22.1 一元二次方程 课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“一元二次方程”核心内容，系统涵盖定义、一般形式、解的概念及实际应用等知识点。通过典例剖析衔接整式方程、一元一次方程等前置知识，以“考点清单解读—重难题型突破—易错易混分析—方法技巧点拨”为脉络，搭建从概念辨析到实际建模的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言培养，如“归纳总结”模块通过判断一元二次方程的步骤培养抽象能力，“解题通法”中列表法分析利润问题发展模型意识，典例剖析结合一一排除法强化推理意识。对学生而言，可夯实基础并提升问题解决能力，对教师则提供系统教学资源，助力高效开展教学。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 22.1 一元二次方程 目 录 ■考点一 一元二次方程的定义 22.1 一元二次方程 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程，叫做一元二次方程 详解 说明 对于 ax2+bx+c=0，只有当a≠0时，它才是一元二次方程 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 归纳总结 判断一个式子是不是一元二次方程的步骤: 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 典例1 下列各式中是关于x 的一元二次方程的是_______. ①+x2=1;②x2+ +1=0;③2x2+x+1=0;④3x2-x-1; ⑤x2+y=1;⑥ax2+bx+c=0;⑦2(x-5)2=2x(x-3); 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解题思路］采用一一排除法. 分析 判断 ① 含有 不是整式方程 不是 ② 含有 ③ 符合三个条件 是 ④ 不是等式,不是方程 不是 ⑤ 含有2个未知数,不符合“一元” 不是 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［答案］ ③ ⑥ ax2+bx+c=0中,a=0 时，不符合“二次” 不是 ⑦ 化简后得到7x=25,不符合“二次” 不是 续表 考点清单解读 返回目录 ■考点二 一元二次方程的一般形式 22.1 一元二次方程 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 归纳总结 (1)若方程ax2+bx+c=0是一元二次方程,则隐含a≠0这个条件; (2)确定一元二次方程的“项”或“系数”时，必须先化为一般形式,写出的项或系数都包含它前面的符号,没有的项的系数是0. 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. ①2x2=6x-7;②-3+2x2=0; ③(x+2)(x-3)=3;④(x-2)2+x2=22. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解题思路］ 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［答案］解： 考点清单解读 返回目录 ■考点三 一元二次方程的解(根) 概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根 判断 方法 22.1 一元二次方程 考点清单解读 返回目录 续表 22.1 一元二次方程 拓展 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 归纳总结 检验一个数是不是一元二次方程的解(根),可将该数代入方程检验,若该数能使方程左右两边相等,则是方程的解(根),否则不是. 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 典例3 下面 _____ 是方程 x2-x-6=0 的根.（-2，0，2，3） 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解题思路］ 数 代入方程检验 判断 x=-2 左边=0,右边=0，左边=右边 是 x=0 左边=-6,右边=0,左边≠右边 不是 x=2 左边=-4,右边=0,左边≠右边 不是 x=3 左边=0,右边=0，左边=右边 是 ［答案］-2,3 考点清单解读 返回目录 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 审 审清题意(确定已知量、未知量) 找 找到等量关系 设 设未知数（可直接设,也可间接设） 表 用含有未知数的量表示相关的量 列 根据等量关系,列一元二次方程 22.1 一元二次方程 根据实际情境列一元二次方程的步骤: 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 归纳总结 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的等量关系，设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程. 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 典例4 某学校准备修建一个面积为200 m2 的矩形花圃,它的长比宽多101m.设花圃的宽为 x m，则可列方程为___________，化为一般形式为_______________. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解题思路］ ［答案］x(x+10)=200 x2+10x-200=0 考点清单解读 返回目录 ■题型一 根据一元二次方程的定义求未知字母的值 例 1 若方程(m+2)x｜m｜-2mx+m2-3=0是关于x的一元二次方程,求m的值并写出这个一元二次方程的一般形式. 22.1 一元二次方程 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解析］ ［答案］ 解:根据题意,得|m|=2且m+2≠0,解得m=2,故这个一元二次方程为4x2-4x+1=0. 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 变式衍生1 若方程kx2+3x=x2+5是关于x的一元二次方程,则h的取值范围是( ) A. k≠0 B. k≠-1 C. kh≠1 D. k≠+1 C 重难题型突破 返回目录 ■题型二 已知方程的根，求代数式的值(整体代入思想) 例 2 (1)已知m 是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,则m2-2m+2024 =_________; (2)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则mn2+2mn+n2的值为_________. 22.1 一元二次方程 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解析］ (1)m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根， m2-2m-3=0,m2-2m=3,m2-2m+2 024=3+2 024=2 027; (2) x=1 是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根， 1+m+n=0,m+n=-1,m2+2mn+n2=(m+n)2=(-1)2=1. ［答案］ (1)2 027 (2)1 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 变式衍生2 若 x=3 是关于x的方程 ax2-bx=6的解,则代数式2025-6a+2b的值为________. 2021 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 解题通法 整体代入法求值:把所求代数式或其中一部分看作一个整体(这部分是已知条件或可利用已知条件求出),从而整体代入求解. 重难题型突破 返回目录 ■题型三 根据实际问题列一元二次方程 例 3 (1)某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条.小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为__________; (2)一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了66次手，设这次到会的有x人，则可列方程为________. 22.1 一元二次方程 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解析］ 分析等量关系如下: ［答案］ (1)x(x-1)=72 (2)(x-1)=66 重难题型突破 返回目录 22.1 一元二次方程 解题通法 握手问题（球赛中的单循环问题、由点的个数判断线段和直线条数）：甲与乙握手和乙与甲握手是相同的，记为 1次握手，计算时要除以 2. 互发信息（互赠贺卡等）：甲发给乙的信息与乙发给甲的信息是不同的，记为 2 条信息，不能除以 2. 重难题型突破 返回目录 ■未将方程整理成一般形式或忽略二次项系数不为0 例 若关于x的一元二次方程ax2+3x+|a|=2x2+2的常数项.为0,则a的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 22.1 一元二次方程 易错易混分析 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解析］ 易错易混分析 返回目录 22.1 一元二次方程 ［答案］ B ［易错］ C ［错因］ 忽略二次项系数不为0. 易错易混分析 返回目录 22.1 一元二次方程 易错警示 先化为一般形式,否则易出现符号错误和遗漏二次项系数不为0这个条件. 领悟提能 涉及确定一元二次方程的项及各项系数时，应先将原方程化为一般形式，需要注意各项或各项系数都包含它前面的符号. 易错易混分析 返回目录 ■方法:用列表法分析数量关系，建立一元二次方程模型 通过列表,将实际问题中的已知量、未知量和数量关系表示出来,进而建立一元二次方程模型解决问题. 22.1 一元二次方程 方法技巧点拨 返回目录 22.1 一元二次方程 例 某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.儿童节期间,超市降价酬宾，已知每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装的利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元(列方程,并化为一般形式)? 方法技巧点拨 返回目录 22.1 一元二次方程 ［解析］ 列表法分析数量关系. 方法技巧点拨 返回目录 22.1 一元二次方程 ［答案］ 解:设每件童装应降价x元，根据题意有(30+6)(40-x)=1 000,整理得3x2-90x-200=0. 方法技巧点拨 返回目录 $