专题01 期中真题百练通关(7大常考题型+6大压轴题型) (期中专项训练) 八年级数学上学期鲁教版五四制

专题01 期中真题百练通关（89题13个题型） 一、常考题型 题型一 因式分解 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）(1)因式分解：； (2)利用分解因式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，熟练掌握十字相乘法和公式法分解因式，学会利用平方差公式简便计算是解题的关键． （1）先把看作一个整体，先对原式用十字相乘法分解因式为，再对用十字相乘法分解因式，对用完全平方公式分解因式，即可完成解答； （2）在式子前面乘上和，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可作答． （3）先整理原式得，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)40000 (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用等知识点，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式2，再运用平方差公式因式分解即可； （2）先将原式变形成完全平方公式的形式，然后再运用完全平方公式进行简便运算即可； （3）直接运用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先凑出公因式，再提取公因式，然后运用平方差公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：． （4）解： ． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式发进行因式分解成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式3，然后再运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型二 分式取值的讨论 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 8．（18-19八年级·重庆·课后作业）若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．16 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：由，解得，即或． 又∵分母，即． 故选：A 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 11．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴A不合题意； ∵当时，分式无意义， ∴B不合题意； ∵时分式的值为， ∴C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 14．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 题型三 分式的计算与化简求值 15．（22-23七年级上·上海闵行·期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 16．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算乘方，将除法改为乘法，再约分计算即可； （2）先计算乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解的运用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． （1）由分式的乘除运算进行化简，即可得到答案； （2）先计算括号内异分母分式减法、再计算分式的除法运算，即可得到答案； （3）先计算括号内异分母分式减法、加法、再计算分式的除法运算，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）解答下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时，原式． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期中）计算： (1)化简下列各式： ①； ②． (2)化简求值：，再从中选一个你认为合适的整数值，对式子进行代入求值． 【答案】(1)①；② (2)，当时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合计算： （1）①先计算乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可；②先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 20．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)x (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘出法即可求解； （2）根据同分母分式加减法运算法则计算即可； （3）先对括号里进行通分相加，再把除法运算化为乘法运算，因式分解后约分即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型四 分式加法的实际应用 21．（24-25八年级下·四川成都·期中）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 22．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 23．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 24．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 【答案】任务1：；任务2：、；任务3：选择乙购买方案，理由见解析；任务4：金额 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用作差法，找出两分式的大小是解题的关键． 任务1：二者作差后，可得出，根据得出； 任务2：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，即可求出结论； 任务3：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，用含a,b的代数式表示出甲、乙两人两次买大米的均价，作差后，即可求解； 任务4：由任务3的结论，即可得出结论． 【详解】解：任务1： ∵， ∴ ∴ ∴ 任务2：∵第二次甲购买大米的金额为（元），乙购买大米的质量为（千克）， ∴甲两次买大米的均价为（元/千克），乙两次买大米的均价为（元/千克） 故答案为：、． 任务3：选择乙购买方案 理由如下：∵甲均价元 乙均价元 ∴ ∴选择乙购买方案 任务4：根据任务3的结论，得：任务3的素材4中习惯的人按相同金额加油更合算． 故答案为：金额． 25．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 题型五 分式方程的实际应用类型 27．（24-25八年级上·山东聊城·期中）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)（或） (2)燃油车每千米行驶费用为元，纯电动汽车每千米行驶费用为元 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是解题的关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． （2）解：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 28．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】(1)小刚步行的速度是每分钟80米； (2)小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． （2）解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 29．（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 30．（24-25八年级下·山东济南·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】(1)型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料 (2)至少购进型机器人台 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据“型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进型机器人台． 31．（24-25九年级下·山东济宁·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】(1)单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 (2)原计划平均每天制作20个充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． （2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 32．（24-25九年级下·山东烟台·期中）乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． (1)求甲、乙两种肥料每袋的价格； (2)若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 【答案】(1)甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元 (2)甲种肥料最多可购买15袋 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每袋乙种肥料的价格是元，则每袋甲种肥料的价格是元，由题意可得，即可求出每袋甲种肥料的价格； （2）设购买袋甲种肥料，则购买袋乙种肥料，利用总价单价数量，结合总价不超过13500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种肥料每袋元，则甲种肥料每袋元，根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根， （元）， 所以，甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元； （2）解：设购买甲种肥料袋，则购买乙种肥料（）袋，由题意，得 解得． 即甲种肥料最多可购买15袋． 33．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． (1)求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ (2)该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 【答案】(1)甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元 (2)购买甲厂家的设备最多20台 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元，根据“甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的”建立分式方程求解； （2）设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台，根据“总费用不能超过20万元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则乙厂家设备的单价为万元， 答：甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元； （2）解：设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台， 由题意得：， 解得：， 答：购买甲厂家的设备最多20台． 34．（24-25八年级下·山东济南·期中）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 【答案】问题1：该市峰时电价为元度，谷时电价为元/度；问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是列出分式方程与不等式； 问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，根据三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，列出分式方程，解方程即可； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度，根据电费不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该市峰时电价为元度，谷时电价为元度； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度， 由题意得：， 解得：， 答：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 35．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】(1)答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 (2)答：每个窗花的售价至少为元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第二次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． （2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 题型六 分式与整式的加法应用 36．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)0或6或或 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知条件中的真分式的定义进行判断即可； （2）根据题意，逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式； （3）把分子写成的形式，然后逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式，再根据x为整数，求分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴， 解得：，，，， 则所有符合条件的值为0，，，． 37．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 38．（24-25八年级下·陕西安康·期中）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 39．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【答案】(1)①真；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）①根据真分式的定义求解即可； ②根据分式的减法写成一个整式与一个真分式的和的形式． （2）根据当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于，即可求解． （3）这个两位数为，是整数，，根据题意得出，为整数， 求得的式子，化为一个整式与一个真分式的和的形式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①分式是真分式， 故答案为：真； ② 故答案为：． （2）解：∵ ∵当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于， ∴当时，随着x的增大，的值无限趋近于 （3）解：设这个两位数为，是整数，，根据题意得， ，为整数， ∴ ∴是正数， ∵， ∴ 当时，，为两位数，不合题意， 当时，，则无解， 当时，，则 ∴时，，符合题意， 当时，，而，无解 综上所述，这个两位数为： 40．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 【答案】(1) (2) (3)27 【分析】本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形． （1）按照阅读材料方法，把变形即可； （2）用分离常数法，把原式化为 ，由即可得答案； （3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得出，即可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， 而， ∵， ∴（， ∴当时，最小值是27． 41．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 题型七 数据分析常考类型题 42．（20-21八年级上·山东泰安·期中）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表： 七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62 八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82 (1)根据上述数据，补充完成下列表格中未知数据： 整理数据： 等级 优秀 良好 及格 不及格 七年级 2 3 a 0 八年级 1 4 4 1 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 b c 77 八年级 74 74 d 表格中：______；______；_____；_______． (2)该校目前七年级有300人，八年级有200人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？ (3)结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好． 【答案】(1)5；74；78；76 (2)估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有80人 (3)七年级学生的体质健康情况更好 【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，样本估计总体，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的概念解答即可； （2）根据样本估计总体解答即可； （3）根据数据调查信息中的平均数解答即可． 【详解】（1）解：七年级及格的人数是5，平均数， 七年级学生体质的健康成绩中，74分出现两次，次数最多， 众数分； 八年级学生体质健康成绩从小到大排列为：46，60，61，74，74，82，83，84，85，91， 中位数（分）； 故答案为：5；74；78；76； （2）估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有（人）； （3）根据以上数据可得：七年级学生体质健康成绩的平均数为76分，八年级学生体质健康成绩的平均分为74分， 七年级学生的体质健康情况更好． 43．（24-25八年级上·山东烟台·期中）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，实验中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 b 10 (1)依据折线统计图，得到的表格：其中______，______； (2)甲成绩的众数是______环，乙成绩的中位数是______环； (3)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 【答案】(1)8、7 (2)8，7.5 (3)甲成绩更稳定，见解析 【分析】此题考查了方差、众数、中位数等统计量和折线统计图，熟练掌握方差、众数、中位数的求法是关键． （1）根据折线统计图即可得到答案； （2）根据众数和中位数定义进行解答即可； （3）求出方差，根据方差的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：由折线统计图知、， 故答案为：8、7； （2）甲射击成绩次数最多的是8环、故甲成绩的众数是8环． 乙成绩从小到大排列为：， ∴乙成绩的中位数为环； （3）甲成绩的平均数为（环）， 所以甲成绩的方差为 （环）， 乙成绩的平均数为（环），所以乙成绩的方差为（环）， 因为甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故甲成绩更稳定； 44．（24-25八年级上·山东济宁·期中）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为． (1)当按照“方案二”中评分时，求节目的得分； (2)关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当时，节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 【答案】(1) (2)②③ 【分析】本题考查了加权平均数，掌握其概念是解此题的关键． （1）先求出，由题意可得，，最后根据公式计算即可得解； （2）根据公式进行计算，逐一分析即可得解． 【详解】（1）解：当时，由题意可得：， 由题意可得，， ∴该节目得分为：； ∴时，节目的得分为； （2）解：①当时，， ∵， ∴当时，节目按照“方案二”和“方案一”评分结果不同，故①错误； ②当时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性，故②正确； ③当时，， ∵，， ∴当时，节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高，故③正确； 综上所述，正确的有②③． 45．（24-25八年级上·山东济南·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 乙 8 87 丙 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)_______，_______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】(1)9，8 (2)丙同学的面试成绩为83分 (3)乙 (4)乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值； （2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； （3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 【详解】（1）解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多，故众数． 故答案为：9，8； （2）解∶ 丙同学的面试成绩（分）， 答∶丙同学的面试成绩为83分； （3）解∶乙的平均得分为（分）， 乙的方差为， ，可知，乙的得分的波动比甲和丙小， 所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为∶乙． （4）解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)， 乙的综合成绩为∶ (分)， 丙的综合成绩为∶ (分)， ． 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为∶乙． 46．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，第位是3，第位数是4， ∴中位数， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 47．（24-25八年级上·山东济南·期中）为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生参加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】 本次竞赛满分10分．已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 a．图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图： b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，9． 【分析数据】 下表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成缆的平均数、众数、中位数： 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 【解决问题】 (1)_________，_________； (2)设七、八年级学生科学竞赛成的方差分别是，，比较大小：_______； (3)在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生人数． 【答案】(1) (2)> (3)560人 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的定义解答即可； （2）根据数据的波动情况判断即可； （3）先求出各年级的人数，再用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：∵9出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是9，即； 把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：， 中位数是； 故答案为：9，7； （2）解：从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大； 八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以， 故答案为：； （3）解：人； ∴七、八年级各500人； 人； ∴九年级400人； 人． 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）某中学计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 表1：1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情景表达 个人才艺 1号 80 75 85 79.5 2号 86 80 ★ ★ 表2：1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 1号 85，80，83，90，87 85 2号 85，84，84.5，84，87.5 ★ (1)利用表2数据作答： ①2号选手的中位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； ②求和的值，并比较大小． (2)计算2号的总评成绩； (3)如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．（A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析1号、2号是否入选，并说明理由． 【答案】(1)①84.5，84，85；②，， (2)84分 (3)①见解析；②1号不能入选，2号入选，见解析 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数和方差，频数直方图： （1）①根据中位数，众数和平均数的计算方法进行求解即可；②根据方差的计算公式进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）①求出组人数，补全直方图即可；②根据1号和2号选手的总评成绩进行判断即可． 【详解】（1）解：①将数据排序后，位于中间的数据为84.5分，故：中位数84.5分， 出现次数最多的是84分，故众数为84分， 平均分分． ②， ， ． （2）解：2号的总评成绩为：（分）； （3）解：①C组人数为：（人）， 补充完整总评成绩频数分布直方图如下： ②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔9名广播员应在C：；D：内，而1号的总评成绩79.5分不在C、D范围内，2号的总评成绩84分在C、D范围内， 号不能入选，2号入选． 49．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 乙班的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 班级 甲班 1 4 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 46.6 乙班 80 85 45.6 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：________；________；_________； (2)请你根据【分析数据】中的数据，判断哪个班级的成绩比较好，简要说明理由． (3)甲班共有54人，乙班共有学生50人．按竞赛规定，80分以上的学生可以获奖，请估计这次两个班级共可以获奖多少人？ 【答案】(1)；； (2)乙班成绩更好，理由见解析 (3)估计这次两个班级共可以获奖57人 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差,用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义以及样本容量进行求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数及方差进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案. 【详解】（1）解：； 甲班10名学生竞赛成绩中，83分出现次数最多，共3次，故； 将乙班的成绩按大小排列，最中间的两个数据是第5，6个，即84，85， 所以，乙班的成绩中位数； 故答案为：4；83；84.5； （2）解：乙班成绩更好，理由如下： ∵甲乙两班的平均数均为80，甲班的方差为46.6，乙班的方差为45.6 ∵46.6>45.6，这说明乙班的成绩比甲班更稳定； 又乙班的成绩中位数和众数均大于甲班的成绩中位数和众数 ∴乙班的成绩更好． （3）解：由题意得：甲班10名同学中80分以上有人，乙班10名同学中80分以上有人． ∴ ∴估计这次两个班级共可以获奖57人． 二、压轴题 题型一 平方差公式的应用 50．（24-25九年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，涉及平方差公式的应用、方程的解，先利用平方差公式可得，再根据题意，得到为连续正整数时，是方程的解，再逐一判断即可得到答案．正确地找出规律是解题的关键． 【详解】解：， 当，时，代入， ，是方程的一组解， 故①正确； ，， 当时，， 则， ， 正整数，满足， ，则， 即， 是四个连续的正整数，则连续四个正整数一定是方程的一组解， 故②正确； ③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解， ∴和和为连续的整数时，一定是方程， ∵， ∴， ∴， 当时，则或或或： 当时，则或或或， 当时，则或或， 当时，则或， 当时，则，共10组解； 当时，则或， 当时，则或或， 当时，则，共6组解； 当时，则或， 当时，则，共3组解； 当时，则，共1组解； ∴若，则方程共有组解， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①②，共2个， 故选：C． 51．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 52．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （    ） A．线点P的坐标满足或者 B．是线点 C．线点P在直线上（除外） D．线点P在直线上（除外） 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新定义是解题的关键． A：由题意得，两式相减得到，即可判断；B：将分别代入，根据新定义判断即可；C、D：由A可知，则，那么线点P在直线上，由于，则除外，故可判断C，D． 【详解】解：A、由题意得， 两式相减得到，， ∴， ， ， ， 故A错误，不符合题意； B、将分别代入得：， ， ， ， ， ∴不是“线点”，故B错误，不符合题意； C、由A可知， ∴， ∴线点P在直线上， ∵， ∴除外， ∴线点P在直线上，（除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 53．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 题型二 完全平方公式的应用 54．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第2024个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 55．（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 56．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 题型三 分式乘除法的应用 57．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 58．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 59．（23-24八年级下·重庆·期末）已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 60．（22-23九年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 题型四 分式方程解的讨论问题 61．（24-25八年级上·重庆·期中）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 【答案】3 【分析】先解一元一次不等式组，依题意可得，再解分式方程得，由题意可得是8的约数，再结合方程的解的情况求出k的值即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组有解，即为， ∵不等式组有解且至多有三个整数解， ∴不等式组的三个整数解为1，2，3 ∴， ∴， ， ， 解得，（） ∵分式方程有整数解，， ∴是20的约数，而且 ∴， ∴满足条件的所有整数k的和为 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键． 62．（23-24九年级下·重庆·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查根据一元一次不等式组解集情况求参，根据分式方程的解的情况求参，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程． 先解一元一次不等式组，根据不等式组无解，列出关于的不等式，求出的取值范围，再解含有字母参数的分式方程，根据分式方程的解是非负数和分母不能为0，列出不等式，求出的取值范围，从而求出的整数值，最后求出答案即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 关于的不等式组无解， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ， ， ， ， ， 为整数， 或3或4或5或6或7， ， ， ， ， ， ， 所有满足条件的整数为2或3或4或5或6， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故答案为：20． 63．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，进而由不等式组的解集求出的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的解的情况求出满足条件的整数的值即可求解，根据不等式组求出的取值范围，再进一步根据分式方程的解的情况求出整数的值是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 方程两边同时乘以得，， ∴， ∵方程有正整数解， ∴整数或或或， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 64．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，由分式方程得，由一元一次不等式组得，根据不等式组有解且最多有六个整数解，即可得到，再由为整数，即可得到的值，正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由得， ∵不等式组有解且最多有六个整数解， ∴， ∵为整数， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 65．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等组至少有3个整数解，得到，则，再解分式方程得到，由分式方程有整数解得到是整数，由此求出a的值，再由确定出符合题意的a的值，最后求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有3个整数解， ∴， ∴； 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴， ∴， ∴是整数， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， 又∵， ∴或或或或或， ∴满足条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等组解的情况和分式方程解的情况确定a的值是解题的关键，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 66．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可． 【详解】解：关于x的不等式组整理得到： ， ∵不等式组的解集为， ∴； 分式方程两边都乘以得：，即． ∵y有非负解且， ∴且，解得：且． ∴且， ∴整数m为：它们的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 67．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）若整数使关于的不等式组至少有两个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】15 【分析】先解不等式①得，解不等式②得，根据不等式组至少有两个整数解可得，解分式方程可得，根据和分式方程有正整数解可得，且是2的倍数，由此求出的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 整数使关于的不等式组至少有两个整数解， ， ， ， 去分母得：， 解得：， ， ， ， 分式方程有正整数解， ，且是2的倍数， ， ， ， 或或， 或或， 满足条件的所有整数的和为：， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键． 题型五 分式加减法的应用 68．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 69．（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 70．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 71．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 72．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 73．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 74．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 75．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 题型六 因式分解的应用压轴题 76．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 77．（23-24八年级上·广东江门·期中）阅读材料，解决问题 【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式． 原式． 【材料】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则 原式，再将重新代入，得：原式 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解； （3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ， ∴， ∴， ∴，，， 得，，，． ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 78．（22-23八年级上·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 79．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 80．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 1．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 3．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 4．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 5．（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】(1)36 (2)14 (3)300 (4)6 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为： （人）； （2）解：； （3）解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； （4）解：∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 6．（2025·山东青岛·三模）为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表；根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 d 众数 b 7 优秀率 c 0.5 (1)统计表中_________，_________，_________； (2)若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数． 【答案】(1)7.55，8，7.5 (2)估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数为1200名 【分析】本题考查统计图，求平均数，中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：； 七年级8分的人数所占的比例最大，人数最多，故； 八年级的数据第10个和第11个数据分别为7和8， ∴； 故答案为：7.55，8，7.5； （2）（名）； 答：估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数为1200名． 7．（2025·安徽淮南·三模）综合与实践  探秘凌家滩 【调查背景】凌家滩遗址位于安徽省含山县凌家滩村，距今已经有约6000年历史，是长江下游巢湖流域发现面积最大、保存最完整的新石器时代聚落遗址．2022年12月凌家滩遗址被列为第四批国家考古遗址公园名单．今年安徽交通广播电台开展了“相约凌家滩”的主题活动，体验古文化，雄智中学也开设地方性课程——《凌家滩古文化》．学习后，对全体八、九年级的学生进行凌家滩古文化知识测试（满分100分）． 【数据的收集、整理】 从两个年级抽取数量相同学生的成绩进行整理和分析，将学生测试成绩（得分为）分成四个级别，；；；． I．绘制抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图，部分信息如下： II．已知被抽查的满分100分的有2人，本次达到组成绩的有10人，其中九年级测试成绩组的全部数据如下：91，93，92，93，93，94，100． 【数据的应用】利用以上信息，完成下列问题： (1)本次共抽取________人的成绩，组成绩的众数是________． (2)欣欣同学发现自己的分数正好是该年级抽查成绩的中位数，悦悦同学说：“欣欣的成绩在我们年级的成绩是中等偏下水平”，请你根据这些信息，判断欣欣是哪个年级的学生，并说明理由； (3)已知该校八年级有600人，九年级有500人，请你估计这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的共有多少人． 【答案】(1)100，93 (2)欣欣是八年级学生 (3)106人 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、求众数、用中位数作决策、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）根据达到组成绩的人数和其所占的百分比可求得调查总人数；根据众数是一组数据中出现次数最多的数据求解即可； （2）根据九年级测试成绩的中位数和抽查同学测试成绩的中位数，结合题意可作出判断； （3）根据九年级测试成绩和抽查同学测试成绩在D组的人数求出八年级测试成绩在D组的人数，再根据样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：调查总人数为（人）， 组成绩中，数据93出现次数最多， ∴组成绩的众数是93， 故答案为：100，93； （2）解：欣欣是八年级学生．从扇形统计图可知八、九年级的、级共占，则抽取的八、九年级测试成绩在一起的中位数在等级的数据中，此中位数小于80分． 由九年级的条形统计图可知，九年级抽查学生成绩的中位数在等级的数据中，大于等于80分．由此可判断八年级的中位数小于80分，所以欣欣是八年级的学生． （3）（人）， 答：这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的约有106人． 8．（2025·山东·二模）菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： (1)直接写出统计表中甲的平均数为________ 、乙的众数为___________ 、甲的中位数为__________ ； (2)观察折线统计图比较甲和乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； (3)该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成如图所示的独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 【答案】(1)24，24，24 (2)，见解析 (3)选择甲品种牡丹花更合适，理由见详解 【分析】本题考查了求平均数，求方差，求众数，运用众数作决策，运用方差作决策，运用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的公式列式计算，得出甲的平均数为，再结合众数，中位数的定义进行作答即可； （2）算出甲和乙两种品种牡丹花直径方差，再比较大小，即可作答． （3）结合平均数和中位数来看，两种品种牡丹花相同，再运用众数和方差进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴甲的平均数为， 观察乙品种的数据，出现的次数最多，且为2次， ∴乙的众数为， 先把甲品种的数据进行排序，得， 观察排在中间位置的数分别是， 则 ∴甲的中位数为， 故答案为：24，24，24； （2）解：依题意，观察折线图，得， 计算过程如下： ， ， ∵， ∴， （3）解：依题意，从平均数和中位数来看，两种品种牡丹花相同． 从众数来看，甲品种直径众数比乙品种众数大，可以看出甲品种牡丹花普遍比乙品种牡丹花直径较大； 从方差来看，甲品种牡丹花方差较小，可以得出甲品种牡丹花大小相近，整朵进行独立包装后重量相差不大，宜于按朵数进行计量销售． 综上所述，选择甲品种牡丹花更合适． 9．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 试卷第2页，共101页 1 / 114 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（89题13个题型） 一、常考题型 题型一 因式分解 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）(1)因式分解：； (2)利用分解因式计算：． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）因式分解： (1) (2) (3) 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (3) (4) 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）因式分解： (1) (2) 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1)． (2) (3) 题型二 分式取值的讨论 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（18-19八年级·重庆·课后作业）若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．16 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 10．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 14．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 分式的计算与化简求值 15．（22-23七年级上·上海闵行·期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 16．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）解答下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期中）计算： (1)化简下列各式： ①； ②． (2)化简求值：，再从中选一个你认为合适的整数值，对式子进行代入求值． 20．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 题型四 分式加法的实际应用 21．（24-25八年级下·四川成都·期中）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 22．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 23．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 24．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 25．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 题型五 分式方程的实际应用类型 27．（24-25八年级上·山东聊城·期中）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 28．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 29．（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 30．（24-25八年级下·山东济南·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 31．（24-25九年级下·山东济宁·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 32．（24-25九年级下·山东烟台·期中）乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． (1)求甲、乙两种肥料每袋的价格； (2)若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 33．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． (1)求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ (2)该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 34．（24-25八年级下·山东济南·期中）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 35．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 题型六 分式与整式的加法应用 36．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 37．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 38．（24-25八年级下·陕西安康·期中）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 39．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 40．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 41．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 题型七 数据分析常考类型题 42．（20-21八年级上·山东泰安·期中）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表： 七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62 八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82 (1)根据上述数据，补充完成下列表格中未知数据： 整理数据： 等级 优秀 良好 及格 不及格 七年级 2 3 a 0 八年级 1 4 4 1 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 b c 77 八年级 74 74 d 表格中：______；______；_____；_______． (2)该校目前七年级有300人，八年级有200人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？ (3)结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好． 43．（24-25八年级上·山东烟台·期中）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，实验中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 b 10 (1)依据折线统计图，得到的表格：其中______，______； (2)甲成绩的众数是______环，乙成绩的中位数是______环； (3)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 44．（24-25八年级上·山东济宁·期中）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为． (1)当按照“方案二”中评分时，求节目的得分； (2)关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当时，节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 45．（24-25八年级上·山东济南·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 乙 8 87 丙 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)_______，_______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）． 46．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 47．（24-25八年级上·山东济南·期中）为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生参加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】 本次竞赛满分10分．已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 a．图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图： b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，9． 【分析数据】 下表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成缆的平均数、众数、中位数： 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 【解决问题】 (1)_________，_________； (2)设七、八年级学生科学竞赛成的方差分别是，，比较大小：_______； (3)在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生人数． 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）某中学计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔．报名的学生需参加普通话、情境表达、个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩．根据以下图表解答相关问题． 表1：1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 普通话 情景表达 个人才艺 1号 80 75 85 79.5 2号 86 80 ★ ★ 表2：1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表： 选手 评委评分 平均数 方差 1号 85，80，83，90，87 85 2号 85，84，84.5，84，87.5 ★ (1)利用表2数据作答： ①2号选手的中位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分； ②求和的值，并比较大小． (2)计算2号的总评成绩； (3)如图是这19名学生总评成绩的频数分布直方图（不完整），学校决定根据总评成绩择优选拔9名广播员．（A：；B：；C：；D：） ①补充完整总评成绩频数分布直方图； ②试分析1号、2号是否入选，并说明理由． 49．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 乙班的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 班级 甲班 1 4 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 46.6 乙班 80 85 45.6 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：________；________；_________； (2)请你根据【分析数据】中的数据，判断哪个班级的成绩比较好，简要说明理由． (3)甲班共有54人，乙班共有学生50人．按竞赛规定，80分以上的学生可以获奖，请估计这次两个班级共可以获奖多少人？ 二、压轴题 题型一 平方差公式的应用 50．（24-25九年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 51．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 52．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （    ） A．线点P的坐标满足或者 B．是线点 C．线点P在直线上（除外） D．线点P在直线上（除外） 53．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 题型二 完全平方公式的应用 54．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 55．（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 56．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 分式乘除法的应用 57．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 58．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 59．（23-24八年级下·重庆·期末）已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 60．（22-23九年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 题型四 分式方程解的讨论问题 61．（24-25八年级上·重庆·期中）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 62．（23-24九年级下·重庆·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为 ． 63．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 64．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 65．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是 ． 66．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ． 67．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）若整数使关于的不等式组至少有两个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 题型五 分式加减法的应用 68．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 69．（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 70．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 71．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 72．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 73．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 74．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 75．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 题型六 因式分解的应用压轴题 76．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 77．（23-24八年级上·广东江门·期中）阅读材料，解决问题 【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式． 原式． 【材料】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则 原式，再将重新代入，得：原式 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 78．（22-23八年级上·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 79．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 80．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 1．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 3．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 4．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 5．（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 6．（2025·山东青岛·三模）为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表；根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 d 众数 b 7 优秀率 c 0.5 (1)统计表中_________，_________，_________； (2)若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数． 7．（2025·安徽淮南·三模）综合与实践  探秘凌家滩 【调查背景】凌家滩遗址位于安徽省含山县凌家滩村，距今已经有约6000年历史，是长江下游巢湖流域发现面积最大、保存最完整的新石器时代聚落遗址．2022年12月凌家滩遗址被列为第四批国家考古遗址公园名单．今年安徽交通广播电台开展了“相约凌家滩”的主题活动，体验古文化，雄智中学也开设地方性课程——《凌家滩古文化》．学习后，对全体八、九年级的学生进行凌家滩古文化知识测试（满分100分）． 【数据的收集、整理】 从两个年级抽取数量相同学生的成绩进行整理和分析，将学生测试成绩（得分为）分成四个级别，；；；． I．绘制抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图，部分信息如下： II．已知被抽查的满分100分的有2人，本次达到组成绩的有10人，其中九年级测试成绩组的全部数据如下：91，93，92，93，93，94，100． 【数据的应用】利用以上信息，完成下列问题： (1)本次共抽取________人的成绩，组成绩的众数是________． (2)欣欣同学发现自己的分数正好是该年级抽查成绩的中位数，悦悦同学说：“欣欣的成绩在我们年级的成绩是中等偏下水平”，请你根据这些信息，判断欣欣是哪个年级的学生，并说明理由； (3)已知该校八年级有600人，九年级有500人，请你估计这两个年级凌家滩古文化测试成绩达到级别的共有多少人． 8．（2025·山东·二模）菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： (1)直接写出统计表中甲的平均数为________ 、乙的众数为___________ 、甲的中位数为__________ ； (2)观察折线统计图比较甲和乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； (3)该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成如图所示的独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 9．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 试卷第2页，共101页 1 / 114 学科网（北京）股份有限公司 $