（单元大通关）数学广角-优化（知识精讲、考点导航、考点精练）-2025-2026学年数学四年级上册人教版

该小学数学“数学广角-优化”单元复习讲义通过分模块梳理构建知识体系，以“运筹问题—沏茶问题”“运筹问题—烙饼问题”“对策问题—最优方案问题”为核心，用步骤化框架呈现沏茶的“明确事情-时间-顺序”三步骤，用方法总结归纳烙饼的“双数2张2张烙、单数先双后3”策略，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如沏茶问题中“小东起床事件安排”（烧水同时背古诗、默写单词）培养优化思维，烙饼问题中“5张饼最少10分钟”的分步推理渗透推理意识，田忌赛马问题的“表格对阵设计”强化模型意识。基础题（选择）与变式题（填空、策略设计）兼顾不同学生，参考答案的思路解析支持自主复习，助力教师实施精准教学。

数学广角-优化 单元巩固讲练 知识精讲 运筹问题——沏茶问题 1、合理安排时间的过程 （1）明确完成一项工作要做哪些事情； （2）明确每项事情各需要多少时间； （3）合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2、合理安排时间的方法 （1）定先后顺序； （2）找同时进行； （3）计算时间。 运筹问题——烙饼问题 1、无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放2张饼，就能节省时间。 （1）如果烙饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了； （2）如果烙饼的张数是单数，可以先2张2张的烙，最后3张按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。 2、烙饼的解决方案 每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源，又节省了时间。 对策问题——最优方案问题 解决同一个问题有不同的策略，要学会寻找最优方案。 可以用列举法选择最优方案。 易错导航 考点1：沏茶及其变式问题 考点2：烙饼问题 考点3：田忌赛马问题 考点1：沏茶及其变式问题 1．小东早上起床要完成的事情及所需时间如下：烧水12分，洗水壶1分，把水灌入暖瓶2分，背古诗7分，默写英语单词6分。如果合理安排时间，至少需要（    ）分。 A．12 B．16 C．24 D．27 2．如果炒菜和煮饭用不同的锅和炉子，淘米：3分钟；煮饭：20分钟；洗菜：5分钟；切菜：5分钟；炒菜：10分钟，妈妈要将饭菜都做好，至少需要（    ）分钟。 A．23 B．28 C．43 3．小铭双休日想帮妈妈做下面的事情，用洗衣机洗衣要用20分钟，扫地要用6分钟，搬家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟，他经过合理安排，做完这些事至少要花（    ）分钟。 A．21 B．25 C．26 D．27 4．暑假时，笑笑想用最短的时间帮妈妈做完家务（看表），至少需要（    ）分钟。 洗衣机洗衣服 扫地 擦桌子 洗碗 晒衣服 25分钟 8分钟 10分钟 2分钟 3分钟 A．35 B．28 C．25 D．20 5．笑笑给妈妈做午饭。淘米用1分钟，煮饭用25分钟，洗菜用5分钟，切菜用5分钟，炒菜用10分钟。笑笑做完这些事至少需要（    ）分钟。 A．26 B．35 C．36 D．46 6．周末妈妈打扫卫生要做的事有：擦玻璃20分钟、收拾房间15分钟、全自动洗衣机洗衣服40分钟、晾衣服5分钟。合理安排一下，做完这些事需要（    ）分钟。 A．40 B．45 C．35 考点2：烙饼问题 7．妈妈给家人烙饼，这口锅只能同时烙两张饼，烙一面需要2分钟，要想一家五口能尽快吃上饼，最少需要( )分钟。 8．一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要( )分钟。 9．烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要( )分钟。 10．小明早饭经常自己做烤面包片，每面需要烤2分钟，两面都要烤，每次只能放两片，小明要烤5片面包需要( )分钟。 11．妈妈要烤面包，烤箱每次最多能放两片面包，每片面包的两面都要烤，烤一面需要4分钟，烤3片面包至少需要( )分钟。 12．笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋。一个平底锅每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟，最少( )分钟全家人都能吃上煎蛋。 考点3：田忌赛马问题 13．学校举行拍球比赛，三（1）班对阵三（2）班，下面是参赛选手的平均成绩。 三（1）班代表队 三（2）班代表队 小军230下/分 小平200下/分 小虎189下/分 小青165下/分 小刚150下/分 小强140下/分 采用三局两胜制，请问三（2）班代表队怎样才能赢得这场比赛的胜利？ 14．花园小学四年级趣味运动会开始了，场上四（1）班和四（2）班各派3名选手参加“带球跑”比赛，采取三局两胜制。下表是参赛选手的最好成绩。 四（1）班选手 王阳24.0秒 李林28.5秒 刘乐31.7秒 四（2）班选手 张涛27.2秒 赵凯30.9秒 孙宁32.9秒 如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，那么四（2）班应该怎样对阵才能获胜？请完成下表。 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 第二场 李林 第三场 王阳 15．四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛。每班选出打乒乓球最好的前五名同学（按五名同学的水平高低编号）参赛，共打5场球，5场3胜制。假如你是四（1）班的同学，你将怎样安排本班的五名选手比赛的出场顺序，才有可能打赢这次比赛？（两个班前五名对应名次水平相当。） 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 四（1）班战略 16．实验小学和思源小学举行象棋比赛，每校派三名队员参赛，三局两胜，每局各出1人。他们两校的参赛选手情况如下表。（两个学校相同排名的队员水平相当，名次高的能胜名次低的） 学校 实验小学 思源小学 第一名 张亮 刘明 第二名 王杰 李华 第三名 马文浩 宋航 如果思源小学想要获胜，该怎样对阵？ 学校 实验小学 思源小学 第一局 第二局 第三局 17．东东和小丽玩扑克牌比大小的游戏，点数大的人赢。每人每次出一张牌，三局两胜。东东先出牌，最后小丽赢了。想一想：小丽第三张牌的点数最小是（    ），并把小丽的出牌次序记在表格中。 东东的牌：   小丽的牌： 东东出的牌 小丽出的牌 第一局 10 第二局 7 第三局 5 18．小华和丽丽两人玩数字卡片比大小的游戏，从六张数字卡片中任意抽取3张，每人每次出一张，各出3次，赢两次者获胜。如果小华抽到了，剩下的数字卡片是丽丽的，丽丽应该怎样出才能获胜？ 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 获胜方 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】要想完成这些事情时间最短，可以先洗水壶，然后烧水，烧水的同时去背古诗和默写英语单词，最后把水灌入暖瓶即可。 【详解】7＋6＝13（分钟） 13分钟＞12分钟 13＋1＋2 ＝14＋2 ＝16（分钟） 至少需要16分钟。 故答案为：B 2．A 【分析】把能同时进行的事情安排在同一时间进行，这样用时最少；淘米→煮饭（洗菜→切菜→炒菜），所以要将饭菜做好至少需要的时间为淘米和煮饭的时间和，据此即可解答。 【详解】3＋20＝23（分钟） 妈妈要将饭菜都做好，至少需要23分钟。 故答案为：A 3．B 【分析】为了节约时间，可以考虑多件事同时做。如在洗衣服的同时，可以去扫地和搬家具。 【详解】20＋5＝25（分钟） 小铭先用洗衣机洗衣服要用20分钟，在洗衣服的同时去完成扫地和搬家具，等衣服洗完，再晾衣服要用5分钟，所以他做完这些事至少要花25分钟。 故答案为：B 4．B 【分析】找出可以同时进行的家务，从而计算出完成所有家务的最短时间。洗衣机洗衣服的25分钟内，因为不需要人一直盯着，所以可以同时进行扫地（8分钟）、擦桌子（10分钟）和洗碗（2分钟）。洗衣机洗完衣服后再晒衣服。这样所需要的时间为洗衣机洗衣服的时间加上晒衣服的时间。据此解答。 【详解】8＋10＋2＝18＋2＝20（分钟） 因为25＞20分钟，所以洗衣机洗衣服的同时进行扫地（8分钟）、擦桌子（10分钟）和洗碗（2分钟）。 25＋3＝28（分钟） 所以，笑笑想用最短的时间帮妈妈做完家务，至少需要28分钟。 故答案为：B 5．A 【分析】根据题意，淘米用1分钟，煮饭用25分钟，煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜，即5＋5＋10＝20分钟，所以，笑笑做完这些事至少需要1＋25＝26分钟。 【详解】5＋5＋10＝20（分钟） 20＜25 1＋25＝26（分钟） 笑笑给妈妈做午饭。淘米用1分钟，煮饭用25分钟，洗菜用5分钟，切菜用5分钟，炒菜用10分钟。笑笑做完这些事至少需要26分钟。 故答案为：A 6．B 【分析】合理安排时间的关键是找出可以同时进行的任务。全自动洗衣机洗衣服的40分钟内，妈妈可以同时完成擦玻璃和收拾房间，这两项任务共需35分钟，之后立即晾衣服5分钟。总时间为40＋5＝45分钟。 【详解】同时进行的任务： 洗衣机洗衣服（40分钟）期间，完成擦玻璃（20分钟）和收拾房间（15分钟），共35分钟。 洗衣机结束后，晾衣服需5分钟。 总时间：40（洗衣机）＋5（晾衣）＝45分钟。 合理安排一下，做完这些事需要45分钟。 故答案为：B 7．10 【分析】根据题目要求，妈妈需要烙5张饼且用时最少。所以在烙饼时就要保证锅里同时烙2张饼。 【详解】第一个2分钟：妈妈放入2张饼，2分钟后，把第1张饼翻面，把第2张饼拿出来，放入第3张饼。 第二个2分钟：锅里烙第1张饼的另一面和第3张饼的正面，2分钟后，拿出第1张饼，放入第2张饼，把第3张饼翻面。 第三个2分钟：锅里烙第2张饼的另一面和第3张饼的另一面。2分钟后，拿出第2张饼和第3张饼。 第四个2分钟：放入2张饼，2分钟后，翻面继续烙。 第五个2分钟；翻面继续烙2张饼。2分钟后，烙好了5张饼。 所以最少需要10分钟。 8．6 【分析】通过合理安排煎鱼的顺序，充分利用平底锅每次能煎两条鱼的条件，来节省时间。首先把三条鱼分别标记为鱼1、鱼2、鱼3。先煎鱼1和鱼2的正面，需要2分钟。然后煎鱼1的反面和鱼3的正面，需要2分钟，此时鱼1已经煎好。最后煎鱼2和鱼3的反面，需要2分钟，此时鱼2和鱼3也煎好。总共煎了3次，每次2分钟，这样煎鱼需要的时间最少，据此解答即可。 【详解】把三条鱼分别标记为鱼1、鱼2、鱼3，先煎鱼1和鱼2的正面，然后煎鱼1的反面和鱼3的正面，最后煎鱼2和鱼3的反面，一共煎3次。 2×3＝6（分钟）。 答：煎三条鱼至少需要6分钟。 9．4 【分析】每次最多烤2片，每面需要2分钟，将两片面包同时烤正面，再同时烤反面，总时间为2＋2＝4（分钟），据此即可解答。 【详解】将两片面包分别记为A和B。 第一次烤：A的正面和B的正面，用时2分钟。 第二次烤：A的反面和B的反面，用时2分钟。 总时间：2＋2＝4（分钟） 因此，烤2片至少需要4分钟。 10．10 【分析】这实际是烙饼问题，结合所学知识，一次最多烤2片，一面时间为2分钟，要求所花的时间最少，就要在保证火炉不空着的情况下，要烤5片的最短时间是2×5（分钟）， 当烤2片及以上的面包（两面都要烤），并且锅里只能同时烤2片时，最少需要的时间＝烤一面需要的时间×片数；据此解答即可。 【详解】先烤第一、二片面包的正面，需要2分钟。 然后烤第一片面包的反面和第三片面包的正面，需要2分钟。 接着烤第二、三片面包的反面，需要2分钟。 再烤第四、五片面包的正面，需要2分钟。 最后烤第四、五片面包的反面，需要2分钟。 一共：2×5＝10（分钟） 小明要烤5片面包需要10分钟。 11．12 【分析】要使烤面包的时间最少，那么每一次烤面包时烤箱里面都必须有2片面包。 妈妈烙3片面包时： 第一次：烤第1片面包的正面和第2片面包的正面，用时4分钟。 第二次：烤第1片面包的反面和第3片面包的正面，用时4分钟。 第三次：烤第2片面包的反面和第3片面包的反面，用时4分钟。 所以一共需要3个4分钟。 【详解】3×4＝12（分钟） 故妈妈烤3片面包至少需要12分钟。 12．6 【分析】笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋，一共煎3个鸡蛋，先煎第一个与第二个的正面需2分钟，然后煎第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后煎第二个的反面与第三个的反面需2分钟，煎完3个共需2×3＝6分钟，据此解答即可。 【详解】2×3＝6（分钟） 笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋。一个平底锅每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟，最少6分钟全家人都能吃上煎蛋。 13．见详解 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使三（2）班胜出，可以让三（2）班的小强与三（1）班的小军比赛，三（1）的小军胜；三（2）班的小平与三（1）班的小虎比赛，三（2）班的小平胜，三（2）班的小青与三（1）班的小刚比赛，三（2）班的小青胜，根据三局两胜的规则即可得出三（2）班胜。 【详解】列表如下： 第一场 第二场 第三场 三（1）班 小军 小虎 小刚 三（2）班 小强 小平 小青 本场胜者 三（1）班 三（2）班 三（2）班 答：综上列表，根据三局两胜的规则即可得出三（2）班胜。 14．见详解 【分析】如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，要使四（2）班能获胜，可以这样对阵： 四（2）班第二名对四（1）班的第三名，31.7＞30.9，此局四（2）胜； 四（2）班第一名对四（1）班的第二名，28.5＞27.2，此局四（2）胜； 四（2）班第三名对四（1）班的第一名，24.0＜32.9，此局四（2）负； 据此方案设计即可。 【详解】四（2）班获胜方案如下： 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 赵凯 四（2）班 第二场 李林 张涛 四（2）班 第三场 王阳 孙宁 四（1）班 15．见详解 【分析】要使四（1）班胜出，则可以让四（1）班第一名对四（2）班的第二名；四（1）班的第二名对四（2）班的第三名；四（1）班的第三名对四（2）班的第四名；四（1）班的第四名对四（2）班的第五名；四（1）班的第五名对四（2）班的第一名。这样能保证前四场比赛四（1）班胜出，根据五局三胜的规则即可使得四（1）班胜出。 【详解】 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 第五名 第四名 第三名 第二名 第一名 四（1）班战略 第四名 第三名 第二名 第一名 第五名 16． 见详解 【分析】思源小学想要获胜，至少要三局两胜，可以用思源小学第三名对阵实验小学第一名，浪费掉实验小学的第一名，其他两局，使思源小学第一名对阵实验小学第二名，思源小学第二名对阵实验小学第三名，保证思源小学获胜。 【详解】根据分析，安排对阵如下： 学校 实验小学 思源小学 本局胜者 第一局 张亮 宋航 实验小学 第二局 王杰 刘明 思源小学 第三局 马文浩 李华 思源小学 答案不唯一，合理即可。 17．8；见详解 【分析】根据田忌赛马的道理，用小丽点数最小的牌和小东最大的牌去比，输掉第一局。剩余两局，小丽比东东的点数大即可获胜。 【详解】游戏规则是三局两胜，小丽只需要赢两场就行。当东东出最大的点数10时，小丽只需要拿出自己最小的点数4，输掉第一局。第二局，东东出点数7时，小丽只需要比点数7大就行。所以，小丽的第三张牌的点数最小是8，第二局小丽获胜。第三局时，东东出点数5，小丽出点数6即可，第三局小丽获胜。这样，小丽赢2局输1局，小丽获胜。 东东出的牌 小丽出的牌 第一局 10 4 第二局 7 8 第三局 5 6 【点睛】本题主要考查数学广角中“田忌赛马”原理的灵活应用。 18．6；8；5 丽丽；丽丽；小华 【分析】本题可以根据“田忌赛马”的解题方法解答。丽丽用最小的5对应小华最大的9，用中间的6对应小华最小的4，用最大的8对应小华中间的7，此时丽丽赢两次，取得胜利。 【详解】 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 6 8 5 获胜方 丽丽 丽丽 小华 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $