4的概率； （2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由．若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 【答案】（1）P（摸到4）＝ （2）不公平 【解答】解：（1）∵摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可能性相等，小明摸到4的结果只有2种， ∴P（摸到4）＝； （2）不公平， ∵摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可能性相等，摸到比5大的牌的结果只有3种， ∴P（小明赢）＝， ∴P（小亮赢）＝， ∵＜， ∴游戏规则不公平． 新的游戏规则：从形状、大小完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克牌中任摸一张，摸到奇数牌，小明赢；否则，小亮赢． 考点二：用频率估计概率 例题：1.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2 【答案】B 巩固训练 1.在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小球，其中若干个黑求，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是60%，则黑球的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 2.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　B ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 3.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　 D 　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 1.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（　　） A．150 B．100 C．50 D．200 【答案】A 3.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（　 　） A． B． C． D． 4.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（　 　） A． B． C． D． 5.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　 　） A． B． C． D． 答案：C 6.黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是　 560 　kg． 7.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图． 该事件最有可能是　 ③ 　（填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上； ③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 8.转动两次转盘，当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功，如图，转动两个转盘各一次，配紫色成功的概率是________; 答案： 9.端午节是中国首个入选世界非遗的节日，民间有吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗．端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、鲜肉粽、八宝粽（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． （1）本次参加抽样调查的居民共有 　 　人； （2）将两幅统计图补充完整； （3）端午节这天，妈妈给小轩轩买了超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列表法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的概率． 【答案】（1）600 （2）略 （3） 【解答】解：（1）60÷10%＝600（人）， 即本次参加抽样调查的居民有600人， 故答案为：600； （2）喜爱C类的人数为：600﹣180﹣240﹣60＝120（人）， 喜爱A类的人数所占的百分比为：180÷600×100%＝30%， 喜爱C类的人数所占的百分比为：120÷600×100%＝20%， 将两幅统计图补充完整如下： （3）把2个白味粽记为A、B，2个八宝粽记为C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的结果有8种， ∴小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的概率为＝． 10.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； (2)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率． 【答案】(1)“3点朝上”的频率是，“5点朝上”的频率是 （2） 11.班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%. (1)小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入黄球和白球共10个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有____个，白球应有____个； (2)小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第三章 概率的进一步认识 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和画树状图法来辅助枚举法。 （2）树状图法：用画____________的方法列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法； 一般步骤：画树状图时，先列出第一步（或第一个对象）所有可能的结果，然后针对第一步（或第一个对象）的每一个结果，再列出第二步（或第二个对象）所有可能的结果，中间用箭头连接，形成一个树的形状,最后写出一次试验中所有可能出现的结果,从而求出概率. 树状图法一般形式： 注：当一次试验涉及两个因素（步骤）时，可以用树状图法，解题时一定要注意:区分是放回事件还是不放回事件； （3）列表法：用列出________的方法来分析和求解某件事件概率的方法； 一般步骤：将试验中两个步骤(或对象)其中的一个步骤(或对象)为行,另一个步骤(或对象)为列,列出表格,将事件发生的所有可能结果填在表格中,从而计算出其概率. 列表法一般形式: 注：（1）一定先要分清是有放回还是无放回,再有针对性地选择列举方式,做到不重不漏. （2）注意各种结果出现的可能性务必相同,且试验出现的结果必须是有限个. 知识点2：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 考点一：用列举法求概率 例题：1.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 2.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同, (1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率; (2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率. 3.为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解． 根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题： （1）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？ （2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 巩固训练 1.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（　 　） A． B． C． D． 2.如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字1,2,3,乙转盘的四个等分区域分别写有数字4,5,6,7.现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的概率. 3.小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌，小明赢；否则，小亮赢． （1）求小明摸到4的概率； （2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由．若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 考点二：用频率估计概率 例题：1.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2 巩固训练 1.在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小球，其中若干个黑求，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是60%，则黑球的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　 ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 3.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　 　） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 1.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 2.某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（　　） A．150 B．100 C．50 D．200 3.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（　 　） A． B． C． D． 4.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（　 　） A． B． C． D． 5.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　 　） A． B． C． D． 6.黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是　 　kg． 7.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图． 该事件最有可能是　 　（填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上； ③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 8.转动两次转盘，当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功，如图，转动两个转盘各一次，配紫色成功的概率是________; 9.端午节是中国首个入选世界非遗的节日，民间有吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗．端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、鲜肉粽、八宝粽（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． （1）本次参加抽样调查的居民共有 　 　人； （2）将两幅统计图补充完整； （3）端午节这天，妈妈给小轩轩买了超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列表法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的概率． 10.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； (2)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率． 11.班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%. (1)小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入黄球和白球共10个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有____个，白球应有____个； (2)小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $