期中高频易考题综合测试01【范围：第21-23章】-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册期中高频易考题综合测试 【 范围：第21-23章】 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意， 故选：B． 2．（本题3分）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程定义及方程中未知数的最高次数为2，可得，由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故选：B 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选B． 4．（本题3分）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，代数式求值，求出和是解此题的关键． 根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，，将变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 5．（本题3分）若关于的二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象开口向下得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于的二次函数的图象开口向下， ∴， 解得， 故选：A 6．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 7．（本题3分）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， ． 8．（本题3分）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质与勾股定理，熟练掌握旋转前后对应线段相等以及勾股定理是解题的关键．先根据旋转性质和勾股定理求出相关线段长度，再利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得． 故选：． 9．（本题3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析找出等量关系列出方程是解题的关键． 先根据售价降低元，分别计算出每件商品的利润和销售量，再利用总利润每件利润销售量列出方程，即可得解． 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降低元后，利润为每件元； 每降低1元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为件， 根据题意得：． 故选． 10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴， 故①错误； ②由图象可知：当时，， ∴， 故②错误； ③由对称知，当时，函数值大于0，即， 故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点，则， ∴， 故④错误； ⑤当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：③⑤，共有2个． 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据方程总有实数根可得，根的判别式，以及方程二次项系数不为列出两个不等式，然后解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程总有实数根， 且， 解得且， 的取值范围为且． 故答案为：且． 12．（本题3分）关于x的一元二次方程的两个实数根为，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：， ． 根据根与系数的关系求出，，然后利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为21． 13．（本题3分）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，即可得出结果． 【详解】解：的顶点坐标为； 故答案为：． 14．（本题3分）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中点恰好落在边上，若，则的度数是 ． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（本题3分）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（本题3分）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ， 则， ， ∴的面积是. 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在正方形中，E是上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转，使得点B的对应点F落在边上，则 °． 【答案】22.5 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数．先根据正方形的性质得出的度数，再由求出和的度数，接着根据旋转的性质得到，进而求出的度数，最后算出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形，为正方形的一条对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转后得到，根据旋转的性质可知， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22.5． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 20．（本题9分）已知关于x的方程． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)方程的另一根为；或 【分析】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． （1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，即可求得直角三角形的面积为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，即可求得直角三角形的面积为． 【详解】（1）证明：， ， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 ， 解得， ， ， 或， 则方程的另一根为； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时， 该直角三角形的面积为； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时， 该直角三角形的另一直角边为； 该直角三角形的面积为； 综上，该直角三角形的面积为或． 21．（本题9分）如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解； （2）观察图象，图象位于图象上方时，对应的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为直线， ， ， 该二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的图象与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 22．（本题9分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标或或 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、图形与坐标及旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质、图形与坐标及旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质可进行作图； （2）先得出点关于原点O的对称点，然后作图即可； （3）根据平行四边形的性质可分别以为对角线，然后得出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：当分别以为对角线，作平行四边形，如图所示： 由图可知：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标或或． 23．（本题9分）深圳市龙岗区某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如表： 销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 … (1)求y与x之间的函数关系； (2)当该公司获得利润560万元时，公司销售单价应定为多少？ (3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)36元或30元 (3)单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定、一元二次方程在利润问题中的应用以及二次函数的最值求解（结合利润率限制），解题的关键是根据“销售量与单价的一次函数关系”建立函数模型，利用利润公式（利润=单个利润×销售量）列方程或二次函数，再结合题干限制条件求解． （1）设一次函数解析式，选取表格中两组值代入，解二元一次方程组求出和，确定函数关系； （2）根据“利润（销售单价生产成本）销售量”，代入一次函数和利润值560万元，列一元二次方程，求解方程得到销售单价； （3）先根据“利润率不高于”计算销售单价的最大值，再建立利润关于单价的二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴，结合单价上限确定最大利润及对应单价． 【详解】（1）解：设每月销售量（万个）与销售单价（元/个）之间的函数关系式为：． 把代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴公司销售单价应定为元或元； （3）解：∵每个生产成本为元，一件产品的利润率不得高于， ∴， 设该公司获得的利润为w万元， 则 ， ∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为万元． ∴公司销售单价定为元时可获利最大，最大利润为每月万元． 24．（本题10分）如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到． (1)尺规作图：作出旋转后的图形，其中点的对应点为点，点的对应点为点，（不写作法，标明字母，保留作图痕迹） (2)延长交于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图②，若，写出线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)图形见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质． （1）分别以为圆心长为半径和以为圆心长为半径画弧，交点即为； （2）由旋转可得，，，则，得到四边形为矩形，结合，得到四边形为正方形； （3）取中点，连接，由得到，，再证明，得到，结合四边形为正方形，得到，最后根据，得到． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到如图所示： （2）解：四边形为正方形，理由如下： 由旋转可得，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （3）解：，证明如下： 取中点，连接， ∵，中点， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴ ∵， ∴， ∴． 25．（本题12分）已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 【答案】(1)（或） (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一次函数相交问题，二次函数与几何问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由顶点式、顶点坐标及图象经过点即可求解； （2）先求出点、，再求出直线与轴的交点坐标，即可求解； （3）设，过作轴于点，则，分点在轴上方和下方两种情况进行讨论． 【详解】（1）根据题意可得， ， 将代入得， ， 解得，， （或）； （2）令， 整理得，， 解得，， 把分别代入得， ，， ； 如图1，设直线与轴相交于点，则， ． ， ； （3）如图2， 设，过作轴于点，则． 第一种情况，当点在轴上方时， ， 解得，或，即图2中的前两图， 此时，点坐标为或． 第二种情况，当点在轴下方时， ， 解得，，即图2中的最后一图， 此时，点坐标为． 故满足题意的点坐标可以为或或． 试卷第20页，共20页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级数学上册期中高频易考题综合测试 【 范围：第21-23章】 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 5．（本题3分）若关于的二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 8．（本题3分）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A． B． C．3 D．4 9．（本题3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，则的取值范围为 ． 12．（本题3分）关于x的一元二次方程的两个实数根为，则 ． 13．（本题3分）抛物线的顶点坐标是 ． 14．（本题3分）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 15．（本题3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中点恰好落在边上，若，则的度数是 ． 16．（本题3分）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 17．（本题3分）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 18．（本题3分）如图，在正方形中，E是上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转，使得点B的对应点F落在边上，则 °． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) (2) 20．（本题9分）已知关于x的方程． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 21．（本题9分）如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 22．（本题9分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 23．（本题9分）深圳市龙岗区某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如表： 销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 … (1)求y与x之间的函数关系； (2)当该公司获得利润560万元时，公司销售单价应定为多少？ (3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润． 24．（本题10分）如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到． (1)尺规作图：作出旋转后的图形，其中点的对应点为点，点的对应点为点，（不写作法，标明字母，保留作图痕迹） (2)延长交于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图②，若，写出线段与的数量关系并加以证明． 25．（本题12分）已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $期中高频易考题综合测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) 19.(本题8分)解方程： (1)x2+2x-8=0 (2)xx-1=2-2x 20.(本题9分) 21.(本题9分) y=x2+bx+c y2x+2 22.(本题9分) y A B 23.(本题9分) ⑦园 ①园 H (0L平)忆 (:乙I￥)`S乙 ■