5.3 导函数的性质与应用专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

三、导函数的性质与应用 知识点1 求函数的单调区间 （1）普通形式 1、确定函数的单调区间. 【解析】。 令，得x＜0或x＞2， ∴当x＜0或x＞2时函数是增函数，因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。 令，得0＜x＜2。 ∴函数在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。 【总结升华】注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。 2、求下列函数的单调区间： （1） （2）； （3）； 【答案】（1）。 令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。 令3x2－4x+x＜0，解得。因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。 （2）函数的定义域为（0，+∞），。 令，即， 结合x＞0，可解得； 令，即， 结合x＞0，可解得。 ∴的单调递增区间为，单调递减区间为。 （3）。 ∴0≤x≤2π，∴使的，，， 所以函数（0≤x≤π）单调递增区间为和，单调递减区间为。 3、当时，求证：函数是单调递减函数. 【解析】 ，， ∴,故函数在上是单调递减函数. 4、当时，求证：函数是单调递减函数. 【答案】 ，∴，， ∴,故函数在上是单调递减函数. 5、设，则（ ） A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】由于的定义域为R，且满足， 可得为奇函数。再根据，可得为增函数，故选B。 （2）参数形式 1、求函数 （a∈R）的单调区间。 【解析】 ① 当a≥0时，y＇≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数。 ② 当a＜0时，令3x2+a=0得， ∴y＇＞0的解集为,y＇＜0的解集为。 ∴函数的单调增区间是和，减区间是。 综上可知：当a≥0时，函数在（－∞，+∞）上单调递增。 当a＜0时，函数在和上单调递增，在上单调递减。 2、已知函数, 讨论函数的单调性. 【解析】由题设知．令． （i）当a>0时， 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； （ii）当a＜0时， 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数． 3、已知函数f(x)＝ex－ax－1，求f(x)的单调增区间。 【答案】　f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0， 若a>0，ex－a≥0，则ex≥a，x≥ln a. ∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)． 4、已知函数， ，a＞0 ，w讨论的单调性. 【答案】由于 ，令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 当,即时, 恒成立. 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数. 2 当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或 又由得 综上 当时, 在上都是增函数. 当时, 在上是减函数, w.w. 在上都是增函数. 知识点2 已知单调性求参 1、已知在[1,+∞)上是单调增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【思路点拨】由在上是单调增函数，得在[1,+∞)上恒成立，分离参数后求出函数在上的最小值得答案。 【解析】在[1,+∞)单调增函数， 在[1,+∞)恒成立，即在[1,+∞)上恒成立。 在[1,+∞)上为增函数， ,，故选D。 【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间； 在某区间上为减函数在该区间。 （2） 恒成立，则；恒成立，只需， 这是求变量a的范围的常用方法。 2、已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解得：，实数的取值范围为． 3、设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 【答案】 （1）当时，则恒成立， 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意； （2）当时，， ∴当时，函数有三个单调区间，增区间为：,减区间为：，. 知识点3 求导函数的极值与最值 1、下列函数的极值 （1） （2） 【解析】（1）函数的定义域为R，，令，得x=－2或x=2。 当x变化时，，变化状态如下表： x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，+∞） ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且。 当x=2时，函数有极小值，且。 （2）函数的定义域为R。。 令，得x=0或x=2。当x变化时，，变化状态如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） － 0 + 0 － 极小值0 极大值4e－2 由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且。 当x=2时，函数有极大值，且。 【总结升华】解答本题时应注意只是函数在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右导数的符号相反，方能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。 2、讨论函数（）的单调性并求极值． ，令，解得x1=0， x2=, x3=2 。 当x变化时，，变化状态如下表： x （－∞，0） 0 （0，） （，2） 2 （2，+∞） － 0 + 0 － 0 + 1 由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上 为增函数。 当x=0时，函数有极小值; 当x=2时，函数有极小值。 当x=时，函数有极大值。 3、函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　） A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。 4、求函数y=x4―2x2+5在区间[―2，2]上的最大值与最小值。 【答案】先求导数，得y＇=4x3―4x。令y＇=0即4x3―4x=0，解得x1=―1，x2=0，x3=1。 当x变化时，y＇，y的变化情况如下表： x －2 （―2，―1） －1 （－1，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2 y＇ － 0 + 0 － 0 + y 13 4 5 4 13 从上表知，当x=±2时，函数有最大值13；当x=±1时，函数有最小值4。 5、求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。 【解析】 ， -1 0 2 + + 0 - 0 + + -2 1 1 由上表可知，当x=-1时,f(x)取最小值-2；当x=2时,f(x)取最大值1. ∴ 函数在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。 6、 求函数，x∈[－3，2] 的最值。 【解析】，由得x=―1，0，1。 ∵f(-3)=-60,f(-1)=f(1)=4,f(0)=3,f(2)=-5, 经比较可得： 当x=―3时，有最小值―60。 当x=―1时或1时，有最大值4。 【总结升华】当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。 7、求函数，x∈[0，2]的最值。 【答案】，令，化简为x2+x―2=0，解得x1=―2（舍去），x2=1。 ∵，又，， ∴为函数在[0，2]上的最小值， 为函数在[0，2]上的最大值。 知识点4 已知极值、最值求参 1、已知函数在点x0处取得极大值5， 其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。 求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值。 【思路点拨】观察图像的正负和零点。 【解析】（1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上， 故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。 因此在x=1处取得极大值，所以x0=1。 （2）方法一：，由，，， 得，解得。 方法二：设。 又，所以，，c=2m， ，由，即，得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。 【总结升华】 （1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。 （2）注意条件“在点x0处的极大值是5”的双重条件，即，。 2、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值. 【答案】依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时，令得x=1. x (-∞,1) 1 (1,+∞) + 0 + ↗ 无极值 ↗ 显然a=-3, b=3不合题意，舍去. 当a=4, b=-11时，f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)，令得或 x=1. x 1 （1，+∞） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ f(x)在x=1处有极小值10，合题意，即a=4, b=-11. 3、设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数。 【解析】解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax． (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)， 即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 综上，a的取值范围是（－∞，1]． 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立，即为g(x)≥g(0)成立 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， 当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0． 由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． 4、当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) 　 A． [－5，－3] B． [－6，] C． [－6，－2] D． [－4，－3] 【答案】C． 【解析】当x＝0时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax3－x2＋4x＋3≥0可化为a≥， 令，则 (*)， 当0＜x≤1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max＝f(1)＝－6，∴a≥－6； 当－2≤x＜0时，ax3－x2＋4x＋3≥0可化为a≤， 由(*)式可知，当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， f(x)min＝f(－1)＝－2，∴a≤－2； 综上所述，实数a的取值范围是－6≤a≤－2，即实数a的取值范围是[－6，－2]．故选C． 5、已知函数． 　　（1）若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围； 　　（2）若x＝3是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值． 【答案】（1）． ∵　x≥1．　∴　， （当x=1时，取最小值）． 　　∴　a＜3（a＝3时也符合题意）．　∴　a≤3． 　　（2），即27-6a+3＝0，　∴　a＝5，. 令得 ，或 (舍去) 当时,; 当时, 　　即当时,有极小值．又 　 ∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是. 知识点5 极值与最值证不等式问题 （1）证不等式问题 1、求证：当x＞0时，。 【思路点拨】移项，化为等式左边为函数式的形式。 【解析】 设，， 所以在（―1，+∞）上为增函数， ∴当x＞0时，，即x＞0时，。 【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值。 2、当时，证明不等式：。 【答案】 设， ，，则函数在上单调减函数， ，∴成立。 （2）两曲线交点个数问题 1、已知函数,若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式,再结合图像。 【解析】因为在处取得极大值，所以 所以由解得。 由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。 因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，， 结合的单调性可知，的取值范围是。 【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。 2、设三次函数的导函数为，若函数共有三个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的导函数为= ， ，即 则 1 若，则由得 由得 ，则函数在x=0时取得极大值 ，在x=2时，函数取得极小值，若函数共有三个不同的零点，则，解得 。 2 若，则由得由得 ，则函数在x=0时取得极小值 ，在x=2时，函数取得极大值，则此时函数只有1个零点，不满足条件，综上。故选：C 。 3、已知，是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 【答案】方程等价于方程 设则 当时，是减函数；当时，是增函数。 方程在区间内分别有唯一实数根，而在区间内没有实数根， 所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $三、导函数的性质与应用 知识点1求函数的单调区间 (1)普通形式 1、确定函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 2、求下列函数的单调区间： (1)f(x)=x3-2x2+x (2)f(x)=3x2-2lnx(x>0); (3)f(x)=sinx(1+cosx)(0≤x≤2π)； 第1页共10页 3、当x>0时，求证：函数因)=xnx是单调递减函数 4、当x>0时，求证：函数f()=x-x2-1n1+)是单调递减函数。 2 5、设f(x)=x-sinx,则f(x)() A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 (2)参数形式 1、求函数y=x3+ax(a∈R)的单调区间。 第2页共10页 2、已知函数f)=ar-3x2+1-3,讨论函数f()的单调性 3、已知函数f(x)=ex一ax一1，求f(x)的单调增区间。 4、已知函数，f)=x-2+1-alnx,a>0,讨论x)的单调性 第3页共10页 知识点2己知单调性求参 1、已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是单调增函数，则a的取值范围是() A.（3,+0 B.(1,3 C.-0,3) D.(-0,3] 知函数f)=4x+axx∈R)在区间-L上是增函数，求实数a的取值 艺f位)=，ax+x怡有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单证 第4页共10页 知识点3求导函数的极值与最值 1、下列函数的极值 (1)f(x)=x3-12x (2)f(x)=x2e* 2、讨论函数f)=x-10x+2x2+1（x∈R)的单调性并求极值. 3 第5页共10页 3、函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图如图所示，则函数f(x)在(a,b) 内的极小值有() y=f(x) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值。 5、求函数∫(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值与最小值。 6、求函数f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]的最值。 第6页共10页 7、求函数f(x)=ln(1+x)-二x2,x∈[0,2]的最值。 4 知识点4己知极值、最值求参 1、己知函数f(x)=ax+bx2+cx在点xo处取得极大值5， 其导函数y=f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示。 求：(1)xo的值；(2)a,b,c的值。 第7页共10页 2、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值. 3、设函数f(x=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围. 4、当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是() A.[-5,-3] B.-6,-9 C.[-6,-2]D.[-4,-3] 81 5、已知函数f(x)=x3-ax2+3x. 第8页共10页 知识点5极值与最值证不等式问题 (1)证不等式问题 1、求证：当x>0时，ln(1+x)>x- x2 2 2、当x>0时，证明不等式：x-x2<n1+x)。 2 (2)两曲线交点个数问题 1、己知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0，若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个 不同的交点，求m的取值范围 第9页共10页 2、设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为∫'(x)=3ax(x-2),若函数y=f(x)共有三个不同的 零点，则a的取值范围是() C. D.(0,2 3、己知f(x)=2x2-10x(x∈R),是否存在实数m,使得方程f(x) 3辽=0在区间(m,m+)内有且只有两 个不等的实数根？若存在，求出的取值范围：若不存在，说明理由。 第10页共10页