精品解析：山东省青岛市胶州市洋河中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列选项中的数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是 D. 0没有平方根 4. 已知直角三角形两边的长为和，则此三角形的斜边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A. 6 B. 7 C. 13 D. 10 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使有意义，则的取值范围是______． 12. 若，则_________，_________，若，则_________． 13. 如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端______米． 14. 设，，则的值是______． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为______． 16. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）有理数集合：{ …}． （2）无理数集合：{ …}． （3）正实数集合：{ …}． （4）负实数集合：{ …}． （5）整数集合：{ …}． （6）分数集合：{ …}． 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 21. 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 22. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 23. ①， 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ②． （1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ； （2）化简． 24. 如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． （1）若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ （2）若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 25. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI    （1）直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列选项中的数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数． 明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数． 【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下： 选项A：是分数，属于有理数； 选项B：是有限小数，属于有理数； 选项C：是无限不循环小数，属于无理数； 选项D：，是整数，属于有理数． 故选：C． 2. 下列各式中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是不符合题意； B、，故该选项是不符合题意； C、，故该选项是不符合题意； D、，故该选项是符合题意； 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 2的算术平方根是4 C. 1的平方根是 D. 0没有平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 4. 已知直角三角形两边的长为和，则此三角形的斜边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论 ．分是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况： 当直角三角形的两直角边长分别为和时， 此三角形的斜边长为； 当直角三角形的斜边长为时，第三边长为． 综上，此三角形的斜边长为或． 故选：C ． 5. 在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； 故选：C． 6. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义；故本选项正确； C、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义．最简二次根式的被开方数中不含有分母、最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 7. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 10. 如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A. 6 B. 7 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次根式被开方数大于等于零求解即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12. 若，则_________，_________，若，则_________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩大，但只扩大为原来的10倍；同理，如果被开方数缩小为原来的，其算术平方根也在缩小，但只缩小为原来的． 根据算术平方根的性质结合题意即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴ 故答案为：，，． 13. 如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端______米． 【答案】4 【解析】 【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 由题意得，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：4． 14. 设，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．逆用同底数幂的乘法和积的乘方变形后，代入利用平方差公式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，故，设，则，在中根据勾股定理求出x的值，利用面积公式计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则的面积， 故答案为：． 16. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）有理数集合：{ …}． （2）无理数集合：{ …}． （3）正实数集合：{ …}． （4）负实数集合：{ …}． （5）整数集合：{ …}． （6）分数集合：{ …}． 【答案】（1），，，，， （2），（相邻两个之间的个数逐次加） （3），，，（相邻两个之间的个数逐次加） （4），， （5） （6），，，， 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数；实数也分为正实数、0、负实数；整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类及定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：有理数集合：{，，，，，，…}． 【小问2详解】 解：无理数集合：{，（相邻两个之间的个数逐次加） …}． 【小问3详解】 解：正实数集合：{，，，（相邻两个之间的个数逐次加）…}． 【小问4详解】 解：负实数集合：{，，，…}． 【小问5详解】 解：整数集合：{， …}． 【小问6详解】 解：分数集合：{，，，，，…}． 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，利用立方根解方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算平方根、立方根、乘方，再进行加减运算即可； （2）根据立方根的概念进行求解即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法和除法法则计算，再合并同二次根式； （4）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 解得； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握平方根与立方根的概念是解决本题的关键． （1）根据平方根与立方根的概念可求解a与b的值，再由的大小范围即可求解c的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念即可求解． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， 综上； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵5的平方根为， ∴的平方根为． 21. 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】（1）海港C受台风影响 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【小问1详解】 解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． 【小问2详解】 设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 22. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 23. ①， 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ②． （1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ； （2）化简． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）方法一：把分子分母都乘以（），再利用平方差公式计算；方法二：把分子改写为（），再利用平方差公式分解约分即得； （2）分母有理化后合并即得． 【小问1详解】 解：方法一： ； 方法二：； 故答案为：；； 【小问2详解】 原式 ． 24. 如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． （1）若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ （2）若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】（1） （2）如图，则点即为所求， 25 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：（1）设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点处； 【小问2详解】 作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则． 故答案为：25． 25. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI    （1）直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】（1），； （2） 证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用， （1）运用勾股定理可得的值，根据，代入求值即可； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $