第14讲 圆的周长与面积综合应用（含圆环、扇形）（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第14讲 圆的周长与面积综合应用（含圆环、扇形） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.圆的基本公式 周长公式： 或 （ 为半径， 为直径，， 通常取 3.14）。 面积公式：。 2.圆环的面积公式 定义：两个同心圆之间的部分（外圆半径 ，内圆半径 ）。 公式： （先算平方差，再乘 ）。 3.扇形的周长与面积公式 定义：由圆心角 和半径 组成的部分（ 为圆心角度数，）。 弧长公式：。 扇形周长： （弧长 + 两条半径）。 扇形面积： （圆面积的 ）。 4.组合图形的基础关系 半圆：周长 （弧长 + 直径），面积 。 四分之一圆：周长 ，面积 。 二、核心题型与技巧 题型1：圆的周长与面积基础计算（已知半径/直径求周长或面积） 技巧：直接套用公式，注意区分半径 和直径 （）。 公式：周长：；面积：。 题型2：圆环的面积计算（已知内外半径/直径） 技巧：先确定外圆半径 和内圆半径 ，再用公式 （避免分步计算外圆和内圆面积再相减，减少误差）。 公式：（若已知内外直径，需先换算为半径：，）。 题型3：扇形的周长与面积计算（已知半径和圆心角） 技巧：面积：直接用 ；周长：弧长 + 2r，即 。 关键：圆心角 的单位必须是“度”，若题目给出“分”或“秒”，需先换算为度。 题型4：组合图形的周长与面积（圆与直线图形的组合） 技巧：分解图形：将组合图形拆分为基础图形（如圆、半圆、长方形、三角形等）；“加加减减”：总面积 = 各部分面积之和（或差），总周长 = 各部分周长之和（注意重合部分不重复计算）。 示例：求“半圆 + 长方形”组合图形的面积：。 题型5：运动轨迹问题（圆的滚动与旋转） 技巧：沿直线滚动：圆心经过的路程 = 滚动距离，滚动圈数 = 滚动距离 ÷ 圆周长；绕定点旋转：轨迹为圆，半径 = 定点到圆心的距离，周长 = 轨迹半径。 公式：滚动圈数 = 。 题型6：生活实际应用（如车轮、花坛、钟表等） 技巧：车轮滚动一周的距离 = 车轮周长（）；圆形花坛周围小路的面积 = 圆环面积（小路宽 = ）；钟表指针扫过的面积 = 扇形面积（指针长度 = 半径，时间差 = 圆心角）。 三、常见错误提醒 1淆周长与面积公式：如求“半径2cm的圆面积”误算为 （正确：）。 2环计算漏平方：如“外圆半径5cm，内圆半径3cm”，误算为 （正确：）。 3形周长漏加半径：如“半径3cm，圆心角60°的扇形周长”，误算为 （正确：）。 4位不统一：如“直径1米的圆面积”，误将半径用1米计算（正确：半径0.5米，）。 例题讲解 题型1：圆的周长与面积基础计算（已知半径/直径求周长或面积） 例题1：为响应“绿色出行”的号召，李老师选择骑自行车上班。已知自行车外轮直径是80厘米，李老师从家到学校用了10分钟，如果车轮每分钟转100圈，李老师家距离学校多少米？ 跟踪练习1：日晷是一种古老的计时工具。科学课上要体验做日晷，它是由一张直径为20厘米的圆形卡纸制作而成，这张圆形卡纸的面积是多少平方厘米？ 题型2：圆环的面积计算（已知内外半径/直径） 例题2：一个圆形花坛的直径是40米，要在它的外围建设一块5米宽的环形草坪。环形草坪的面积是多少平方米？ 跟踪练习2：某小区在园区内修建了一个圆形水池，它的半径为10米，现在准备在水池周围种上草皮，草皮是宽为2米的圆环形，如果每平方米草皮40元，购买这些草皮需多少元？（π取3.14） 题型3：扇形的周长与面积计算（已知半径和圆心角） 例题3：有一根长5厘米的分针，当它经过45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是多少？ 跟踪练习3：如图，一个图形的中间是边长为1cm的正方形，四周是四个圆心角为90°的扇形，整个图形的面积是多少？ 题型4：组合图形的周长与面积（圆与直线图形的组合） 例题4：某广场的形状与大小如图，两边是两个圆形喷水池，场地中间是绿色草坪，广场的周长是多少？草坪的面积是多少？ 跟踪练习4：一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 题型5：运动轨迹问题（圆的滚动与旋转） 例题5：一个圆柱形油桶的底面直径是80厘米，高120厘米。小朋友们进行滚油桶比赛，赛道长5024厘米，要想完成比赛，油桶至少要转多少圈？ 跟踪练习5：“五育并举”学校趣味运动会开始啦！其中滚铁环是小朋友特别喜欢玩的项目。六年级一班的墩墩和融融正在比赛滚铁环，已知铁环半径15厘米，如果铁环滚出50米，至少需要滚多少圈？ 题型6：生活实际应用（如车轮、花坛、钟表等） 例题6：一辆儿童自行车车轮的外直径大约是60厘米，行驶时车轮平均每分钟转动100圈。一条儿童自行车赛道长400米，照这样的速度骑行两分钟，能行完全程吗？ 跟踪练习6：共享单车不仅解决了“最后一公里”问题，而且低碳环保。一种共享单车的车轮半径是40厘米，如果车轮每分钟转100周，要通过长2512米的大桥，需要几分钟？ 提升练习 1．一个圆形喷水池外围离池边0.5米有一圈栏杆，栏杆的总长是50.24米，这个喷水池的面积是多少平方米？ 2．学校草坪中间有一个圆形花坛，淘气和笑笑用卷尺量了一圈，长是18.84米，请问这个花坛的面积是多少平方米？ 3．为解决阳光村灌溉用水不足的问题，村委会决定修建一个圆柱形蓄水池。在比例尺为1∶200的设计图纸上，蓄水池的直径为3厘米，深度为20厘米。 （1）这个蓄水池的实际占地面积是多少平方米？ （2）修建这个蓄水池能挖出多少立方米的土？ 4．如图：王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 5．在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，圆柱的底面半径是12厘米，高是10厘米，帽沿的宽度是12厘米。这个帽子需要多少编制材料？（花边忽略不计） 6．张叔叔家的院子里有一个花坛，这个花坛由一个长方形和一个半圆形组成（如下图）。现计划在半圆形内种植蝴蝶兰，在长方形内种植波斯菊。 （1）种植蝴蝶兰和波斯菊的面积共有多少平方米？ （2）在这个花坛的外围装饰一圈彩灯条，需要准备多长的彩灯条？ 7．比萨又称意大利馅饼，是一种发源于意大利的食品。乐乐到食品店想买一个直径为12寸的比萨，可是直径为12寸的卖完了，于是服务员给乐乐换成两个直径为6寸的比萨。如果你是乐乐，你同意这种换法吗？请说明理由。 8．小亮量得一棵树干的周长是157厘米。这棵树干横截面的面积是多少平方厘米？ 9．张叔叔想在一块正方形土地里面围出一个最大的圆种花，这块土地的周长为80米，那种花的面积是多少平方米？ 10．一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 11．小明每天早上骑自行车到学校需20分钟，晚上放学原路返回。这辆自行车车轮外直径大约是0.6米，车轮平均每分钟转80圈，如果小明骑车速度不变，小明一天大约行多少千米？（得数保留整数） 12．有一个直径为1米的圆形大门，小军的身高为1.45米，不能直立通过，把这个大门的周长增加1.57米，请你通过计算判断小军能否直立通过？ 13．如图，用包装绳把4个底面直径都是8厘米的啤酒瓶捆扎在一起，打结处用了20厘米长的包装绳，一共需要包装绳多少厘米？ 14．有一块周长94.2米的圆形草坪，准备给它安装自动旋转喷灌装置。现有射程分别为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？装好后它最多可喷灌到多大面积的草坪？ 15．某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的面积是多少平方米？（本题π取3计算） 16．枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 17．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图）。一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳子长4米。那么这只羊无法吃到的草地的面积是多少？ 18．日本富士山是世界最著名的火山之一，底座直径约40千米。富士山的占地面积约是多少平方千米？ 19．北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，它是一道圆形围墙。圆的直径约为61.5米，周长与面积分别是多少？（结果保留一位小数） 20．双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，始于宋代。下面的双面绣作品中间部分是一个圆形，周长是62.8厘米。这个圆的面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第14讲 圆的周长与面积综合应用（含圆环、扇形） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.圆的基本公式 周长公式： 或 （ 为半径， 为直径，， 通常取 3.14）。 面积公式：。 2.圆环的面积公式 定义：两个同心圆之间的部分（外圆半径 ，内圆半径 ）。 公式： （先算平方差，再乘 ）。 3.扇形的周长与面积公式 定义：由圆心角 和半径 组成的部分（ 为圆心角度数，）。 弧长公式：。 扇形周长： （弧长 + 两条半径）。 扇形面积： （圆面积的 ）。 4.组合图形的基础关系 半圆：周长 （弧长 + 直径），面积 。 四分之一圆：周长 ，面积 。 二、核心题型与技巧 题型1：圆的周长与面积基础计算（已知半径/直径求周长或面积） 技巧：直接套用公式，注意区分半径 和直径 （）。 公式：周长：；面积：。 题型2：圆环的面积计算（已知内外半径/直径） 技巧：先确定外圆半径 和内圆半径 ，再用公式 （避免分步计算外圆和内圆面积再相减，减少误差）。 公式：（若已知内外直径，需先换算为半径：，）。 题型3：扇形的周长与面积计算（已知半径和圆心角） 技巧：面积：直接用 ；周长：弧长 + 2r，即 。 关键：圆心角 的单位必须是“度”，若题目给出“分”或“秒”，需先换算为度。 题型4：组合图形的周长与面积（圆与直线图形的组合） 技巧：分解图形：将组合图形拆分为基础图形（如圆、半圆、长方形、三角形等）；“加加减减”：总面积 = 各部分面积之和（或差），总周长 = 各部分周长之和（注意重合部分不重复计算）。 示例：求“半圆 + 长方形”组合图形的面积：。 题型5：运动轨迹问题（圆的滚动与旋转） 技巧：沿直线滚动：圆心经过的路程 = 滚动距离，滚动圈数 = 滚动距离 ÷ 圆周长；绕定点旋转：轨迹为圆，半径 = 定点到圆心的距离，周长 = 轨迹半径。 公式：滚动圈数 = 。 题型6：生活实际应用（如车轮、花坛、钟表等） 技巧：车轮滚动一周的距离 = 车轮周长（）；圆形花坛周围小路的面积 = 圆环面积（小路宽 = ）；钟表指针扫过的面积 = 扇形面积（指针长度 = 半径，时间差 = 圆心角）。 三、常见错误提醒 1淆周长与面积公式：如求“半径2cm的圆面积”误算为 （正确：）。 2环计算漏平方：如“外圆半径5cm，内圆半径3cm”，误算为 （正确：）。 3形周长漏加半径：如“半径3cm，圆心角60°的扇形周长”，误算为 （正确：）。 4位不统一：如“直径1米的圆面积”，误将半径用1米计算（正确：半径0.5米，）。 例题讲解 题型1：圆的周长与面积基础计算（已知半径/直径求周长或面积） 例题1：为响应“绿色出行”的号召，李老师选择骑自行车上班。已知自行车外轮直径是80厘米，李老师从家到学校用了10分钟，如果车轮每分钟转100圈，李老师家距离学校多少米？ 【答案】2512米 【分析】先求出自行车外轮的周长，圆的周长公式为C＝πd（π取3.14，d表示直径）。外轮直径为80厘米，代入公式得：3.14×80＝251.2（厘米）。车轮每分钟转100圈，每圈长度为外轮周长，因此每分钟行驶距离为：251.2×100＝25120（厘米），因为1米＝100厘米，所以25120厘米为25120÷100＝251.2（米），骑行时间为10分钟，根据“距离＝速度×时间”，用251.2乘10计算即可。 【详解】3.14×80＝251.2（厘米） 251.2×100＝25120（厘米） 1米＝100厘米 25120÷100＝251.2（米） 251.2×10＝2512（米） 答：李老师家距离学校2512米。 跟踪练习1：日晷是一种古老的计时工具。科学课上要体验做日晷，它是由一张直径为20厘米的圆形卡纸制作而成，这张圆形卡纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】314平方厘米 【分析】直径÷2＝半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 【详解】3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这张圆形卡纸的面积是314平方厘米。 题型2：圆环的面积计算（已知内外半径/直径） 例题2：一个圆形花坛的直径是40米，要在它的外围建设一块5米宽的环形草坪。环形草坪的面积是多少平方米？ 【答案】706.5平方米 【分析】用花坛的直径÷2，先求出圆形花坛的半径，也就是小圆的半径，再用花坛的半径＋5米，求出花坛与环形草坪组成圆的半径，也就是大圆的半径，根据圆环的面积公式：S＝π×（R2－r2），代入数据，即可解答。 【详解】40÷2＋5 ＝20＋5 ＝25（米） 40÷2＝20（米） 3.14×（252－202） ＝3.14×（625－400） ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：环形草坪的面积是706.5平方米。 跟踪练习2：某小区在园区内修建了一个圆形水池，它的半径为10米，现在准备在水池周围种上草皮，草皮是宽为2米的圆环形，如果每平方米草皮40元，购买这些草皮需多少元？（π取3.14） 【答案】5526.4元 【分析】根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，其中外圆的半径为（10＋2＝12）米，内圆的半径为10米，代入相应数值计算，先计算出圆环草皮的面积；再用每平方米草皮的单价乘草皮的面积，所得结果即为购买这些草皮需要多少元。 【详解】10＋2＝12（米） 3.14×122－3.14×102 ＝3.14×144－3.14×100 ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 40×138.16＝5526.4（元） 答：购买这些草皮需要5526.4元。 题型3：扇形的周长与面积计算（已知半径和圆心角） 例题3：有一根长5厘米的分针，当它经过45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是多少？ 【答案】58.875平方厘米；23.55厘米 【分析】1小时＝60分钟，用45÷60，求出45分钟是60分钟的几分之几；即45÷60＝；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出半径等于长5厘米的钟的面积，再乘，即可求出扫过的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出半径等于长5厘米的钟的周长，再乘，即可求出分针尖端经过的距离，据此解答。 【详解】45÷60＝ 3.14×52× ＝3.14×25× ＝78.5× ＝58.578（平方厘米） 3.14×5×2× ＝15.7×2× ＝31.4× ＝23.55（厘米） 答：它扫过的面积是58.578平方厘米，分针尖端经过的距离是23.55厘米。 跟踪练习3：如图，一个图形的中间是边长为1cm的正方形，四周是四个圆心角为90°的扇形，整个图形的面积是多少？ 【答案】4.14平方厘米 【分析】根据题干可得：中间边长为1厘米的正方形，四周连接的圆心角90°扇形的半径也为1厘米，这四个圆心角为90°的扇形可拼接为一个半径1厘米的圆，根据圆面积＝πr2，再加上正方形面积＝边长×边长，可得出答案。 【详解】图形面积为： （平方厘米） 答：整个图形的面积是4.14平方厘米。 【点睛】本题主要考查的是圆面积及正方形面积的应用，解题的关键是理解图形四周的圆心角90°扇形可以拼接成一个圆，进而计算得出答案。 题型4：组合图形的周长与面积（圆与直线图形的组合） 例题4：某广场的形状与大小如图，两边是两个圆形喷水池，场地中间是绿色草坪，广场的周长是多少？草坪的面积是多少？ 【答案】71.4米；121.5平方米 【分析】观察可知，广场的周长等于两个圆周长的一半（即一个圆的周长）加上长方形的两条长，根据圆的周长公式，代入数据计算即可得广场的周长；草坪的面积等于长方形的面积减两个半圆的面积（即一个圆的面积），根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】3.14×10＋20×2 ＝31.4＋40 ＝71.4（米） （平方米） 答：广场的周长是71.4米；草坪的面积是121.5平方米。 跟踪练习4：一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】周长400.96米；面积9615.36平方米 【分析】观察图形可知，两个半圆可以组成一个圆。运动场的周长＝圆的周长＋2条100米的直道长度，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解； 运动场的面积＝圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【详解】周长： 2×3.14×32＋100×2 ＝200.96＋200 ＝400.96（米） 面积： 3.14×322＋100×（32×2） ＝3.14×1024＋100×64 ＝3215.36＋6400 ＝9615.36（平方米） 答：这个运动场的周长是400.96米，面积是9615.36平方米。 题型5：运动轨迹问题（圆的滚动与旋转） 例题5：一个圆柱形油桶的底面直径是80厘米，高120厘米。小朋友们进行滚油桶比赛，赛道长5024厘米，要想完成比赛，油桶至少要转多少圈？ 【答案】20圈 【分析】圆柱形油桶的底面是圆，圆的周长就是油桶滚动一圈的长度。 已知油桶底面直径d＝80厘米，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），把数据代入可得3.14×80＝251.2（厘米）。赛道长5024厘米，滚动圈数＝赛道长度÷底面周长，把数据代入计算即可。 【详解】3.14×80＝251.2（厘米） 5024÷251.2＝20（圈） 答：油桶至少要转20圈。 跟踪练习5：“五育并举”学校趣味运动会开始啦！其中滚铁环是小朋友特别喜欢玩的项目。六年级一班的墩墩和融融正在比赛滚铁环，已知铁环半径15厘米，如果铁环滚出50米，至少需要滚多少圈？ 【答案】54圈 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出铁环滚1圈的距离，根据1米＝100厘米，统一单位，滚出的距离÷滚1圈的距离＝滚的圈数，结果用进一法保留近似数，据此列式解答。 【详解】（厘米）   50米厘米   （圈） 答：至少需要滚54圈。 题型6：生活实际应用（如车轮、花坛、钟表等） 例题6：一辆儿童自行车车轮的外直径大约是60厘米，行驶时车轮平均每分钟转动100圈。一条儿童自行车赛道长400米，照这样的速度骑行两分钟，能行完全程吗？ 【答案】不能 【分析】首先求出车轮转动一圈的路程，即，进而求出每分钟自行车行驶的路程为平均每分钟转动圈数×车轮周长，最后再乘行驶时间得出路程与400米进行比较，即可知道是否能行驶完全程。 【详解】车轮周长： 188.4厘米＝1.884米 每分钟的行驶距离： 两分钟的行驶距离： 由于，因此两分钟内无法骑完全程。 答：不能行驶完全程。 跟踪练习6：共享单车不仅解决了“最后一公里”问题，而且低碳环保。一种共享单车的车轮半径是40厘米，如果车轮每分钟转100周，要通过长2512米的大桥，需要几分钟？ 【答案】10分钟 【分析】共享单车车轮每转一周，则行驶的路程就是这个车轮的周长，根据圆周长=，再乘100周可得出车轮每分钟行的路程，已知大桥长2512米，运用除法可计算得出答案。 【详解】共享单车每分钟走的路程：2×3.14×40×100＝25120（厘米）＝251.2（米） 2512÷251.2＝10（分钟） 答：通过大桥需要10分钟。 提升练习 1．一个圆形喷水池外围离池边0.5米有一圈栏杆，栏杆的总长是50.24米，这个喷水池的面积是多少平方米？ 【答案】 176.625平方米 【分析】已知栏杆总长（外圆周长）是50.24米，根据圆的周长公式C＝2πr计算出外圆的半径r＝C÷π÷2；因为栏杆离喷水池边0.5米，所以喷水池的半径等于外圆半径减去0.5米，即8－0.5＝7.5米；最后根据圆的面积公式计算出喷水池的面积。 【详解】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 8－0.5＝7.5（米） 3.14×7.52 ＝3.14×56.25 ＝176.625（平方米） 答：这个喷水池的面积是176.625平方米。 2．学校草坪中间有一个圆形花坛，淘气和笑笑用卷尺量了一圈，长是18.84米，请问这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】 28.26平方米 【分析】已知圆的周长是18.84米，根据圆的周长公式“C＝2πr”推导出“r＝C÷π÷2”，由此求出圆的半径；然后根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆形花坛的面积。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个花坛的面积是28.26平方米。 3．为解决阳光村灌溉用水不足的问题，村委会决定修建一个圆柱形蓄水池。在比例尺为1∶200的设计图纸上，蓄水池的直径为3厘米，深度为20厘米。 （1）这个蓄水池的实际占地面积是多少平方米？ （2）修建这个蓄水池能挖出多少立方米的土？ 【答案】（1）28.26平方米 （2）1130.4立方米 【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺；据此求出蓄水池的直径的实际距离和实际深度。求蓄水池的实际占地面积，就是求出蓄水池的底面积，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 （2）求能挖出土的体积，就是求圆柱形蓄水池的容积，根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3÷ ＝3×200 ＝600（厘米） 20÷ ＝20×200 ＝4000（厘米） 600厘米＝6米；4000厘米＝40米 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个蓄水池的实际占地面积是28.26平方米。 （2）28.26×40＝1130.4（立方米） 答：修建这个蓄水池能挖出1130.4立方米的土。 4．如图：王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】100.48平方米 【分析】王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，所以圆周长的一半是25.12米，根据圆的周长的一半＝r，用25.12除以，求出半圆的半径，再根据半圆的面积＝÷2进行解答即可。 【详解】25.12÷3.14＝8（米） 3.14×÷2 ＝3.14×64÷2 ＝200.96÷2 ＝100.48（平方米） 答：这块菜地的面积是100.48平方米。 5．在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，圆柱的底面半径是12厘米，高是10厘米，帽沿的宽度是12厘米。这个帽子需要多少编制材料？（花边忽略不计） 【答案】2562.24平方厘米 【分析】布料的面积＝半径是12厘米的圆的面积＋底面的半径是12厘米，高是10厘米的圆柱的侧面积＋内半径12厘米，外半径（12＋12）厘米的圆环面积，利用圆的面积公式S＝πr2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆环的面积公式S＝（R2－r2）π，由此列式计算即可。 【详解】3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 3.14×2×12×10 ＝6.28×12×10 ＝75.36×10 ＝753.6（平方厘米） 12＋12＝24（厘米） （242－122）×3.14 ＝（576－144）×3.14 ＝432×3.14 ＝1356.48 452.16＋753.6＋1356.48 ＝1205.76＋1356.48 ＝2562.24（平方厘米） 答：这个帽子需要2562.24平方厘米编制材料。 6．张叔叔家的院子里有一个花坛，这个花坛由一个长方形和一个半圆形组成（如下图）。现计划在半圆形内种植蝴蝶兰，在长方形内种植波斯菊。 （1）种植蝴蝶兰和波斯菊的面积共有多少平方米？ （2）在这个花坛的外围装饰一圈彩灯条，需要准备多长的彩灯条？ 【答案】（1）199.25平方米 （2）57.7米 【分析】（1）根据题意，在半圆形内种植蝴蝶兰，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再除以2，即是种植蝴蝶兰的面积；在长方形内种植波斯菊，根据长方形的面积公式S＝ab，求出波斯菊的面积；然后相加，求出种植蝴蝶兰和波斯菊的面积之和。 （2）这个花坛的外围装饰一圈彩灯条，求需要准备多长的彩灯条，就是求花坛的周长；花坛的周长＝圆周长的一半＋2条16米的彩灯条＋1条10米的彩灯条，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（1）3.14×（10÷2）2÷2＋16×10 ＝3.14×52÷2＋16×10 ＝3.14×25÷2＋16×10 ＝39.25＋160 ＝199.25（平方米） 答：种植蝴蝶兰和波斯菊的面积共有199.25平方米。 （2）3.14×10÷2＋2×16＋10 ＝15.7＋32＋10 ＝57.7（米） 答：需要准备57.7米长的彩灯条。 7．比萨又称意大利馅饼，是一种发源于意大利的食品。乐乐到食品店想买一个直径为12寸的比萨，可是直径为12寸的卖完了，于是服务员给乐乐换成两个直径为6寸的比萨。如果你是乐乐，你同意这种换法吗？请说明理由。 【答案】不同意；理由见详解 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出一个直径为12寸的比萨的面积和两个直径为6寸的比萨的面积，再进行比较，如果两个直径为6寸的比萨的面积之和小于一个直径为12寸的比萨的面积，就不同意换；反之，同意换。 【详解】3.14×（12÷2）2         ＝3.14×62     ＝3.14×36 ＝113.04（平方寸） 3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方寸） 113.04＞56.52         答：如果我是乐乐，我不同意这种换法。因为两个直径为6寸的比萨的面积之和比原来一个直径为12寸的比萨的面积小得多，不划算。 8．小亮量得一棵树干的周长是157厘米。这棵树干横截面的面积是多少平方厘米？ 【答案】1962.5平方厘米 【分析】把树干的横截面看作一个圆，根据圆的周长公式的逆运算，用圆的周长除以3.14除以2，可得圆的半径，要求树干横截面的面积就是求圆的面积，根据圆的面积公式，代入数据计算即可得解。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 答：这棵树干横截面的面积是1962.5平方厘米。 9．张叔叔想在一块正方形土地里面围出一个最大的圆种花，这块土地的周长为80米，那种花的面积是多少平方米？ 【答案】314平方米 【分析】正方形里围最大的圆，圆的直径＝正方形边长，根据正方形边长＝周长÷4，先确定圆的直径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，即可求出种花的面积。 【详解】80÷4＝20（米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：种花的面积是314平方米。 10．一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 【答案】2562.24平方米 【分析】已知游乐场是圆形的，它的周长是628米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出原来游乐场的半径； 已知扩建后的半径增加了4米，用原来游乐场的半径加上4，求出扩建后游乐场的半径； 增加的形状是个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出游乐场增加的面积。 【详解】原来游乐场的半径：628÷3.14÷2＝100（米） 现在游乐场的半径：100＋4＝104（米） 增加的面积： 3.14×（1042－1002） ＝3.14×（10816－10000） ＝3.14×816 ＝2562.24（平方米） 答：这个游乐场的面积增加了2562.24平方米。 11．小明每天早上骑自行车到学校需20分钟，晚上放学原路返回。这辆自行车车轮外直径大约是0.6米，车轮平均每分钟转80圈，如果小明骑车速度不变，小明一天大约行多少千米？（得数保留整数） 【答案】6千米 【分析】根据圆周长＝πd，求出车轮的周长，再乘80圈，求出每分钟前进多少米。将速度乘20分钟，求出骑自行车到学校行多少米，再乘2，求出往返一共多少米。最后将单位换算为千米。并根据四舍五入法保留整数。 【详解】3.14×0.6×80×20×2 ＝1.884×80×20×2 ＝150.72×20×2 ＝6028.8（米） 6028.8米＝6.0288千米≈6千米 答：小明一天大约行6千米。 12．有一个直径为1米的圆形大门，小军的身高为1.45米，不能直立通过，把这个大门的周长增加1.57米，请你通过计算判断小军能否直立通过？ 【答案】能 【分析】根据圆的周长公式，先计算出原来门的周长，再结合周长增加1.57米，计算出现在的周长，从而进一步得到现在的直径，如果现在的直径大于1.45米，就能直立通过，如果直径小于1.45米，则不能。 【详解】3.14×1＝3.14（米） 3.14＋1.57＝4.71（米） 4.71÷3.14＝1.5（米） 1.5米＞1.45米 所以能直立通过。 答：小军能直立通过。 13．如图，用包装绳把4个底面直径都是8厘米的啤酒瓶捆扎在一起，打结处用了20厘米长的包装绳，一共需要包装绳多少厘米？ 【答案】77.12厘米 【分析】 如图所示，包装绳捆扎一周的长度由两部分组成，一部分是4条相等的线段，每条线段的长度等于圆的直径；另一部分是4条相同的曲线，它们合在一起的长度刚好等于圆的周长；最后加上打结处包装绳的长度，据此解答。 【详解】8×4＋3.14×8＋20 ＝32＋25.12＋20 ＝57.12＋20 ＝77.12（厘米） 答：一共需要包装绳77.12厘米。 14．有一块周长94.2米的圆形草坪，准备给它安装自动旋转喷灌装置。现有射程分别为20米、15米、10米的三种装置，你认为选哪种比较合适？装好后它最多可喷灌到多大面积的草坪？ 【答案】15米；706.5平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆形草坪的半径，选择射程与圆形草坪的半径接近装置比较合数； 再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出草坪面积即可解答。 【详解】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（米） 选择射程为15米的装置比较合适。 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：选择射程为15米的装置比较合适，装好后它最多可喷灌到706.5平方米。 15．某小区内有一个圆形健身广场，新新和亮亮从起点开始同时反向而行，沿着广场散步，新新每分钟走90米，亮亮每分钟走110米，3分钟后他们俩相遇。这个圆形广场的面积是多少平方米？（本题π取3计算） 【答案】30000平方米 【分析】根据总路程＝速度和×相遇时间，求出广场的周长，再根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（90＋110）×3 ＝200×3 ＝600（米） 600÷3÷2＝100（米） 3×1002 ＝3×10000 ＝30000（平方米） 答：这个圆形广场的面积是30000平方米。 16．枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 【答案】86平方米 【分析】由题意可知，种月季花地的面积等于边长为20米的正方形的面积减去直径为20米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】20÷2＝10（米） 20×20－3.14× ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方米） 答：种月季花地的面积等于86平方米。 17．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图）。一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳子长4米。那么这只羊无法吃到的草地的面积是多少？ 【答案】27.44平方米 【分析】在一个角处拴一只羊，那么羊能吃到的范围是以绳子的长度为半径的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积：长×宽，把数代入求出两部分的面积，再用长方形的面积减去圆的面积即可求出无法吃到草的草地面积。 【详解】 （平方米） 答：这只羊无法吃到的草地的面积是27.44平方米。 18．日本富士山是世界最著名的火山之一，底座直径约40千米。富士山的占地面积约是多少平方千米？ 【答案】1256平方米 【分析】求富士山的占地面积，就是求直径是40千米圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 答：富士山的占地面积约是1256平方米。 19．北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，它是一道圆形围墙。圆的直径约为61.5米，周长与面积分别是多少？（结果保留一位小数） 【答案】193.1米；2969.1平方米 【分析】根据圆的周长公式：，圆的面积公式：，列式解答，根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】3.14×61.5≈193.1（米） 3.14×（61.5÷2）2 ＝3.14×30.752 ＝3.14×945.5625 ≈2969.1（平方米） 答：周长与面积分别是193.1米、2969.1平方米。 20．双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，始于宋代。下面的双面绣作品中间部分是一个圆形，周长是62.8厘米。这个圆的面积是多少？ 【答案】314平方厘米 【分析】 根据圆的周长公式：C＝2πr，用62.8÷3.14÷2即可求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出这个圆的面积。 【详解】半径：62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这个圆的面积是314平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $