导数的基础 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

一、导数的基础 （1）导数的代数意义 知识点1 求平均变化率 1、函数从到x=2的平均变化率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】函数从到x=2的增量， ∴从到x=2的平均变化率为， 2、求在附近的平均变化率. 【答案】 所以 所以在附近的平均变化率为 3、在到之间的平均变化率是 ； 当，时平均变化率的值是 . 【答案】当变量从变到时，函数的平均变化率为 当，时，平均变化率的值为：. 4、函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ． 【答案】 ， 即 知识点2 求瞬时变化率（导数值） 1、（1）求函数 在x=1处的导数. （2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【解析】 (1) , ，即. 所以 函数 在x=1处的导数为6 . （2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比， 需先求， 再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。 再由导数定义得： 2、设函数在x0处可导，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】，故选C。 3、求函数求在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【答案】 ，所以 ∴ 4、若，求和 【答案】 因为，所以， 所以，因为，所以实际是求函数处的导数值，，0，所以，即= 0 知识点3 实际应用 1、质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时瞬时速度. 【解析】根据平均速度的意义，运用导数的知识求解。 瞬时速度v==(8+2Δt)=8（cm/s） 【总结升华】 t=2时的瞬时速度就是t=2附近平均速度的极限，亦即速度在t=2时导数。 2、如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是，求 （1）t=4时，物体的位移是s(4); （2）t=4时，物体的速度v(4)； （3）t=4时，物体的加速度a(4). 【答案】(1) (2) t=4时，，，∴v(4)=48 (3) ， ∴ t=4时 ，，∴a (4) = 24 3、一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 【答案】自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）. 当 时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量： 从而，. 结论：越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒. 4、质点按规律s (t)=at2+1做直线运动，若质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m / s，求常数a的值。 【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s(2)=a(2+Δt)2+1―a×22－1=4aΔt+a(Δt)2，∴。 ∴在t=2 s时，瞬时速度为，即4a=8。 ∴a=2。 （2）导数的几何意义 知识点1 求导数值（斜率） ①求曲线的切线方程（所经过的P点是切点） 1、曲线的方程为，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程. 【解析】利用导数的几何意义，曲线在点P（1，2）处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程. 由得，所以曲线在点处的切线斜率为， 过点P的切线方程为，即. 2、过曲线图象上一点（2，―2）及邻近一点（2+Δx，―2+Δy）作割线， 则当Δx=0.5时割线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，故，故。故选B。 3、已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________． 【答案】∵f(x)＝x2＋3，x0＝2 ∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2 ∴＝4＋Δx. 即＝4，即f′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)，即4x－y－1＝0. 4、函数 的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】 【解析】 ， ，即切线的斜率为7，又 ，故切点坐标（1,10）， 切线的方程为： ，当时， ，切线在轴上的截距为 。 ②求曲线的切线方程（所经过的P点不是切点） 1、求曲线经过点的切线方程. 【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解. 若点是切点，由得，则，于是切线方程为，即； 若点不是切点，设切点为：则切线率，所以 解之得，所以，所以切线方程是，即. 2、已知：函数，经过点作函数图象的切线，求：切线的方程。 【答案】 对于函数，，由于点在函数图象上， （1）当点是切点时，函数图象在点处的导数即为切线的斜率， 即：，切线方程为：； （2）当点不是切点时，设点为切点， 函数在此处的导数（即切线的斜率）（） 即：， 即此时点为切点，此时切线方程为。 3、已知曲线。 （1）求曲线过点A（1，0）的切线方程； （2）求满足斜率为的曲线的切线方程。 【答案】（1）设过点A（1，0）的切线的切点坐标为， 因为，所以该切线的斜率为， 切线方程为 ①，将A（1，0）代入①式，得，所以所求的切线方程为y=―4x+4。 （2）设切点坐标为，由（1）知，切线的斜率为，则，。 那么切点为或，所以所求的切线方程为或。 4、设函数，，其中，为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线.求的值，并写出切线的方程. 【答案】 由已知：且， 因为，所以的方程： 知识点2 求导函数 1、求函数在x=2处的导数。 【解析】 解法一：（导数定义法） ∵， ∴，即。 解法二：（导函数的函数值法） ∵， ∴，即。 ∴。 2、已知，求， 【答案】 因为，所以。 当 Δx→0时，，当x=2时，。 3、求函数在内的导函数。 解：， 知识点3 导数的变式 1、若，则________。 【解析】 根据导数定义：（这时Δ=－k）， 所以。 2、已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则＝ 。 【答案】＝＝－2f′(x0)＝－2×11＝－22. 3、设f(x)为可导函数，且满足－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．2　　 B．－1　 C．1　　　　 D．－2 【答案】－1，即y′|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 4、若，（1）求的值。（2）求的值。 【答案】 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $一、导数的基础 (1)导数的代数意义 知识点1求平均变化率 函数x)=V2x从x=)到x=2的平均变化率为()》 A.2 8.2 c.22 D.√2 3 2、求y=x2在x=x附近的平均变化率. 3、y=2x2+1在七到x,+△x之间的平均变化率是 当x,=1,△x=。时平均变化率的值是 4、函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(- 第1页共8页 i‘(+乙-‘灯+ 知识点2求瞬时变化率（导数值） 1、(1)求函数f(x)=3x2在x1处的导数， (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 2、设系数f在处可导，则mf-△)-f)等于() △x A.f'(x,) B.f'(-x) C.-f'(x) D.-f(-x) 3、求函数求y=x2在x=x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 4、若f(x)=(x-1)2,求∫'(2)和(f(2)' 第2页共8页 知识点3实际应用 1、质点M按规律s=2t2+3做直线运动（位移单位：cm,时间单位：s),求质点M在t=2时瞬时速度. 2、如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是s(t)=t+3,求 (1)t=4时，物体的位移是s(4); (2)t=4时，物体的速度v(4); (3)t=4时，物体的加速度a(4) 3、一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 4、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动，若质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。 第3页共8页 (2)导数的几何意义 知识点1求导数值（斜率） ①求曲线的切线方程（所经过的P点是切点） 1、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率，以及切线的方程. 2、过曲线y=三，图象上一点2，一2)及邻近一点(2+△x,一2+△y)作割线 则当△x=0.5时割线的斜率为() 1 C.1 3 3、已知函数f(x)=x2+3,则f(x)在(2，f(2)处的切线方程为 4、函数f(x)=x+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为( A.10 B.5 C.-1 0、3 7 第4页共8页 ②求曲线的切线方程（所经过的P点不是切点） 1、求曲线y=x3经过点P(I,1)的切线方程. 2、已知：函数f(x)=x3-3x,经过点(2,2)作函数图象的切线，求： 第5页共8页 切线的方程。 1 3、已知曲线y=二 (1)求曲线过点A(1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为-的曲线的切线方程。 4、设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a,b为常数，已知曲线y=f(x)与 y=g(x)在点（2,0)处有相同的切线L.求a,b的值，并写出切线1的方程. 第6页共8页 知识点2求导函数 4 1小、求函数y=产在2处的导数。 2、己知f(x)=√x+2,求f(x),f'(2) 3、求函数y=元在(0，+0)内的导函数。 第7页共8页 知识点3导数的变式 1、若f'(x)=2,则1im,-)-f)- 2k 2、已知函数y=f(x)在x=x处的导数为11，则1im f(x-2△-f(x= △r→0 △x 3、设f)为可导函数，且满足m0-f0-20--1,则过曲线y=f)上点1，f)处的切线斜率为(） 2x A.2 B.-1 C.1 D.-2 4、若f)=a,)求m,-4-f的值，(2)求m+△)-/，-A0的值。 △X→ △x △x0 △x 第8页共8页