第13讲 比的应用（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第13讲 比的应用 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.比的意义 两个数相除又叫做两个数的比，记作 （），其中 是前项， 是后项。比的结果叫做比值（可用整数、分数或小数表示）。 2.比与分数、除法的关系 （），前项相当于被除数/分子，后项相当于除数/分母，比值相当于商/分数值。 3.比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。例如：。 4.化简比与求比值 化简比：把比化为前项和后项互质的最简整数比（结果是比的形式，如 ）。 求比值：用前项除以后项，结果是一个数（整数、分数或小数，如 或 ）。 5.按比分配公式 已知总量 和各部分量的比 ，总份数 ，则： 各部分量 = ，，。 已知部分量 对应份数 ，则每份数 ，总量 （ 为总份数）。 6.连比的处理 若已知 和 ，先统一中间量 的份数（取 和 的最小公倍数），再合并为 。 二、核心题型与技巧 题型1：按比分配基础问题（已知总量和比求部分量） 技巧：先求总份数 ，再用公式“部分量 = 总量×”或“部分量 = 每份数×对应份数”（每份数 = 总量÷）。 公式：部分量 = （ 为总量， 为对应份数）。 题型2：已知部分量和比求总量 技巧：先确定已知部分量对应的份数 ，求每份数 ，再求总量 （ 为总份数）；或 。 题型3：连比问题（三个量的按比分配） 技巧：若已知 和 ，先统一中间量 的份数（取 在两个比中份数的最小公倍数），写出连比 ，再按比分配总量。 题型4：比中的不变量问题——总量不变 技巧：总量不变时，变化前后总份数相等，统一总量的份数，根据部分量的份数差和实际差求每份数。 题型5：比中的不变量问题——部分量不变 技巧：某部分量不变时，该部分量在变化前后的份数相同，统一不变部分的份数，再根据其他部分量的份数变化求每份数。 题型6：比中的不变量问题——差不变 技巧：两个量的差不变时，变化前后份数差相等，统一差的份数，根据份数差和实际差求每份数。 题型7：比与分数结合（已知部分量的和/差求总量） 技巧：根据比写出各部分量占总量的分数，利用“部分量的和（差）÷对应分率的和（差）= 总量”求解。 三、常见错误提醒 1.混淆化简比和求比值：如“化简 ”误写为“2”（正确应为 ）；“求 的比值”误写为“3:2”（正确应为 或 ）。 2.按比分配时总量找错：如“甲、乙钱数比 ，甲比乙多10元，求总钱数”，误将10元当总量（正确：总钱数 = 元）。 3.连比转换时份数不统一：如已知 ，，误写为 （正确：统一 为6，，，连比 ）。 4.不变量问题未统一份数：如“男女生比 ，转来2名女生后比 ”，未统一男生份数（男生不变，原5份、后5份，女生多1份=2人，每份2人）。 例题讲解 一、按比分配基础问题 例题1：一批零件共300个，按 分配给甲、乙两人加工，甲、乙各加工多少个？ 答案：甲180个，乙120个 解析：总份数 ，甲加工 个，乙加工 个。 跟踪练习1：一块长方形土地，长与宽的比是 ，周长是64米，求面积。 答案：240平方米 解析：长+宽 = 米，总份数 ，长 = 米，宽 = 米，面积 = 平方米。 二、已知部分量求总量 例题2：甲、乙、丙三人按 的比分配奖金，甲分得400元，求奖金总额。 答案：1800元 解析：甲对应2份，每份数 = 元，总份数 ，总额 = 元。 跟踪练习2：一个三角形三个内角度数比 ，其中最大角是多少度？这是什么三角形？ 答案：90°，直角三角形 解析：总份数 ，每份数 = ，最大角 = ，为直角三角形。 三、连比问题 例题3：已知 ，，求 ；若 ，求 。 答案：连比 ， 解析：统一 的份数：3和4的最小公倍数是12，，，连比 ；总份数 ，。 跟踪练习3：，，，求 。 答案：40 解析：统一 的份数：4和6的最小公倍数12，，，连比 ，总份数 ，（每份数 ，）。 四、总量不变问题 例题4：一个班男女生人数比 ，后来转来2名女生，男女生比变为 ，求原有人数。 答案：16人 解析：男生人数不变，原男:女=5:3，后男:女=5:4，男生份数都是5，女生多1份=2人，每份2人，原总份数 ，原人数= 人。 跟踪练习4：甲、乙两筐苹果比 ，从乙筐拿6个到甲筐，比变为 ，求两筐总苹果数。 答案：54个 解析：总量不变，原总份数 ，后总份数 ，甲原4份、后5份，多1份=6个，总量= 个。 五、比与分数结合（已知差求总量） 例题5：甲、乙钱数比 ，甲比乙多24元，求两人总钱数。 答案：96元 解析：总份数 ，甲占 ，乙占 ，差占 ，总量= 元。 跟踪练习5：一个长方体长、宽、高比 ，棱长总和96厘米，求体积。 答案：384立方厘米 解析：棱长总和=4×(长+宽+高)=96，长+宽+高=24厘米，总份数 ，长= 厘米，宽=8厘米，高=4厘米，体积= 立方厘米。 提升练习 1．常温下，浓度大于26.5%的盐水会出现盐结晶的现象。科学课上老师在准备“盐的结晶”实验时，配制了140克的盐水，其中盐和水的质量比是2∶5，老师将盐水加热、沸腾（蒸发），当剩下的盐水重90克时，冷却至常温，这时盐水中会出现盐的结晶现象吗？请用数据说明。 【答案】盐水会结晶。数据说明见详解 【分析】根据比的意义，盐水质量÷总份数，求出一份数，一份数×盐的对应份数＝盐的质量，老师将盐水加热、沸腾（蒸发），蒸发掉的是水的质量，盐的质量不变，用盐的质量÷剩下盐水的重量×100%＝含盐率，与26.5%比较即可。 【详解】 （克） 44.4%＞26.5% 答：这时盐水中会出现盐的结晶现象。 2．有一批零件，原计划按9∶5分配给师徒两人加工，师傅实际加工了450个，超过分配任务的25%，徒弟因有事只完成分配任务的80%。徒弟实际加工了多少个零件？ 【答案】160个 【分析】已知师傅实际加工了450个，超过分配任务的25%，把师傅的分配任务看作单位“1”，则师傅实际加工个数是分配任务的（1＋25%），单位“1”未知，用师傅实际加工个数除以（1＋25%），求出师傅的分配任务； 已知这批零件原计划按9∶5分配给师徒两人加工，把师傅的分配任务看作9份，徒弟的分配任务看作5份；用师傅的分配任务除以9，求出一份数，再用一份数乘5，就是徒弟的分配任务； 已知徒弟因有事只完成分配任务的80%，把徒弟的分配任务看作单位“1”，单位“1”已知，用徒弟的分配任务乘80%，求出徒弟实际加工零件的个数。 【详解】450÷（1＋25%） ＝450÷1.25 ＝360（个） 360÷9×5 ＝40×5 ＝200（个） 200×80% ＝200×0.8 ＝160（个） 答：徒弟实际加工了160个零件。 3．某工厂共有3个车间，第一车间人数占全厂职工总数的30%，第二、三车间人数的比是5∶2。已知第二车间比第一车间多20人，这个工厂共有职工多少人？ 【答案】100人 【分析】设这个工厂共有职工x人，第一车间占全厂职工总数的30%，第一车间有职工30%x人；还剩下（x－30%x）人，即第二车间和第三车间人数；第二、三车间人数的比是5∶2，即第二车间人数占第二、三车间人数的，第二车间人数是（x－30%）×人，已知第二车间比第一车间多20人，列方程：（x－30%x）×－30%x＝20，解方程，即可解答。 【详解】解：设这个工厂共有职工x人。 （x－30%x）×－30%x＝20 70%x×－30%x＝20 50%x－30%x＝20 20%x＝20 x＝20÷20% x＝100 答：这个工厂共有职工100人。 4．甲、乙两地间的铁路长300千米，一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知货车的速度是客车的，相遇时，客车行驶了多少千米？ 【答案】180千米 【分析】已知货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比为2∶3；当两车相遇时，两车所用的时间相同，则两车的路程比等于速度比，即相遇时货车与客车行驶的路程之比为2∶3；那么客车行驶的路程占全程的，根据求一个数的几分之几是多少，用全程乘，即是相遇时客车行驶的路程。 【详解】相遇时，货车与客车行驶的路程之比为2∶3。 300× ＝300× ＝180（千米） 答：客车行驶了180千米。 5．为满足师生的阅读需求，学校新购进一批科普类图书，按3∶5∶7的比例分发给四、五、六年级的学生。若五年级要分到150本图书，则学校需购进多少本图书？ 【答案】450本 【分析】已知一批科普类图书按3∶5∶7的比例分发给四、五、六年级的学生，即四、五、六年级分到的图书本数分别是3份、5份、7份，一共是（3＋5＋7）份；用五年级分到的150本除以5，求出一份数，再用一份数乘总份数，即是这批图书的总本数。 【详解】一份数： 150÷5＝30（本） 总本数： 30×（3＋5＋7） ＝30×15 ＝450（本） 答：学校需购进450本。 6．港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，全长55千米。主体桥梁与全长的比约是2∶5，主体桥梁长约多少千米？ 【答案】22千米 【分析】已知主体桥梁与全长的比约是2∶5，则主体桥梁长度是全长的；已知全长55千米，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。据此解答。 【详解】55×＝22（千米） 答：主体桥梁长约22千米。 7．塘栖枇杷丰收，开通网络直播，帮助农户线上销售枇杷，每千克售价25元。如果买整箱（净含量2.5千克），售价为52元/箱，每箱再享受政府补贴优惠4元，买两箱及以上可在原所有优惠的基础上再打九五折。 （1）妈妈买了5千克枇杷，至少需付款多少元？ （2）某农户第一次销售出枇杷总量的12%，第一次销售的和第二次销售的量之比是2∶5，这时还有232千克没有卖出去，该农户今年共产枇杷多少千克？ 【答案】（1）91.2元 （2）400千克 【分析】（1）每箱净含量2.5千克，买5千克枇杷，即5÷2.5＝2箱，满足“买两箱及以上”的折扣条件；每箱原价52元，享受政府补贴优惠4元，所以单箱优惠后价格为52－4＝48元，则两箱优惠后的总价为48×2＝96元；再在此基础上打九五折，即按原价的95%销售，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。据此解答。 （2）已知第一次销售和第二次销售的量之比是2∶5，第一次销售占总量的12%，把第一次销量看作2份，第二次销量就是5份，所以第二次销量占总量的百分比为12%÷2×5＝30%；把枇杷总量看作单位“1”，剩余量占比为1－12%－30%＝58%；还有232千克没有卖出去，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此解答。 【详解】（1）5÷2.5＝2（箱） （52－4）×2×95% ＝48×2×95% ＝96×95% ＝96×0.95 ＝91.2（元） 答：至少需付款91.2元。 （2）12%÷2×5 ＝6%×5 ＝30% 232÷（1－12%－30%） ＝232÷（88%－30%） ＝232÷58% ＝232÷0.58 ＝400（千克） 答：该农户今年共产枇杷400千克。 8．甲、乙两人同时从地匀速走往地，当甲走了全程的时，乙走了240米。当甲走到B地时，乙还剩全程的。A、B两地相距多少千米？ 【答案】 1.44千米 【分析】当甲走到B地时，乙还剩全程的，说明此时乙走了全程的1－＝；因为甲、乙两人是同时从A地匀速走向B地，所以在相同时间内，甲、乙的路程比是固定的，即甲走完全程（路程为1）时，乙走了，所以甲、乙的路程比为1∶＝3∶2，即相同时间内，甲走路程是乙走路程的； 当甲走了全程的时，乙走了240米，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，此时甲走了240×＝360米，对应全程的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此计算出A、B两地间的距离，最后将米换算为千米（1千米＝1000米）。 【详解】1∶（1－） ＝1∶ ＝（1×3）∶（×3） ＝3∶2 3∶2＝3÷2＝ 240×＝360（米） 360÷ ＝360×4 ＝1440（米） 1440米＝1.44千米 答：A、B两地相距1.44千米。 9．某校六（1）班和六（2）班共有91人，六（1）班和六（2）班人数的比是4∶3，六（1）班和六（2）班各有多少人？ 【答案】六（1）班有52人；六（2）班有39人 【分析】已知两个班的总人数以及人数比，可先求出总份数，再用总人数分别×每个班人数占总份数的分率，从而得到每个班的人数，据此解答。 【详解】总份数：4＋3＝7 六（1）班人数：91×＝52（人） 六（2）班人数：91×＝39（人） 答：六（1）班有52人，六（2）班有39人。 10．甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8∶7∶5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 【答案】甲村1080元，乙村270元 【分析】由甲、乙、丙村可灌溉的面积比为8∶7∶5可得，甲村应派出的人数占总人数的，乙村派出的人数占总人数的，因此，将甲乙两村实际派出的人数相加计算出总人数，再用总人数分别乘和求出甲、乙两村应派出的人数；用实际派出的人数减去鹰牌出的人数，分别求出两村分别多派出的人数，进而求出多派出的人数比，最后用丙村付的工钱分别乘多派出人数占两村总多派出人数的分率即可求出两村各应分得的工钱。 【详解】60＋40＝100（人） 100×＝40（人） 100×＝35（人） 60－40＝20（人） 40－35＝5（人） 20∶5＝4∶1 1350×＝1080（元） 1350×＝270（元） 答：甲村应分得1080元，乙村应分得270元。 【点睛】此题关键理解总人数不变，用原来的比求出甲、乙两村原来的人数，得到丙原来应派出的人数之后再按比分配。 11．甲、乙、丙三人加工方形和圆形的两种零件，已知甲每加工3个零件中有2个是圆形的；乙每加工4个零件中有3个是圆形的；丙每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三人共加工了116个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，那么这天三人共加工零件多少个？ 【答案】156个 【分析】根据题意，甲、乙、丙三人加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，把比看作份数； 因为甲每加工3个零件中有2个是圆形的，即有1个是方形的，所以甲加工圆形零件的个数是方形的2倍；那么甲加工方形零件的个数是4份，则甲加工圆形零件的个数就是4×2＝8份； 因为乙每加工4个零件中有3个是圆形的，即有1个是方形的，所以乙加工圆形零件的个数是方形的3倍；那么乙加工方形零件的个数是3份，则乙加工圆形零件的个数就是3×3＝9份； 因为丙每加工5个零件中有4个是圆形的，即有1个是方形的，所以丙加工圆形零件的个数是方形的4倍；那么丙加工方形零件的个数是3份，则丙加工圆形零件的个数就是3×4＝12份； 甲、乙、丙三人加工的圆形零件个数的比是8∶9∶12，即共加工了8＋9＋12＝29份；用三人加工圆形零件的总数除以圆形零件的总份数，求出一份数；再用一份数乘加工方形零件的总份数即可求出加工方形零件的总数，然后把方形和圆形零件个数相加求出加工零件的总数。 【详解】甲、乙、丙三人加工的圆形零件个数的比是： （4×2）∶（3×3）∶（3×4）＝8∶9∶12 一份数： 116÷（8＋9＋12） ＝116÷29 ＝4（个） 方形零件共加工： 4×（4＋3＋3） ＝4×10 ＝40（个） 一共：40＋116＝156（个） 答：这天三人共加工零件156个。 【点睛】通过每人加工圆形零件个数是方形零件的几倍，得出三人加工圆形零件的个数比，再把比看作份数，求出一份数是解题的关键。 12．水果店运进草莓1000千克，进价为15元/千克，售价为20元/千克。售出一部分后，为了尽快售完，余下的打折出售。如果售完这批草莓共盈利4200元。其中打折前和打折后的盈利比是5∶2，那么余下的草莓是按原售价的几折出售的？ 【答案】九折 【分析】根据题意，打折前和打折后的盈利比是5∶2，即把这批草莓总盈利分成了5＋2＝7份，用总盈利的钱数÷总份数，求出1份是多少，进而求出打折前盈利的钱数和打折后盈利的钱数；再用售价－进价，求出每千克草莓盈利的价钱；用打折前盈利的钱数÷每千克草莓盈利的价钱，求出打折前卖出草莓的重量；再用运进草莓的重量－打折前卖出草莓的重量，求出打折后草莓的重量；用打折后草莓盈利的钱数÷打折后草莓的重量，求出每千克草莓盈利的钱数，再用每千克草莓盈利的钱数加上进价，求出打折后每千克草莓卖的价格，最后用打折后每千克草莓卖的价格÷原来售价×100%即可求出打折后草莓的价格是原来售价的百分之几十，打几折就是百分之几十，据此解答。 【详解】5＋2＝7（份） 4200÷7×5 ＝600×5 ＝3000（元） 4200－3000＝1200（元） 3000÷（20－15） ＝3000÷5 ＝600（千克） 1000－600＝400（千克） 1200÷400＝3（元） （15＋3）÷20×100% ＝18÷20×100% ＝0.9×100% ＝90% 90%＝九折 答：余下的草莓是按原售价的九折出售的。 13．把一块长与宽的比为5∶3的长方形土地，用1∶1000的比例尺画在图纸上，得到的长方形的周长是32厘米，这块长方形土地的实际面积是多少平方米？ 【答案】6000平方米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长、宽之和＝长方形的周长÷2，求出这个长方形图上的长、宽之和，实际的长、宽之比等于图上的长、宽之比，根据比的应用求出图上的长和宽，实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的长和宽，再把单位转化为“米”，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这块长方形土地的实际面积，据此解答。 【详解】图上的长、宽之和：32÷2＝16（厘米） 图上的长：16× ＝16× ＝10（厘米） 图上的宽：16× ＝16× ＝6（厘米） 实际的长：10÷ ＝10×1000 ＝10000（厘米） 10000厘米＝100米 实际的宽：6÷ ＝6×1000 ＝6000（厘米） 6000厘米＝60米 实际的面积：100×60＝6000（平方米） 答：这块长方形土地的实际面积是6000平方米。 14．低碳出行，从我做起。奇奇、妙妙和聪聪三人同时从图书馆匀速步行去学校，当奇奇到学校时，妙妙离学校还有28米，聪聪距离学校还有60米，当妙妙到学校时，聪聪离学校还有34米，图书馆到学校的距离是多少米？ 【答案】476米 【分析】妙妙步行最后28米的同时，聪聪步行了60－34＝26（米），因为速度比等于路程比，所以聪聪与妙妙的速度比是26∶28＝13∶14，把图书馆到学校的距离看作单位“1”，求出当妙妙到达学校时，求出聪聪距离学校的路程占总路程的分率，再用聪聪离学校的距离除以对应的分率即可求出图书馆到学校的距离。 【详解】60－34＝26（米） 聪聪的速度∶妙妙的速度＝26∶28＝13∶14 13÷14＝ 34÷ ＝34×14 ＝476（米） 答：图书馆到学校的距离是476米。 15．为响应“体重管理年”，小明制定跑步减肥计划。第一个月他完成计划总里程的，第二个月跑了123千米，此时已跑里程与未跑里程的比是。他制定的跑步计划总里程是多少千米？ 【答案】246千米 【分析】因为已跑里程与未跑里程的比是5∶1，总份数为5＋1＝6份，所以已跑里程占总里程的5÷6＝。第一个月完成计划总里程的，则第二个月跑的里程占总里程的（）。已知第二个月跑了123千米，且占总里程的（），那么用123除以（）即可得出总里程。 【详解】5＋1＝6（份） 5÷6＝ 123÷（） ＝123÷（） ＝123÷ ＝123×2 ＝246（千米） 答：他制定的跑步计划总里程是246千米。 16．李伯伯的果园苹果丰收了，他在线上销售苹果，第一天销售了苹果总量的15%，第一天销售的量与第二天销售的量的比是3∶5，这时还有360千克没有售出。李伯伯家果园今年共产苹果多少千克？ 【答案】600千克 【分析】第一天销售的量与第二天销售的量的比是3∶5，则第二天销售的量是第一天的，用15%×求出第二天销售的量是苹果总量的百分之几。将苹果总量的看成单位“1”，则没有售出的苹果占苹果总量的（1－15%－15%×），对应的是360千克。根据已知一个数的百分之几是多少求这个数用除法，用360÷（1－15%－15%×）即可求出苹果的总量；据此解答。 【详解】5÷3＝ 360÷（1－15%－15%×） ＝360÷（1－15%－25%） ＝360÷0.6 ＝600（千克） 答：李伯伯家果园今年共产苹果600千克。 17．搅拌混凝土时，水泥、沙子和石子的比是2∶3∶5。现三种原料各有30吨，如果将沙子全部用完，石子需要再添加多少吨？水泥还剩下多少吨？ 【答案】20吨；10吨 【分析】根据题意可知：沙子（30吨）对应3份，用30÷3求出1份的吨数，进而求出将沙子全部用完，需要的水泥（2份）、石子（5份）的吨数。用石子（5份）的吨数减去30吨，求出石子需要再添加吨数，用30吨减去水泥（2份）的吨数，求出水泥还剩下吨数。 【详解】30÷3＝10（吨） 石子需要再添加：10×5－30 ＝50－30 ＝20（吨） 水泥还剩下：30－10×2 ＝30－20 ＝10（吨） 答：石子需要再添加20吨，水泥还剩下10吨。 18．重庆千厮门大桥是全国著名网红景点洪崖洞夜景最佳观赏点。该大桥全长1647米，平平和安安分别从大桥两端相向而行，安安先走一段距离后，平平再从桥的另一端出发。已知平平、安安的速度比是3∶2，相遇时，他们所走的总路程比是4∶5，安安先走了多少米？（用比例知识解答） 【答案】427米 【分析】相遇时平平走的路程占总路程的＝，安安走的路程占总路程的＝，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。由题意可知路程÷速度＝时间（一定），根据比例的知识可知，时间一定时，路程和速度成正比例，设安安先走了米，根据等量关系式：平平走的路程∶（安安走的路程－先走的路程）＝平平的速度∶安安的速度，据此列比例并求解。 【详解】解：设安安先走了米。 答：安安先走了427米。 19．3D打印是一种快速成型技术，而3D打印机是可以“打印”出真实的3D物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是1∶20，种物体的高是160厘米，这款打印机生成该物体的3D模型的高度是多少？ 【答案】8厘米 【分析】已知模型与实物高度比为1∶20，即模型高度是实物高度的，用实物高度乘可得模型高度，据此解答即可。 【详解】为模型与实物比是1∶20，所以模型高度是实物的。 160×＝8（厘米） 答：这款打印机生成该物体的3D模型的高度是8厘米。 20．饺子，又称水饺，是中华民族的一种传统面食，距今已有一千八百多年的历史。周末，爸爸、妈妈和笑笑一起包韭菜虾仁鸡蛋饺子，韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2。1800克的饺子馅，需要韭菜、虾仁、鸡蛋各多少克？ 【答案】900克； 300克； 600克 【分析】已知饺子馅1800克，对应3＋1＋2＝6份，用1800÷6＝300克求出1份的质量（虾仁），进而分别求出3份（韭菜），2份（鸡蛋）的质量即可。 【详解】虾仁：1800÷（3＋1＋2） ＝1800÷6 ＝300（克） 韭菜： 300×3＝900（克） 鸡蛋： 300×2＝600（克） 答：需要韭菜900克、虾仁300克、鸡蛋600克。 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第13讲 比的应用 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.比的意义 两个数相除又叫做两个数的比，记作 （），其中 是前项， 是后项。比的结果叫做比值（可用整数、分数或小数表示）。 2.比与分数、除法的关系 （），前项相当于被除数/分子，后项相当于除数/分母，比值相当于商/分数值。 3.比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。例如：。 4.化简比与求比值 化简比：把比化为前项和后项互质的最简整数比（结果是比的形式，如 ）。 求比值：用前项除以后项，结果是一个数（整数、分数或小数，如 或 ）。 5.按比分配公式 已知总量 和各部分量的比 ，总份数 ，则： 各部分量 = ，，。 已知部分量 对应份数 ，则每份数 ，总量 （ 为总份数）。 6.连比的处理 若已知 和 ，先统一中间量 的份数（取 和 的最小公倍数），再合并为 。 二、核心题型与技巧 题型1：按比分配基础问题（已知总量和比求部分量） 技巧：先求总份数 ，再用公式“部分量 = 总量×”或“部分量 = 每份数×对应份数”（每份数 = 总量÷）。 公式：部分量 = （ 为总量， 为对应份数）。 题型2：已知部分量和比求总量 技巧：先确定已知部分量对应的份数 ，求每份数 ，再求总量 （ 为总份数）；或 。 题型3：连比问题（三个量的按比分配） 技巧：若已知 和 ，先统一中间量 的份数（取 在两个比中份数的最小公倍数），写出连比 ，再按比分配总量。 题型4：比中的不变量问题——总量不变 技巧：总量不变时，变化前后总份数相等，统一总量的份数，根据部分量的份数差和实际差求每份数。 题型5：比中的不变量问题——部分量不变 技巧：某部分量不变时，该部分量在变化前后的份数相同，统一不变部分的份数，再根据其他部分量的份数变化求每份数。 题型6：比中的不变量问题——差不变 技巧：两个量的差不变时，变化前后份数差相等，统一差的份数，根据份数差和实际差求每份数。 题型7：比与分数结合（已知部分量的和/差求总量） 技巧：根据比写出各部分量占总量的分数，利用“部分量的和（差）÷对应分率的和（差）= 总量”求解。 三、常见错误提醒 1.混淆化简比和求比值：如“化简 ”误写为“2”（正确应为 ）；“求 的比值”误写为“3:2”（正确应为 或 ）。 2.按比分配时总量找错：如“甲、乙钱数比 ，甲比乙多10元，求总钱数”，误将10元当总量（正确：总钱数 = 元）。 3.连比转换时份数不统一：如已知 ，，误写为 （正确：统一 为6，，，连比 ）。 4.不变量问题未统一份数：如“男女生比 ，转来2名女生后比 ”，未统一男生份数（男生不变，原5份、后5份，女生多1份=2人，每份2人）。 例题讲解 一、按比分配基础问题 例题1：一批零件共300个，按 分配给甲、乙两人加工，甲、乙各加工多少个？ 跟踪练习1：一块长方形土地，长与宽的比是 ，周长是64米，求面积。 二、已知部分量求总量 例题2：甲、乙、丙三人按 的比分配奖金，甲分得400元，求奖金总额。 跟踪练习2：一个三角形三个内角度数比 ，其中最大角是多少度？这是什么三角形？ 三、连比问题 例题3：已知 ，，求 ；若 ，求 。 跟踪练习3：，，，求 。 四、总量不变问题 例题4：一个班男女生人数比 ，后来转来2名女生，男女生比变为 ，求原有人数。 跟踪练习4：甲、乙两筐苹果比 ，从乙筐拿6个到甲筐，比变为 ，求两筐总苹果数。 五、比与分数结合（已知差求总量） 例题5：甲、乙钱数比 ，甲比乙多24元，求两人总钱数。 跟踪练习5：一个长方体长、宽、高比 ，棱长总和96厘米，求体积。 提升练习 1．常温下，浓度大于26.5%的盐水会出现盐结晶的现象。科学课上老师在准备“盐的结晶”实验时，配制了140克的盐水，其中盐和水的质量比是2∶5，老师将盐水加热、沸腾（蒸发），当剩下的盐水重90克时，冷却至常温，这时盐水中会出现盐的结晶现象吗？请用数据说明。 2．有一批零件，原计划按9∶5分配给师徒两人加工，师傅实际加工了450个，超过分配任务的25%，徒弟因有事只完成分配任务的80%。徒弟实际加工了多少个零件？ 3．某工厂共有3个车间，第一车间人数占全厂职工总数的30%，第二、三车间人数的比是5∶2。已知第二车间比第一车间多20人，这个工厂共有职工多少人？ 4．甲、乙两地间的铁路长300千米，一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知货车的速度是客车的，相遇时，客车行驶了多少千米？ 5．为满足师生的阅读需求，学校新购进一批科普类图书，按3∶5∶7的比例分发给四、五、六年级的学生。若五年级要分到150本图书，则学校需购进多少本图书？ 6．港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，全长55千米。主体桥梁与全长的比约是2∶5，主体桥梁长约多少千米？ 7．塘栖枇杷丰收，开通网络直播，帮助农户线上销售枇杷，每千克售价25元。如果买整箱（净含量2.5千克），售价为52元/箱，每箱再享受政府补贴优惠4元，买两箱及以上可在原所有优惠的基础上再打九五折。 （1）妈妈买了5千克枇杷，至少需付款多少元？ （2）某农户第一次销售出枇杷总量的12%，第一次销售的和第二次销售的量之比是2∶5，这时还有232千克没有卖出去，该农户今年共产枇杷多少千克？ 8．甲、乙两人同时从地匀速走往地，当甲走了全程的时，乙走了240米。当甲走到B地时，乙还剩全程的。A、B两地相距多少千米？ 9．某校六（1）班和六（2）班共有91人，六（1）班和六（2）班人数的比是4∶3，六（1）班和六（2）班各有多少人？ 10．甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8∶7∶5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 11．甲、乙、丙三人加工方形和圆形的两种零件，已知甲每加工3个零件中有2个是圆形的；乙每加工4个零件中有3个是圆形的；丙每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三人共加工了116个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4∶3∶3，那么这天三人共加工零件多少个？ 12．水果店运进草莓1000千克，进价为15元/千克，售价为20元/千克。售出一部分后，为了尽快售完，余下的打折出售。如果售完这批草莓共盈利4200元。其中打折前和打折后的盈利比是5∶2，那么余下的草莓是按原售价的几折出售的？ 13．把一块长与宽的比为5∶3的长方形土地，用1∶1000的比例尺画在图纸上，得到的长方形的周长是32厘米，这块长方形土地的实际面积是多少平方米？ 14．低碳出行，从我做起。奇奇、妙妙和聪聪三人同时从图书馆匀速步行去学校，当奇奇到学校时，妙妙离学校还有28米，聪聪距离学校还有60米，当妙妙到学校时，聪聪离学校还有34米，图书馆到学校的距离是多少米？ 15．为响应“体重管理年”，小明制定跑步减肥计划。第一个月他完成计划总里程的，第二个月跑了123千米，此时已跑里程与未跑里程的比是。他制定的跑步计划总里程是多少千米？ 16．李伯伯的果园苹果丰收了，他在线上销售苹果，第一天销售了苹果总量的15%，第一天销售的量与第二天销售的量的比是3∶5，这时还有360千克没有售出。李伯伯家果园今年共产苹果多少千克？ 17．搅拌混凝土时，水泥、沙子和石子的比是2∶3∶5。现三种原料各有30吨，如果将沙子全部用完，石子需要再添加多少吨？水泥还剩下多少吨？ 18．重庆千厮门大桥是全国著名网红景点洪崖洞夜景最佳观赏点。该大桥全长1647米，平平和安安分别从大桥两端相向而行，安安先走一段距离后，平平再从桥的另一端出发。已知平平、安安的速度比是3∶2，相遇时，他们所走的总路程比是4∶5，安安先走了多少米？（用比例知识解答） 19．3D打印是一种快速成型技术，而3D打印机是可以“打印”出真实的3D物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的比是1∶20，种物体的高是160厘米，这款打印机生成该物体的3D模型的高度是多少？ 20．饺子，又称水饺，是中华民族的一种传统面食，距今已有一千八百多年的历史。周末，爸爸、妈妈和笑笑一起包韭菜虾仁鸡蛋饺子，韭菜、虾仁、鸡蛋的质量比是3∶1∶2。1800克的饺子馅，需要韭菜、虾仁、鸡蛋各多少克？ 学科网（北京）股份有限公司 $