从“变化率”到“函数形态”“函数与导数”主题统摄下导数单元作业整体设计（10课时）以人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用为例

从“变化率”到“函数形态” ——“函数与导数”主题统摄下导数单元作业整体设计（10课时） ——以人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用为例 作者：韩雪梅（山东省济南市莱芜第一中学） 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 人教A版选择性必修第二册第五章5.1导数的概念及其意义——5.3导数在研究函数中的应用 单元课时作业整体设计 学段学科 高中·数学 适用年级 高二年级强基学生新授课（选择性必修第二册） 教材版本 人教A版（2019年版课标教材）选择性必修第二册 对应内容 第五章第5.1—5.3节：导数的概念及其意义；导数的运算；导数在研究函数中的应用 作业类型 单元课时作业（含课前导读、课中检测、课后作业、单元综合探究与实践作业） 完成时长 每课时30~40分钟，共10课时 设计人 韩雪梅 二、设计背景与意图 （一）主题定位与课标要求 高中数学课程按“主题—单元—课时”组织内容，设置了函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等课程主线（主题）。“函数”是其中之一，其基本思想是以运动和变化的观点考察客观世界中的数量关系，以变化率为核心概念建立函数与导数之间的内在关联，实现“用导数研究函数形态、用函数形态理解导数意义”，是培育数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象素养的主阵地。本设计所选单元——选择性必修第二册第五章5.1导数的概念及其意义至5.3导数在研究函数中的应用——正是“函数”主题下“一元函数导数及其应用”这一大单元的核心子单元，是微积分思想在中学阶段的系统呈现，承上（函数、不等式）启下（概率统计中的最优化、数学建模中的动态分析）。 《普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）》突出单元整体教学、学科综合与实践创新、“教—学—评”一体化等新理念，进一步具化数学学科核心素养的内涵、表现及其形成条件，完善学业质量水平划分，并优化教学与评价建议。2026年高考数学全国卷的命题实践进一步印证了这一方向：教育部教育考试院试题评析以“重基础、强思维、反套路、求创新”十二字定调，明确提出“破除固定解题套路，引导学生洞察学科本质，从定义出发自主探究，避免机械刷题得分”。2026年高考导数试题呈现出三个显著特征：一是回归概念本质，全国Ⅰ卷小题依托指数函数考查切线方程，强调几何意义的直接运用；二是“隐去原函数”设计，要求考生反向推导，考查思维的逆向性与灵活性；三是解答压轴结合新定义与双变量不等式证明，设问层层递进，考查导数几何意义、函数单调性、凹凸性等问题，思维及运算素养要求很高。据此，本作业坚持目标性、评价性、平衡性、补充性四原则，对标课标学业质量标准与高考要求，对单元课时作业作一体化设计，使作业目标、内容、实施与评价形成闭环，落实“减负提质”与素养落地。 教材地位：本单元承载微积分最基本的思想方法——以导数刻画函数的变化率，以变化率揭示函数的形态特征。导数的定义与几何意义、基本初等函数的导数公式与运算法则、导数与单调性/极值/最值的对应关系、导数与不等式的交汇、导数与函数零点的关联，构成“用变化率研究函数”的大概念链条。教材按“导数的概念—导数的运算—导数在研究函数中的应用”编排，细分为5.1.1变化率问题、5.1.2导数的概念及其几何意义、5.2.1基本初等函数的导数、5.2.2导数的四则运算法则、5.2.3简单复合函数的导数、5.3.1函数的单调性、5.3.2函数的极值与最大（小）值、5.3.3导数在函数中的应用（综合）等课时，本作业与十个教学课时逐课时对应。教学重难点：一是通过极限思想理解导数的本质——瞬时变化率，掌握导数的几何意义——切线斜率；二是熟练运用求导公式和法则，理解复合函数求导的链式法则；三是建立“导数符号—函数单调性—极值/最值”的结构化认识，把握“导数与不等式”“导数与零点”等综合问题的转化策略。 学情分析：学生已掌握函数的基本概念与性质、基本初等函数的图象与性质、不等式的求解与证明，初步具备用代数方法研究函数的能力；但易将平均变化率与瞬时变化率混为一谈，对导数几何意义的理解停留在“切线斜率”的机械记忆层面，对含参函数分类讨论的完整性不足，对双变量不等式、恒成立问题的转化策略缺乏结构化认知。班级学生基础、运算熟练度与抽象水平存在差异，故作业分基础、综合、探究三个层级并辅以选做与开放题。 （二）设计意图 本设计以“函数与导数”主题统摄全单元，把大观念、大概念、大问题落到十个课时的作业上：通过“课前导读—课中检测—课后作业—单元综合”的完整闭环，按基础类、综合类、探究类、实践类（约5:3:1:1）合理配比，帮助学生在结构化作业中构建整体认知、感悟变化率思想，实现知识理解、能力运用、思维发展、情感态度的协同发展。 二、“函数与导数”主题统摄下的作业整体设计框架 （一）主题大观念、大概念与大问题 大观念（主题层面） ：“变化率与函数形态的统一”——通过导数这一核心概念，将函数从“静态对应”转化为“动态变化”，以瞬时变化率刻画函数在每一点的局部行为，由局部行为积累为整体形态（单调性、极值、最值、凹凸性），实现“以动驭静、以局部驭整体”。这一观念统摄整个“函数”主题。 大概念（单元层面） ：在本“导数”子单元中，主题大观念具体化为两条大概念——其一，“导数的双重刻画”：导数既是函数在某一点处的瞬时变化率（代数层面），又是曲线在该点处切线的斜率（几何层面），二者等价但视角各异，且导数的符号、大小分别刻画函数的增减与变化快慢；其二，“导数与函数形态的对应”：导数的符号决定单调性，导数的零点（变号）对应极值点，导数的最值分析导出函数的最值，导数的二阶符号反映凹凸性，导数与不等式的交汇则将“比较大小”转化为“研究函数形态”。大概念像“锚”一样把分散知识点组织成结构化整体。 大问题（驱动性大问题） ：本单元的大问题为“如何用瞬时变化率精确刻画函数在一点附近的变化行为，并由此推断函数在区间上的整体形态与极值特征”。十个课时的作业依次回答大问题的各子问题：课时1、2回答“什么是变化率，如何从平均变化率过渡到瞬时变化率”，课时3、4、5回答“如何计算常见函数的导数”，课时6、7回答“如何由导数符号推断函数的单调性与极值”，课时8回答“如何求函数的最值并用导数解决恒成立问题”，课时9回答“如何用导数处理双变量不等式与零点综合问题”，课时10回到大问题作系统整合与应用。每个课时作业都挂接于大问题的子问题，避免“一课一练”的零散化。 （二）从主题到单元再到课时的三阶统摄链 依据“主题—单元—课时”的课标逻辑，本单元作业结构如下： 层级 统摄要素 本设计落点 主题 函数：大观念（变化率与函数形态的统一） 确立“以导数研究函数”的总方向与素养指向 单元 大概念：导数的双重刻画；导数与函数形态的对应 确立“导数”子单元知识结构与作业结构 课时 大问题及其子问题 确立十个课时+单元综合的作业目标与题目设计 表1 “主题—单元—课时”三阶统摄链 在此基础上，本单元按十个课时+1次单元综合实践安排，各课时作业的定位与主要素养指向见表2。 （三）单元核心公式体系（大概念的代数载体） 为体现大概念的结构化，把本单元的核心公式作为一个“公式体系”整体呈现。它们既是本单元知识的结构化载体，也是作业设计围绕的代数对象： 导数的定义——瞬时变化率的极限形式，是“以动驭静”的第一枢纽。 导数的几何意义——曲线在点（x0​,f（x0​）） 处切线的斜率，体现“局部线性化”的大概念。 基本初等函数的导数公式，是导数运算的基石。 导数的四则运算法则，体现导数运算与代数运算的协调性。 复合函数的链式法则，是导数运算从简单到复杂的关键桥梁。 导数符号与函数单调性的对应，是“以导数研究函数形态”的核心纽带。 极值点的判定条件，是导数零点与函数局部形态的对应。 上述公式体系首尾呼应，共同承载“瞬时变化率 ⇔ 函数形态”的大概念。 课时 对应内容 大问题子问题 作业定位 主要素养指向 课时1 5.1.1变化率问题 什么是平均变化率？如何理解其几何意义 概念建构—基础巩固 数学抽象、直观想象、数学运算 课时2 5.1.2导数的概念及其几何意义 什么是瞬时变化率？导数如何刻画切线 概念深化—几何直观 数学抽象、直观想象、逻辑推理 课时3 5.2.1基本初等函数的导数 如何计算幂、指、对、三角函数的导数 公式建构—运算落实 数学运算、逻辑推理 课时4 5.2.2导数的四则运算法则 如何求积、商、和差的导数 法则运用—运算进阶 数学运算、逻辑推理 课时5 5.2.3简单复合函数的导数 如何求复合函数的导数 链式法则—结构识别 数学运算、数学抽象 课时6 5.3.1函数的单调性 导数符号如何决定函数单调性 对应建立—分类讨论 逻辑推理、直观想象、数学运算 课时7 5.3.2函数的极值与最大（小）值 如何由导数求极值与最值 极值判定—最值求解 数学运算、逻辑推理、直观想象 课时8 5.3.3导数与不等式（恒成立） 如何用导数证明不等式、求参数范围 综合运用—转化建模 逻辑推理、数学运算、数学建模 课时9 5.3.3导数与零点、双变量综合 如何用导数研究函数零点、处理双变量问题 深度综合—创新探究 逻辑推理、数学抽象、数学运算 课时10 单元综合探究与实践 如何用导数系统研究函数形态与最优化 结构化梳理—探究—实践—写作 数学抽象、直观想象、数学建模 表2 十课时单元作业结构一览 （四）作业类型与核心素养水平配比 本作业按基础类、综合类、探究类、实践类四种类型设计，比例约5:3:1:1（兼顾内容特点，保证三级水平素养有生长空间）；形式涵盖习题作业、阅读作业、写作作业。题目素养指向依据课标核心素养表现与学业质量水平确定：基础类主要指向水平一、水平二，综合类指向水平二，探究、实践类指向水平三，形成“知识理解→知识迁移→知识创新”的进阶。 三、单元作业目标 依据课标学业质量要求，从知识理解、能力运用、思维发展、情感态度四个维度确立单元作业目标（对应核心素养与评价证据）： 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A1 准确表述平均变化率与瞬时变化率的定义及关系，理解导数的几何意义 数学抽象、直观想象 概念复述、图象解释 知识理解 A2 掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单复合函数的导数 数学运算 求导正确率 知识理解 A3 掌握导数符号与函数单调性的对应关系，会求函数的单调区间 逻辑推理、数学运算 单调性判断、区间求解 知识理解 A4 掌握极值与最值的概念及求法，会用导数求函数在给定区间上的最值 数学运算、直观想象 极值/最值计算正确率 能力运用 B1 运用导数几何意义求切线方程（含过点切线、公切线问题） 数学运算、逻辑推理 过程记录、方法选用 能力运用 B2 根据导数符号分析含参函数的单调性，进行分类讨论 逻辑推理、数学运算 分类完整、过程清晰 能力运用 B3 运用导数解决恒成立问题、存在性问题中的参数范围求解 逻辑推理、数学运算 转化思路、说理完整 能力运用 B4 运用导数处理双变量不等式证明、函数零点个数等问题 逻辑推理、数学抽象 解题过程、结果正确 思维发展 C1 在极限思想、局部线性化中体会微积分的基本思想方法 数学抽象、直观想象 概念理解、语言表述 思维发展 C2 体会“导数符号—函数形态”的对应关系，形成结构化认识 逻辑推理、数学抽象 归纳表述、论证思路 思维发展 C3 在含参分类讨论中发展严谨思维，在双变量问题中发展转化能力 逻辑推理、数学运算 分类完整、转化合理 思维发展 C4 探究导数与不等式、零点的交汇问题，发展迁移与创新能力 逻辑推理、数学抽象 推导过程、创新体现 情感态度 D1 感受导数作为“变化率”刻画现实世界动态过程的价值 数学抽象 反思语、作品倾向 情感态度 D2 养成数学阅读、写作与反思的习惯 交流与反思 数学日记、小论文 情感态度 D3 增强数学建模与应用意识，体会导数在最优化问题中的现实价值 数学建模 建模作品、实践报告 情感态度 D4 乐于协作交流，主动评价与改进 交流与反思 自评互评、改进记录 四、单元课时作业设计 本单元按十个课时+1次单元综合实践安排，每课时作业由“课前导读—课中检测—课后作业”构成，题目标注类型、素养指向与水平。各课时题目概览如下（题目全文见“试题详情”，答案与解析见“答案与解析”）。 （一）课时1：5.1.1变化率问题 课时作业目标：A1理解平均变化率的定义及几何意义；B1会计算具体函数的平均变化率；C1在从平均到瞬时的过渡中体会极限思想；D1感受导数概念产生的现实背景。 （二）课时2：5.1.2导数的概念及其几何意义 课时作业目标：A1准确表述导数的定义及几何意义；B1会用定义求简单函数的导数；C1在数形结合中理解“局部线性化”思想。 （三）课时3：5.2.1基本初等函数的导数 课时作业目标：A2掌握幂、指、对、三角函数的导数公式；B1能熟练求基本初等函数的导数；C1在公式推导中体会从定义出发的推导方法。 （四）课时4：5.2.2导数的四则运算法则 课时作业目标：A2掌握导数四则运算法则；B2能熟练求积、商、和差形式的导数；C2在运算中体会法则的结构美。 （五）课时5：5.2.3简单复合函数的导数 课时作业目标：A2掌握复合函数求导的链式法则；B2能识别复合结构并正确求导；C2在结构识别中发展数学抽象能力。 （六）课时6：5.3.1函数的单调性 课时作业目标：A3掌握导数符号与单调性的对应关系；B2会用导数求含参函数的单调区间；C2在分类讨论中发展严谨思维；C3体会“导数符号→函数形态”的对应。 （七）课时7：5.3.2函数的极值与最大（小）值 课时作业目标：A4掌握极值与最值的概念及求法；B1会用导数求函数的极值与最值；C2在极值判定中发展分类讨论能力。 （八）课时8：5.3.3导数与不等式（恒成立） 课时作业目标：A4掌握用导数证明不等式的基本方法；B3会用参变分离或分类讨论求恒成立问题中的参数范围；C3在转化中发展建模能力；D3感受导数在解决“最优”问题中的价值。 （九）课时9：5.3.3导数与零点、双变量综合 课时作业目标：B4会用导数研究函数的零点个数与分布；C4会处理双变量不等式问题；C3在综合问题中发展结构化思维。 （十）课时10：单元综合探究与实践作业（大问题驱动） 单元结课后布置，以单元驱动性大问题“如何用瞬时变化率系统研究函数的形态与最优化”为统领，采用任务驱动、小组合作、一周完成，鼓励使用GeoGebra等数字化工具。 五、作业评价 （一）评价理念与原则 本作业评价坚持“教育性、多元化、指导性”三原则，体现过程性评价与“教—学—评”一体化：其一，教育性——作业评价不只判断对错，更关注情绪态度、思维过程与价值观，把作业作为学生试错与成长的载体；其二，多元化——评价主体多元（自评、互评、师评，必要时家长与教研人员参与），方式多元（结果评价与过程性、表现性评价结合）；其三，指导性——评价的价值在于发现“为什么错、如何改”，在分析原因基础上提出知识、方法、态度层面的改进措施。 （二）评价维度与量规 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确，公式运用准确 少量细节错误，概念基本清楚 较多基础错误，概念模糊 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分，善用导数分析 方法基本正确，过程较完整 方法不当或缺失，过程混乱 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性与迁移 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作，主动反思改进 态度端正，按要求完成任务，基本参与合作 态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 表3 单元作业评价量规 （三）多元评价方式与反馈闭环 对每道题采用“结果评价+过程评价”双轨评价：基础题看结果正确率与过程规范；综合、探究、实践题看方法选用、推理过程、创新程度与表达。借助评价量规，学生先自评、再同伴互评、后教师总评并给出改进方向；探究、写作、实践类作业开展成果展示与优秀作业存档。评价形成“设计—布置—评价—讲评—统计分析—改进”的闭环：教师汇总各题正确率、素养达成情况与典型错误，反思作业目标、内容、实施与评价的合理性；学生据反馈跟踪上次问题解决情况，形成学业螺旋上升通道，实现“教—学—评”一体化。 六、课时作业详情 以下为本单元各课时与单元综合作业的题目全文。 课时1：5.1.1变化率问题 课前导读：阅读教材中“高台跳水”问题，思考：运动员从起跳到入水过程中，不同时间段的速度有何不同？如何用一个数来刻画某时刻的“快慢”？ 1．若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 2．已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 3．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ） A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 4．已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 5．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 6．已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数在区间的平均变化率为，请写出满足条件的一个______． 10．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间内温度的平均变化率为________℃/h． 课时2：5.1.2导数的概念及其几何意义 课前导读：回顾上节课割线斜率逼近切线斜率的过程，思考：切线斜率到底“等于”什么？这个值在数学上如何精确定义？ 11．若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（ ） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 12．设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 13．将方程对应的曲线绕原点逆时针旋转角后，所得曲线是一个函数的图像，则锐角的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D．不存在 15．若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 16．设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（     ） A．4 B．1 C． D． 17．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 18．最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知集合中恰有2个元素，若，则的取值范围是__________；若，则的取值范围是__________． 20．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 课时3：5.2.1基本初等函数的导数 课前导读：回顾用定义求导数的过程，思考：能否直接给出常见函数的导数公式，避免每次都从定义出发？ 21．若函数有两个零点，则的取值范围是______． 22．已知函数，则曲线在点处的切线方程是______． 23．曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 24．曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________． 25．（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（多选）设直线、分别是函数在点处的切线，若，且、分别与轴相交于点，则（   ） A． B． C． D．直线的斜率为 27．求下列函数的导函数． （1）； （2）； （3）． 28．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 29．解答下列问题： （1）求过曲线上点且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程； （2）已知曲线方程为，求过点且与曲线相切的直线方程． 30．已知函数，且的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为，.求的面积. 课时4：5.2.2导数的四则运算法则 课前导读：思考：两个函数和、差、积、商的导数，是否等于它们导数的和、差、积、商？ 31．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（     ） A． B． C．3 D．6 32．设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为（ ） A． B． C． D． 33．设函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（ ） A． B． C． D． 35．（多选）设二次函数满足：，且，则（   ） A． B． C． D． 36．（多选）已知函数的导数为，且，则（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知函数有三个不同零点，则（   ） A．若三个零点分别为0，1，2，则的图像关于点对称 B．若三个零点分别为0，1，2，则的图像关于点对称 C．若三个零点处的切线斜率分别为，，，则 D．若三个零点处的切线斜率分别为，，，则 38．已知函数为奇函数，当时，，则时，_________；_________． 39．已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数______． 40．设非常数函数的导函数为，且.对任意实数，恒有 （1）求； （2）设，证明：对任意恒成立； （3）证明：对任意实数，都有； （4）设是方程的两个不同实根，且. 证明：对任意都有 . 课时5：5.2.3简单复合函数的导数 课前导读：思考：y=sin2x 的导数是否等于cos2x？如果不是，差在哪里？ 41．设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 42．某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 43．若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（    ） A． B． C． D． 44．已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 45．（多选）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 46．（多选）通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记为．若，则下面选项正确的是（ ） A． B． C． D． 47．曲线在处的切线方程为_________． 48．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________． 49．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 50．（1）举例并验证:存在函数，使得； （2）举例并验证:存在函数，使得； （3）举例并验证:存在非常数函数及函数，使得. 课时6：5.3.1函数的单调性 课前导读：观察函数图象，思考：函数的增减与切线斜率有何关系？ 51．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 52．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 53．若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 54．已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 55．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．有三个不等的实根，则 D．已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 56．（多选）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 57．已知函数，则的单调增区间为___________ 58．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 59．已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 60．已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 课时7：5.3.2函数的极值与最大（小）值 课前导读：回顾函数图象中的“山峰”和“山谷”，思考：这些位置处的导数有何特征？ 61．已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 62．已知函数，则（    ） A．没有零点 B．有一个零点，且该零点等于1 C．有两个零点，且两个零点之和大于 D．有两个零点，且两个零点之和小于 63．一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角．现有一个距离杆子底部水平距离为2米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 64．（多选）已知函数在处取得极值，则（     ） A． B．有极大值，且极大值大于 C．的单调递增区间为 D．不等式的解集为 65．（多选）关于函数（e为自然对数的底数）的零点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则没有零点 B．函数可能有三个零点 C．函数仅有一个零点的充要条件是 D．函数有两个零点的充要条件是或 66．若有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 67．存在，使得函数在区间上的值域为，则的取值范围为________． 68．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围． 69．设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 课时8：5.3.3导数与不等式（恒成立）【该部分题目属于难题中的简单题，需加强训练至不得失分】 课前导读：思考：高中阶段证明不等式的方法。 70．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 71．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 73．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 74．当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 76．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：． 77．已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最小值与最大值； （3）设，证明：. 78．已知函数. （1）证明：； （2）证明：； 79．已知函数，在处的切线过点． （1）求； （2）证明：． 80．已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，. 81．已知，若当时，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C．e D． 82．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 83．若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 84．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为（   ） A．1 B． C．-1 D．0 85．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 86．已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 87．如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 88．设，若对任意的，不等式恒成立，则实数λ的最大值为______． 89．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______． 90．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 课时9：5.3.3导数与零点、双变量综合 课前导读：思考：高中阶段“零点”曾出现在什么地方。 91．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 92．已知函数，其中． （1）若是偶函数，求的值； （2）当时，设函数，当时，求的最小值； （3）若有四个不同的零点，求的取值范围． 93．已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 94．已知函数有两个零点． （1）求的取值范围； （2）设两零点分别为，证明． 95．已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． （1）求实数k的取值范围； （2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值； （3）若函数有三个零点，，，其中，证明：． 96．已知函数. （1）若是曲线的切线，求a的值； （2）若有两不同的零点，求b的取值范围； （3）若，且恒成立，求a的取值范围. 课时10：单元综合探究与实践作业 综1 阅读梳理 绘制本单元“导数”知识结构图（思维导图），梳理导数的定义、几何意义、运算公式、单调性、极值/最值、不等式证明、零点分析等知识的内在联系，标注大概念“变化率与函数形态的统一”的统摄作用，并写一段文字说明整体结构。 综2 探究类 97．设函数，点在曲线上. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）设，若存在极值，求的取值范围. 98．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 99．若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是上确界为1的原导积函数．若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是下确界为1的原导积函数． （1）试问函数是否是上确界为1的原导积函数？请说明理由． （2）若定义在上的函数是下确界为1的原导积函数，求正数的取值范围． （3）已知单调递增函数既是上确界为1的原导积函数，又是下确界为1的原导积函数． 设函数，且． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）对任意，不等式（且）恒成立，其中求的取值集合． 100．对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 综3 实践类 选择一个真实情境（如：圆柱形饮料罐的最小用料问题、利润最大化问题、最短路径问题等），用导数知识提出并解决一个含“最优化”的问题，写出“问题—建模—求解—结论”的完整过程，可借助GeoGebra等工具，以小组合作形式完成并展示。 综4 写作类 写一篇数学小论文（约300—500字），题目自拟，可参考《从平均变化率到瞬时变化率：一次思想的飞跃》《导数：用“动”的眼光看函数》《切线、单调与极值：导数如何“阅读”函数》等，阐述你对本单元大概念“以导数研究函数形态”的理解、感悟与应用。 七、答案与解析 1．C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】结合平均速度、瞬时速度的定义及二次函数的性质，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. 2．A 【知识点】平均变化率 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 3．C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． 4．A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】根据导数的定义得到. 5．A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 6．C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】直接由导数的几何意义可得大小. 【详解】由的图像可知，在上单调递增且增长得越来越慢，如图： 根据导数的几何意义可知，， 即． 7．ACD 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直上凹的，则选项B满足条件；所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项. 8．AC 【知识点】比较函数值的大小关系、导数（导函数）概念辨析、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的几何意义，通过数形结合来作出各选项判断. 【详解】因为，所以在上是单调递增函数，即，故A正确； 因为对任意的，有， 所以在上是一个上凸函数，如图： 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，即在上单调递减，即，故B错误； 由上图可知：在的切线斜率大于两点的斜率，即， 又由图可知：在的切线斜率小于两点的斜率，即，故C正确； 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，且斜率变化率越来越慢，所以是一个下凹函数， 根据图象可知斜率小于斜率，即有，故D错误； 故选：AC 9．（答案不唯一） 【知识点】平均变化率 【详解】设二次函数为（为常数）， 可知在区间上的平均变化率， 化简得，解得， 当时，. 10．/ 【知识点】平均变化率 【详解】． 11．C 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系、函数对称性的应用 【详解】由题可知，函数的导函数在区间上的图象关于直线对称， 即函数图象切线的斜率关于对称. 对于①：在处与处的切线斜率符号不同（即导数不同）， 因此的图象不关于对称，①不符合题意； 对于②：的切线斜率从逐渐减小，则的图象不关于对称，②不符题意； 对于③：在上的斜率（即导数）均相同，的图象关于对称，③符合题意； 对于④：的图象可能有一个对称中心，即， 两边求导得，，得， 则函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，④符合题意. 12．A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【详解】由导数的定义可得，. 13．C 【知识点】函数关系的判断、斜率与倾斜角的变化关系、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由题可得，根据函数的性质判断单调性，求出过点切线斜率，得出切线的倾斜角，即可求解． 【详解】，则， 又在上单调递增，，， 则曲线过点切线的斜率，倾斜角为， 则锐角的最大值为． 14．B 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】由导数的几何意义直接得到答案. 【详解】根据题意，函数在点处的导数等于切线斜率，即，所以. 15．D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】，则切线斜率为,切点坐标为，故， 而曲线在处的切线方程为， 即，故，，所以． 16．A 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】在平面直角坐标系中分别画出，的图象观察即可求解 【详解】在平面直角坐标系中画出，以及的图象， 若，则将向下平移个单位，此时不满足恒成立， 由于，要使恒成立，则必有， 即，所以， 当时，，，， 在的切线方程为， 所以要使恒成立，则，故A正确. 17．D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】取，得到函数的对称中心．令，求得，然后令，求得函数对称轴．由两个等量关系求出函数的周期，由求出．然后由函数的对称轴和对称中心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由求出，然后即可写出切线方程． 【详解】令，则，则函数图象关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去． 故， 则令，即，即函数的图象关于轴对称． 因为，， 所以， 令，则， 又，所以， 则， 即函数是周期为8的周期函数， 所以， 因为函数图象关于点中心对称和轴对称， 所以导数关于对称和点中心对称， 同理可得， 所以， 所以切线方程为，即． 18．B 【知识点】反函数的性质应用、已知切线（斜率）求参数、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为. 19． ； . 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、根据集合中元素的个数求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】将方程的解的个数，转化为函数和的交点个数问题.结合题干条件，对函数关系进行分类讨论即可求解. 【详解】若，集合为，即方程的根， 当时，方程无解，不符合要求； 当时，方程为只有一解，不符合要求； 当时，在区间内，，所以方程为， 即，有一解， 在区间内，，所以方程为，即有一解， 所以此时方程共有两解，符合题意； 当时，在区间内，，所以方程为，即，无解， 在区间内，，所以方程为，即有一解， 所以此时方程共有一解，不符合题意； 综上所述，若，则的取值范围是； 若，集合为，即方程的根， 则直线过定点， 当时，直线与函数只有一个交点， 即方程只有一个实数解，不符合题意； 当时，直线与函数没有交点， 即方程无实数解，不符合题意； 当时，若，则，， 直线与函数没有交点， 所以交点只能出现在， 则方程等价于， 即方程在内有两个不同的实数解，即曲线与有两个不同交点， 设切点为，则，，，联立求得，， 此时曲线与相切，仅有一个交点， 当时，曲线与有两个交点，符合题意， 当时，曲线与至多存在一个交点，不符合题意， 综上所述，若，则的取值范围是. 20． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】由图象可知，函数的图象在点处的切点横坐标为， 切线方程为，其斜率为， 所以． 又因为切点在切线上， 将代入切线方程，得， 所以． 故． 21． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知切线（斜率）求参数 【分析】将函数零点问题转化为方程解的个数，再转化为两个函数图像的交点问题，借助导数研究切线，利用数形结合确定参数范围. 【详解】函数的定义域为， 函数有两个零点等价于关于的方程有两个正实数根， 将方程，化为. 令，，则两图象在上有两个交点. 对函数求导得，设两函数的切点为，则直线的斜率， 所以，即切点为，代入直线方程得， 所以直线与曲线相切时有， 由图知，当时，直线向下平移，则与曲线有两个交点； 当时，直线向上平移，则与曲线无交点 综上，可知实数的取值范围是． 22． 【知识点】基本初等函数的导数公式、求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直接由导数的几何意义求切线方程可得. 【详解】由函数，得， 所以，， 因此切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 23．， 【知识点】求过一点的切线方程、直线的点斜式方程及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】分、讨论，设切点，求导得到切线斜率，利用切线过原点条件解出切点横坐标，求出第一条切线；利用图像关于轴对称直接写出对应的另一条切线． 【详解】当时，， 设切点坐标为， 因为，所以切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，与的图像关于轴对称， 所以切线方程也关于轴对称，所以切线方程为； 曲线过坐标原点的两条切线的方程为，． 24．4 【知识点】已知直线垂直求参数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】由，得， 所以在处的切线斜率为：4， 由垂直关系可得：， 所以. 25．ABCD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【详解】A．，正确，符合题意； B．，正确，符合题意； C．，正确，符合题意； D．，正确，符合题意． 26．ACD 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；结合对数运算可判断B选项；求出两切线方程，可求出点，结合平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】不妨设，设.0 ，则， 由题意可知，， 若、，则，矛盾； 若、，则，矛盾． 所以，必有，所以，由， 可得，故A正确； 不恒为1，故B错误； 由题意可得，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点，，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， 故，故C正确； 又，故D正确． 27．（1） （2） （3） 【知识点】对数的运算、二倍角的正弦公式、基本初等函数的导数公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）中函数先写成幂函数的形式，利用幂函数的求导法则，即可求解；（2）（3）先化简，利用基本初等函数求导法则，即可求解. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． 28．（1） （2） （3） 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用基本初等函数导数公式计算求解； （2）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解； （3）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解． 【详解】（1）， ． （2）， ． （3）， ． 29．（1）； （2）或. 【知识点】求过一点的切线方程、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数求出过点的切线的斜率，即可得与之垂直的直线的斜率，用点斜式将所求直线方程表示出来，再整理成一般式即可； （2）设所求直线与函数相切于点，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，将切线方程表示出来，代入点坐标，求出的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以过点的切线的斜率， 所以过点且与切线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：， 即：； （2）设所求直线与函数相切于点， 因为， 所以切线的斜率， 所以所求切线方程为： ， 又因为切线过点， 所以， 整理得：， 解得或， 所以所求切线方程为：或 30．（1） （2） 【知识点】求过一点的切线方程、三角形面积公式及其应用、求指数函数解析式 【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得的值即可； （2）先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由已知得，即， 又，所以.故. （2）当时，. 不妨设切点.所以. 故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. 可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 31．A 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、直线与坐标轴围成图形的面积问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】由，得，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即， 当时，；当时，. 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 32．D 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】由题知，进而待定系数求解即可. 【详解】设函数 ，求导得 因为曲线在 处切线为 ， 所以 即，整理得，解得， 所以 33．C 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求导，再求，进而得，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以，， 所以， 所以. 34．C 【知识点】导数的运算法则、函数与方程的综合应用、基本初等函数的导数公式 【分析】本题属于新定义题型，以 “ 类点” 为载体，考查基本初等函数求导、方程有解的判断，解题核心是读懂定义：判断方程是否存在实数解，转化为函数零点存在性问题，考查导数运算与函数零点的分析能力. 【详解】根据题意，函数存在类点等价于方程有实数根. 对于 A：，，方程为， 变形得，即，存在实数解，故 A 存在 类点. 对于 B：，，方程为， 即，，方程有实根，故 B 存在类点. 对于 C：，，方程为，整理得， 由于，因此，又，故左边，右边， 等式不可能成立，方程无实数解，故 C 不存在类点 对于 D：，定义域，，方程为， 令，在上单调递增，，， 由零点存在定理可知存在零点，方程有解，故 D 存在类点. 35．ABD 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、二次函数的图象分析与判断、求二次函数的解析式、求函数值 【分析】A选项，赋值得到答案；BCD选项，设出解析式，得到，，结合，可得，得到解析式，从而判断BCD 【详解】A选项，令得，故，A正确； B选项，设， 由得，解得， 故，， 由得， 由①得，显然，且， 即，解得， 由②得，即，，显然成立， 故，，所以， ，，B正确； C选项，，C错误； D选项，恒成立，D正确 36．ABD 【知识点】导数的运算法则、求二次函数的值域或最值、基本初等函数的导数公式、求函数值 【详解】由题可知， 对于A，当时，，得，故A正确， 对于B，当时，，由，得，故B正确， 对于C，当时，由，，故C错误， 对于D，由，得，故D正确. 37．BD 【知识点】导数的运算法则、函数对称性的应用、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对于函数的对称性，可通过函数的性质判断；对于切线斜率，可先对函数求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，最后进行计算. 【详解】对于A和B，已知函数有三个不同零点，若三个零点分别为0，1，2，则 . 设 .因为 ，所以为奇函数，其图象关于原点对称. 而的图象是由的图象向右平移一个单位长度得到的，所以的图象关于点对称，故A选项错误，B选项正确. 对于C，对进行求导，得 . 因为这三个零点分别为，，，所以， ，， ，一般情况下，故选项C错误. 对于D ， ，故选项D正确. 38． 【知识点】导数的运算法则、由奇偶性求函数解析式、基本初等函数的导数公式、求函数值 【详解】函数为奇函数， 当时，， 令，则，， ，时，， ． 39． 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先对函数进行求导，再根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，设函数，则， 把代入导函数，得， 把代入导函数，得， 又因为函数在和处的切线互相平行，所以， 即，解得. 40．（1） （2）固定，等式两边同时对求导， 得 令得 为未知常数， 结合 ，得 ; 设 ，证明： 对任意 恒成立 由 ，得 对任意实数 ： ， 因此，.故 ，，得证. （3）证明：对任意实数 ，都有 即证： 就是证明： 换元令 ，就要证： 二次函数，开口向上，对称轴： 最小值在 处： 在定义域 上最小值为 ， 所以命题“对任意实数，   都有”得证. （4）证明：移项整理： ， 解得， 即证：对任意 都有， 就是证：对任意 都有 ， 由于 ，所以， 即， 命题对任意 都有显然成立！ 所以命题“对任意 都有”得证. 【知识点】函数新定义、利用导数证明不等式、求函数值 【分析】（1）根据函数性质利用赋值法求解即可； （2）根据等式对求导，赋值法求出，再得出配方可得证； （3）转化为，利用换元法及二次函数的性质得证； （4）由题意转化为对任意 都有，利用分析法即可得证. 【详解】（1）令等式中 ，代入 ，得 , 得到两种可能： 或 . 先令 ，得 若 ：无矛盾； 若 ： ，由于 是常数函数，与题目条件矛盾； 故 . （2）略 （3）略 （4）略 41．C 【知识点】反函数的性质应用、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先利用互为反函数的图象关于对称求出的解析式，再通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求出切线方程. 【详解】因为与的图象关于直线对称，故是的反函数. 令，由对数运算性质得，即， 将互换得，. 将代入，得，故切点为. 对求导得，将代入得，即切线斜率. 由直线的点斜式方程得，整理得. 42．A 【知识点】求某点处的导数值、三角函数定义的其他应用、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】设质点纵坐标为，分析可得，进而结合导数的定义求解即可. 【详解】由题意，设质点纵坐标为，且, 而质点从点沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，即弧度， 则秒旋转弧度，即，则， 即，则， 所以该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为. 43．A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 44．C 【知识点】简单复合函数的导数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式、由奇偶性求参数 【详解】由，得， 所以． 由于为偶函数，所以对任意x， 均有． 取，得，从而． 结合，得． 45．AC 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，D错误． 46．BC 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、求某点处的导数值、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【详解】，则， ， ， ， 依此类推： ， 所以，， ， ， 47． 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】设， 对求导得， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 48． 【知识点】函数周期性的应用、求函数值、函数对称性的应用 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，说明的图象关于中心对称， 令，得，解得，令，得， 将替换为，得，即， 已知，，所以， 由于，结合，可得，所以，其中为常数， 令，得，解得，所以，即的图象关于轴对称， 将替换为，得，结合，可得， 进一步推导，得，说明是一个周期为的周期函数， 已知，，由可知，，， 一个周期内的和为， 因为周期为，，所以表示个完整周期的和，再加上前两项， 因此. 49．（1） （2） （3） （4） （5） 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、简单复合函数的导数、二倍角的正弦公式、基本初等函数的导数公式、二倍角的余弦公式 【详解】（1）因为， 所以． （2） ． （3） ． （4）因为， 所以． （5）因为， 所以 ． 50．（1）对于函数，， ，， 存在，使得； （2）对于函数，， ，， 存在，使得； （3）对于函数，，        ，， 存在非常数函数及函数使得. 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【解析】略 51．C 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本初等函数的导数公式 【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合导数判断单调性即可． 【详解】对于A，设，，不满足，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，设，，不满足，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，设，，满足，所以是奇函数， 又因为在上恒成立，所以是增函数，因此既是奇函数又是增函数，故C正确； 对于D，设，，满足，所以是奇函数， 又因为，当或时，，，此时单调递减，不是增函数，故D错误. 52．D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求函数的单调区间 【详解】的定义域是， 而. 令，则. 由于，故. 故单调递增区间为. 53．A 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、运用换底公式化简计算 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，根据单调性判断即可. 【详解】根据所给三个数的形式构造函数， 求导得， 令，则， 所以在上单调递增，故，即， 所以当时，，即在单调递减. 因为，所以，即. 54．B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 55．BC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、平均变化率、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的定义判断A（举特例），利用导数判断B，把函数图象向左平移个单位得偶函数的图象，结合图象的对称性及函数的单调性求解判断C，求出平均变化率，然后结合绝对值不等式的性质求解判断D. 【详解】A，记，，，所以即不是偶函数，A错； B，时，，， ，则，，所以，所以是减函数，B正确； C，记，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，的图象是由的图象向左移动个单位得到的， 因此由选项B知在上单调递减， 而时，在上是增函数， 作出的图象与直线，如图， 有三个不等的实根，即要有三个实根，即的图象与直线有三个公共点， 所以，所以有三个不等的实根时，C正确； D，，则函数在上的平均变化率为， 设，， ， 因为， 所以, 所以， 所以，当且仅当时，， 所以函数在上的平均变化率的最大值是，D错. 56．BCD 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】依题意，在上是增函数，则在函数的图象上，各点处的切线的斜率随着的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足，B，C，D均不满足． 57． 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 58． 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数求出的单调递增区间，要使在区间内单调递增，即区间是函数单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】函数定义域， 对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 59．（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）通过求导确定切线斜率，即可求解； （2）通过和讨论导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）． 若，令，即， 因为，所以，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 若，令，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增． 60．（1）． （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）分和两种情况，利用导数讨论即可. 【详解】（1）当时，，定义域为． ，即切点为． 对求导得：． 则切线斜率． 所以切线方程为，即． （2）由可知： 当时，定义域为； 当时，定义域为． 对求导得：． 当时，． 因为，所以恒成立，所以在上单调递减． 当时，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 即在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 61．C 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、求已知函数的极值点 【分析】先求确定，再令得可能极值点，最后由单调性确定极值点. 【详解】 对函数求导得：， 则，化简可得：， 求解得：，所以， 因为定义域为，所以令，解得， 当 ，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以是函数的极值点. 62．C 【知识点】求零点的和、求函数零点或方程根的个数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数的零点、利用导数研究函数的零点 【分析】画出函数及的图像，判断出零点的个数，根据零点存在定理判断出零点的取值范围，进而求出两个零点之和. 【详解】令，得， 画出函数及的图像， 由图像可知函数和有两个交点， 所以函数有两个零点，且一个大于，一个小于， 又，所以为函数的一个零点， 又，，， 所以函数在上存在零点， 所以两个零点之和大于. 63．B 【知识点】三角函数在生活中的应用、由导数求函数的最值（不含参）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用直角三角形边角关系，将光照强度转化为关于杆高的函数；对目标函数求导，通过导数符号判断函数单调性，找到函数取得最大值对应的值，即为所求路灯杆的高度. 【详解】如图所示：由题意得，由勾股定理得，则其中， 根据商的导数运算法则，令，，则，， 所以，令得（舍去）或. 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 因此，当时，取得最大值，即点光照最强. 64．BCD 【知识点】根据极值点求参数、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】根据极值处的导函数值等于0可得，并代入判断单调性和极值，即可判断ABC；可证，当且仅当时，等号成立，分类讨论解不等式即可判断D. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 因为函数在处取得极值，则， 若，则，， 令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递增，在，内单调递减， 则函数在处取得极小值，在处取得极大值， 即符合题意，故A错误，BC正确； 对于选项D：令，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则，当且仅当时，等号成立， 不等式即为， 若，则，可知，不合题意； 若，则，可得，则； 综上所述：不等式的解集为，故D正确. 65．AD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、利用导数研究函数的零点 【分析】分、和三种情况讨论，结合导数和单调性分析零点个数，再对照选项判断对错即可. 【详解】若，则， 当时，；当时，； 所以函数没有零点； 若，当时，可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知函数在内有且仅有一个零点； 当时，令，解得， 当时，则在上存在一个零点； 当时，在上没有零点； 综上所述：当时，只有一个零点；当 时，有两个零点． 若，当时，，无零点； 当时，， 当时，，在内单调递增； 当时，，在内单调递减； 则， 当趋近于0或时， 趋近于； 当时，，仅有一个零点； 当时，，没有零点； 当时，， 有两个零点； 结合选项可知：AD正确，BC错误. 66． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】将函数零点问题转化为两个函数图像交点问题，构造，求导研究单调性、最值与趋势，结合图像得到直线与两图象仅有一个交点时的取值范围. 【详解】的定义域是， 有唯一零点 方程 只有一个正实数解， 令 ，则问题等价于与两图象只有一个交点， ， 令 ，得，得， 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增， 所以的最小值为， ，；，；， 画出函数与的图象，由图可得，当或时，与两图象只有一个交点， 所以实数的取值范围是. 67． 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】对求导，结合其单调性可将问题转化为在上有两个不同的实根，再根据导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】由，得 ， 当 时，和均单调递增， 因此 在上单调递增，又 ， 则 在上单调递增. 因此在上值域为等价于：， 即方程在上有两个不同的实根， 而整理得：，， 令， 而函数在上单调递增，则， 即则在上有两个不同的实根， 令，， 则，令，得，令，得， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 而，，， 所以要使在上有两个不同的实根， 则，即的取值范围为. 68．（1） （2）． 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求导判断的单调性，求出的最大值，令，求出答案. 【详解】（1）由题意得，则． 由， 得所求切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，且最大值为， 因为恒成立，所以恒成立． 因为，所以恒成立，则，即. 故的取值范围为. 69．（1）时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. （2） 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； （2）由（1）结果可得及，再根据题设条件构建新函数，利用导数判断其单调性后可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为有最大值，结合（1）的讨论可得， 且， 由题设有即， 设，则，故为上的增函数， 而，故的解为. 70．A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 71．A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】原式因式分解，原问题等价于对任意恒成立，分离变量，求导可得答案. 【详解】不等式 ， 可化为， 当，有 ， 因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立， 设 ，则需 . ， 故 在 上单调递增， ， 因此，. 故选：A 72．B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意可得在上恒成立，根据一次函数及反比例函数的性质可得在上单调递增，从而得，即可得答案. 【详解】由题意可得， 所以， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即的取值范围为. 73．D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即， 所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 74．A 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】时，不等式显然成立，当时，对原不等式分离参数得到，结合导数分析出不等式右边最小值. 【详解】时，不等式显然成立； 当时，， 设，， 设，， 即在上单调递增，则，则在恒成立， 对于可知， ，，单调递减， ，，单调递增， 故，于是. 故选：A 75．（1）①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； （2）. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数 ，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. 【详解】（1）① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）依题意，，不等式 恒成立， 令 ，求导得， 令 ，求导得 ，函数在上单调递增， 而 ，则存在，使得， 即， 当时，，即；当时，，即， 函数在 上单调递减，在上单调递增， ， 因此，而， 令，由，得， 由对勾函数性质得 在单调递减， 则，所以整数的最大值为. 76．（1） （2）要证明当时，，可以将其转化为证明恒成立， 构造新函数，则， 令，即，解得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， ， ， 因此，在的整个定义域内，的最小值为（在处取得）， 所以，对于任意，都有恒成立，即， 也就是成立. 【知识点】导数的运算法则、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出函数在给定点的纵坐标，再求出导函数并计算该点处的导数值，最后利用点斜式写出切线方程即可； （2）通过构造新函数，将不等式证明转化为证明函数值的非负性，通过求导分析新函数的单调性与极值，进而确定其在指定区间上的最小值即可证明. 【详解】（1）已知函数，则. 将代入函数解析式，得， 所以切点坐标为， 切线斜率， 根据直线的点斜式方程 ，可得切线方程，即. （2）略. 77．（1）极小值为，无极大值 （2）最小值为，最大值为 （3）证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值即可； （2）利用导数研究单调性，进而求最值即可； （3）由，得，令，利用导数研究单调性，进而得即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． （3）略 78．（1）证明：由，得，函数的定义域为， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，由，得当时，，即； 当时，，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即. （2）由（1）知，当时，， 取，得，即，则， 因此， 所以不等式成立. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】 （1）对求导，构造函数，再利用导数确定单调性推理得证. （2）当时，，取，得，再利用不等式的性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 79．（1） （2）由（1）知，则，函数定义域为， ，令，， 所以在上单调递增， ，， 所以，使得，即， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以的最小值为， 由可得， 所以， 因为，所以， 取等的条件为，故不能取等， 所以. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出处的切线，将代入得到，令，根据函数的单调性求出方程的解且解唯一； （2），再次求导可得在定义域上单调递增，根据零点存在性定理可知，使得，从而得到的单调性，求出的最小值为，证明即可证明. 【详解】（1）由题意，， ，又因为， 所以处的切线方程为， 将代入，得，化简得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，所以方程有唯一解，解为. （2）略. 80．（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，由对称性得， 令， ， 函数在上为减函数，故当时， 当时，，所以， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式、函数对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）使用导数的几何意义求解切线方程； （2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，利用导函数的正负判断函数的单调性； （3）利用对称性求出函数的解析式，令，使用导数分析函数的单调性即可证明. 【详解】（1），，， 所以函数在处的切线方程为：. （2）， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增. （3）略. 81．B 【知识点】函数不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造辅助函数，求导得到最大值点，将恒成立转化为最大值小于等于 0，再构造关于参数的新函数研究单调性求得参数的范围，从而得到最大值. 【详解】由题意，当时，恒成立， 构造函数，则， 分母，令，得，所以， ， ，单调递增，， ，单调递减， 所以在处取得最大值，要恒成立， 只需最大值， 设,则，   令,得， ， ， 单调递减，， ， 单调递增， 且，当，结合单调性知，，不满足， 的最大值为. 82．B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先由转化为①或②，由指数函数及对数函数性质可得②无解；对①再转化为，分别构造函数，，再利用导数分别求函数的最大值及的最小值可得. 【详解】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 83．A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】把不等式化成，由恒成立，可得到需满足恒成立与恒成立，分离变量，利用导数可得答案. 【详解】， 恒成立， 即， ，， 要使恒成立， 只需对恒成立， 即， 设，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， ； 再令， ，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， . 综上可得，. 84．B 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，并求得其最大值，即可求得实数a的最大值. 【详解】令，则. 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 由不等式对任意恒成立， 得，所以，故实数a的最大值为. 85．D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据定义判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，进而将不等式化为恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】由，因此是R上的奇函数， 其中，仅在处导数为0，因此是R上的单调递增函数， 原不等式，则，得，即恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为 所以，只需，即的取值范围是. 86． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数求导，求得，对进行分情况讨论，结合放缩法、导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】设，则， 当时，设，， 所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，使得当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，，与矛盾， 当时，时，，，所以. 设，则. 设，则， 所以单调递增，即在上单调递增， 又，所以时，，所以在上单调递减， 而，所以时，，即. 所以当时，. 综上，，即的取值范围为. 87． 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】，， 令，解得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即可. 88． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 89． 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将转化为，构造函数，转化为，利用导数法得到单调递增，分离参数得在上恒成立，构造函数，利用导数法得到的最大值，从而得到的取值范围，从而得到的最小值. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，， 因为，所以， 设， 因为，所以，则函数在上单调递增， 所以， 解得在上恒成立，即， 设，， 当时，，在上是单调递减函数， 当时，，在上是单调递增函数， 则在处取得最大值，且的最大值为， 即，则的最小值为. 90． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过分离参数得到，构造函数，求导，确定单调性和最值即可求解. 【详解】当时，， 原不等式恒成立等价于： ， 令， ，又， 导数符号由分子决定： 令， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 故当时，， 故，即，单调递减； 当时，， 故，即，单调递增， 在处取得最小值：， 因此， 即的取值范围是. 91．（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）实数的取值范围是． 证明：取，则， 则， 令， 则，， 设， 则， 则在上单调递增， 则，即； （ii）证明：由（ⅰ）知，，， 要证， 只需证， 即证明， 令， 则， 则在上单调递增， ，即， ； 又因为，且， 故． 要证， 只需证， 令， 则且， 只需证明． 令， 则， 在上单调递减， ， 即，从而得证． 综上所述，． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先对函数求导，因式分解导数，再分类讨论分析函数的单调性． （2）（ⅰ）由第（1）问，时最多有一个零点，排除这种情况，计算时的极小值，接着构造函数得到的取值范围；把代入，换元化简，利用的单调性，证得． （ii）先借助极小值点，构造关于的函数证明，结合，可证出；再用（ⅰ）的找点结果做桥梁，换元转化变量，构造函数求导判断单调性，证明，即可得证． 【详解】（1）由， 得， 当时，，则在上单调递减； 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增． （2）（ⅰ）由（1）知，若函数有两个零点，则， 且当时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，，所以， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； （ⅱ）略 92．（1）或 （2） （3） 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值、函数与导数综合、根据二次函数零点的分布求参数的范围、分段函数的值域或最值、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的性质求解；（2）对自变量取值分类讨论去绝对值，分段求函数的最小值；（3）同样对自变量取值分类讨论去绝对值，每段都是二次函数，根据有四个不同零点的条件，用二次函数的判别式求参数的取值范围 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以对，有， 即， 化简得，对恒成立，则或； （2）当时，，则， 当时， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，即函数在上单调递增，所以在时取最小值， 因为， 所以的最小值为； （3）令，则， 若，则，，则至多只有一个零点，与条件不符； 若，则方程只有一个解，故只有一个零点，与条件不符； 若， 当时，，当时，， 因为有四个不同零点，所以上述两个二次方程应分别有两个不同的实数根， 当时，，当时恒成立， 此时， 要使，即要，即要，显然此式恒成立，故， 因此当时，函数有两个不同的零点，； 当时，， 要使，则， 此时该方程的两个根为，， 当时，，，则，； 当时，，； 因此当时，若，函数有两个不同的零点，； 综上所述，要使有四个不同的零点，的取值范围为 93．（1）的极小值为，无极大值； （2）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性； （3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数. 【详解】（1）时，，定义域为， ， 令得， 令得，则在上单调递增， 令得，则在上单调递减 所以为函数的极小值点，且， 所以的极小值为，无极大值； （2），定义域为， ， 当时，恒成立，令得，令得， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，， 故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 显然，故2为的一个零点， 由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 恒成立，当趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得上，存在一个零点， 故有2个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，， 故2为的唯一零点； 时，在上单调递增，，故有1个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 若，即时，共有2个零点，分别为1和2； 若，即时，共有1个零点，即2； 若，即时，若，即时，共有2个零点， 其中一个零点为2，另一个零点位于上， 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 综上，或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 94．（1） （2） 易知，令． 设， 令，则在上单调递减，且， 则存在唯一的，使在单调递增，在单调递减． 又，则在上，即在上恒成立． 设，则， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增，则， 则，则在上单调递增，又，所以，即在上恒成立． 令得到，由且在上单调递增，则； 令得到，由且在上单调递减，则． 则 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解， （2）构造函数以及 ，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）令，得，令，则， 令，得，令，得．则在单调递增，在单调递减． 当时，，当时，恒成立，且， 若要与有两个交点，则． （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 95．（1）； （2）； （3） 记的导函数为，有显然在上单调递增， 又，时，存在，使， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又，或时， 所以，存在，，使， 当或时，，在、上单调递增， 当时，，在上单调递减， 结合题设，依次在区间、、上， 设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递减， 又，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，则的斜率，故， 同理，设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递增， 又，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，是方程的根，满足和，则的斜率，故， 综上，， 由，，，则， 所以，则，故，得证. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据已知在区间和各有一个解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围； （2）应用导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，进而有，结合（1）得，利用导数求其最大值； （3）应用导数研究的区间单调性，得依次在区间、、上，设在点处的切线为且且，在点处的切线为且且，利用导数研究、的区间单调性，结合即，即可证. 【详解】（1）令，若，则是一个零点，不是题设区间内的零点， 所以的两个根分别在区间和内， 故只需，所以； （2），结合（1）知， 所以曲线在点处的切线，， 令，则，而， 所以，故，而，且， 所以， 令，则，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为； （3）略 96．（1）；（2）；（3） . 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】（1）由切线设出切点坐标，再由导数的几何意义及切点在曲线上列出方程组求解即得； （2）函数有两个零点转化为直线与函数图象有两个不同的公共点即可作答； （3）不等式恒成立转化为成立，再构造函数并探讨其最小值即可作答. 【详解】（1）依题意，设切点为，则， ，于是得，则有且， 时，，无解， 所以； （2）由得，令， 则有时时，在上递增，在上递减， ，又时，恒成立， 于是得有两个不同的零点，等价于直线与函数图象有两个不同的公共点， 即，，所以有两不同的零点，b的取值范围是； （3）， ， 令，， 令，，即在上递增， 而，即，使得， 时，时，， 在上递减，在上递增，从而有， 而，即，令，两边取对数得，则， 即有，显然函数在上单调递增，从而得， 于是得， ， 所以，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 【综1】答案开放。展现个人学习思路即可。 【综2】97．（1）. （2）函数 的单调增区间为 ， 单调减区间为 （3） 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出，判断导数正负得解； （3）由题意可得，求导结合分，，讨论求解. 【详解】（1）因为，所以， ，， 曲线在点处的切线方程为. （2），， 令得， 当时，，当时，， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （3），， 令， 则， ①当时，若，，即在上单调递减， 又，所以，在上单调递增； 当时，， 即在上单调递减， 又，所以，在上单调递减. 在取极大值， 符合. ②当时，若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 因为，所以在定义域内恒成立， 在定义域内单调递增，无极值，不符合. ③当时，若，，即在上单调递增， 因为，所以，在上单调递增； 当时，，即在上单调递增， 因为，所以，在单调递减. 在取极小值，符合. 综上，的取值范围为. 98．（1）时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. （2） （3）当时，有两个零点、， 由可得，即， 零点、满足， 两式相减，两式相加得，即， 要证，即证，即证，即证， 设，由可得， 令，则，可得，则， 所以，，则. 所以即证，即证，其中， 因为，则，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，故原不等式得证. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）先化简不等式得，令，将所求不等式变形为，构造函数，可知对任意的恒成立，则，则函数在处取得极小值，则，求出的值，再结合函数的最值与导数的关系验证即可； （3）化简函数的解析式得，根据零点定义得出，将两式分别相加和相减变形得出，，设，令，将所证不等式变形为，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. （2）因为，由得， 整理为，即， 令，则不等式为. 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，故， 设，则对任意的恒成立，所以， 所以函数在处取得极小值， 求导得，则，解得，此时，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上所述，. （3）略. 99．（1）由题意得．设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，所以是上确界为1的原导积函数． （2） （3）（ⅰ）（ⅱ）． 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用导数分析的单调性求解； （2）令，通过导数分析的单调性求解； （3）（ⅰ）通过上确界函数与下确界函数的定义分析的取值求解； （ⅱ）由（ⅰ）得，则，，两边取对数，将问题转化为在上恒成立，构造函数，对分类讨论，使用导数求解. 【详解】（1）略 （2），则． 设，则． 因为，所以，所以在上单调递增，则． 因为是下确界为1的原导积函数，所以， 解得或．因为，所以正数的取值范围为． （3）（ⅰ）因为既是上确界为1的原导积函数，又是下确界为1的原导积函数， 所以且，得， 则，所以为常数函数．因为，所以， 所以． 因为是单调递增函数，所以． （ⅱ）由（ⅰ）得．当时，；当时，．所以，． 两边取对数，得，即在上恒成立． 设，，则． 当时，，则在上单调递减． 因为，所以不符合题意． 当时，设，，则在上单调递减． 因为，且函数在上的值域为，所以，． 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．所以． 因为，所以，所以． 令，则，． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以． 又因为，所以． 此时，解得，所以的取值集合为． 100．（1）①不属于集合，②属于集合. （2） （3）证明：令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的“q-压缩函数”， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 【知识点】函数新定义、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx（型）函数的值域和最值、利用导数研究不等式恒成立问题、反证法证明、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）通过对任意的，都有以及对任意的，两个条件，即可判断； （2）由化简可得，，令，，求导再由单调性即可求解； （3）由函数连续以及零点存在定理可证存在性，再由反证法以及“q-压缩函数”的条件可证唯一性，即可求解. 【详解】（1）①不属于集合，②属于集合. ①，，则；， ，而，所以不符合题意； ②，，则， ，在上单调递增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. （2）设 ， 所以，， 设，， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，         ， 恒成立， 因为， 则，， 所以. （3）略 【综3】答案开放。评价要点：情境真实、问题明确；建模正确（抽象为函数最优化模型）；求解过程规范（运用导数求最值）；结论合理并能解释其现实意义；体现合作与展示。按“问题—建模—求解—结论”四环节评价。 【综4】答案开放。评价要点：观点明确，能联系导数定义、几何意义、单调性、极值等知识，聚焦“变化率与函数形态的统一”这一大概念；论证有据，能举例说明导数研究函数形态的简洁与力量；结构完整、语言规范、有个人思考与感悟。 作业设计 第1页 共75页 学科网（北京）股份有限公司 $