精品解析：江苏省泰州市姜堰区第一教研站2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋学期九年级数学第一次学情检测 一、单选题（满分18分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2. 如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 4. 如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（ ） A. 32° B. 31° C. 29° D. 61° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数. 【详解】根据题意连接OC.因为 所以可得BC所对的大圆心角为 因为BD为直径，所以可得 由于为直角三角形 所以可得 故选A. 【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍. 5. 在平面直角坐标系中，O为原点，点M的坐标为，的半径为4，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、勾股定理求两点之间的距离等知识．结合题意，首先求出的长度，然后分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为4， ∴点P在外． 故选：A． 6. 如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A. ②④⑤ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得，即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出的长可判断⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点， ∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故选：． 二、填空题（满分30分） 7. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴或， 即，， 故答案为：，； 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 8. 如图，在的内接四边形中，，则________° 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形．根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的对角互补求得的度数即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 已知是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】－2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键在于正确应用韦达定理．由根与系数的关系求出两根之和 ，两根之积 ，然后代入表达式 即可求． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 有一个边长为的正边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆有关计算，等边三角形的判定与性质，根据正边形的特点，求出此正边形为正六边形，求出其外接圆的半径即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵它的一个内角为， ∴它的一个外角为， ∴， 如图， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴其外接圆的半径为， 故答案为：． 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：由条件可知：， ． 故答案为：． 12. 若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】由于圆锥的母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用弧长公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆锥底面半径为rcm， 则圆锥底面周长为：cm， ∴侧面展开图的弧长为：cm， ∴， 解得：r=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为________． 【答案】10% 【解析】 【详解】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得 100×（1﹣x）2=81， 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）． 答：这两次的百分率是10%． 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 15. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】先根据一元二次方程无实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：四 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键． 16. 如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心，等腰直角三角形以及勾股定理．延长交于M点，连接，利用垂径定理求得，利用三角形的内心定义证明得到为等腰直角三角形，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于M点，连接， 在中斜边经过圆心O， ， ∵， ∴， 在中，I为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，，即， 解得（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 化简求值，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解．熟练掌握分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 先通分计算括号，然后进行因式分解，计算除法，可得化简结果，最后整体代入计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． （1）求证：点E是的中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质及圆内接四边形的性质，关键是有圆周角定理得到． （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆内接四边形的性质推出，再求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是圆的直径， ， ， ， 是的中点； 【小问2详解】 解： ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 21. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 （2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为， （1）画出△ABC的外心D（保留画图痕迹） （2）写出点的坐标：C_______、D_______； （3）外接圆的半径=_______； （4）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______； （5）若，试判断直线与的位置关系并说明理由． 【答案】（1） 如图，圆心为所求； （2），； （3） （4） （5） 解：直线与的位置关系为相切，理由为： 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ，， ， 为直角三角形，即， ，则与圆相切． 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，切线的性质，扇形弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦的垂直平分线，以及的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，连接，； （2）根据第一问画出的图形即可得出及的坐标； （3）在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，即为圆的半径； （4）设该圆锥的底面半径，根据地面周长等于弧长即可得出的值； （5）直线与圆的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，即垂直于，可得出直线为圆的切线 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据图形得：，． 故答案为：，； 【小问3详解】 在中，，， 根据勾股定理得：， 则的半径为． 故答案为：； 【小问4详解】 由题意可得出：，设该圆锥的底面半径， 扇形是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面周长为：， ，解得． 故答案为：； 【小问5详解】 略 23. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，是的直径，点、在上，且在直径的两侧，点在直径上，的延长线交于点，、的延长线交于点，给出下列信息：①；②；③．请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是 ，结论是 ．（填写序号）． 证明： 【答案】①②，③；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，余角的性质等知识，难度不大．选择的补充条件是①②，可得结论③．首先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，从而得到，再利用等弧对等角得到，那么，然后根据等角的余角相等得出，从而证得． 【详解】解：选择的补充条件是①②，结论③或补充条件是①③，结论②或补充条件是②③，结论①． 补充条件是①②，结论③证明如下： 为直径，， ，， ， 为直径，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：①②，③． 25. 小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动． （1）几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由； （2）几秒钟后为直角？请说明理由； （3）当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______． 【答案】（1）2秒或秒后，点P、Q的距离为，理由见解析； （2）秒或6秒后，为直角，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，则，，，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案； （2）设运动时间为秒，则，，，，利用勾股定理分别表示出、、，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案； （3）设运动时间为秒，根据题意求出，进而得到，取的中点N，连接、，先证明直角三角形，进而得到，再利用勾股定理，求得，最后根据两点间线段最短，得到的最小值，即可求出线段的最小值． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 整理得： 解得：或， 2秒或秒后，点P、Q的距离为； 【小问2详解】 解：设运动时间为秒， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 在中，， 在中，， 在中，， 为直角， 由勾股定理得：， ， 整理得：，即 解得：或， 秒或6秒后，为直角； 【小问3详解】 解：设运动时间为秒，则，， ， ， 解得：， ， 如图，取的中点N，连接、， ， ， ， ， ， 点N是的中点， ， 在中，， ，即、、三点共线，有最小值，最小值为的长， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解一元二次方程，最短线段问题等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键，属于中考常考题型． 26. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 【答案】 （1）存在最小值， 证明：连接，如图1： ∵是的切线， ∴， ∴，其中为常数， 故当直线l时，最小，此时最小； （2）； （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）由，其中为常数，即可求解； （2）当点P和点C重合时，为最小，此时，，当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，即可求解； （3）由四边形面积最小值，即可求解； （4）由面积，即，而，，，则，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，如图： 由（1）知，， ∴当最小时，取得最小值， ∴当点P和点C重合时，为最小，此时， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大， 故 故答案为：； （3）直线向下平移5个单位得到直线， 当，当，， 解得：， ∴点C、D的坐标分别为：， ∴， 设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接， ∴， ∴， 对于直线，当， ∴， ∴， ∴， 而的最小值， ∴同上可得：， ∵四边形面积最小值， 故答案为：； （4）设直线和x轴正方向的夹角为， 设点，过点作于点， ∴， 则， 如图，过点A作直线l， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴， ∴面积， ∵ ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当直线l时，即点P、N重合时，最小， 此时， ∵，， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题为圆的综合题，切线的性质，勾股定理，涉及到解不等式、解直角三角形、一次函数与几何综合，正方形的性质等，按照题目顺序逐次求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期九年级数学第一次学情检测 一、单选题（满分18分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 4. 如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（ ） A. 32° B. 31° C. 29° D. 61° 5. 在平面直角坐标系中，O为原点，点M的坐标为，的半径为4，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 无法判断 6. 如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A. ②④⑤ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①②④ 二、填空题（满分30分） 7. 方程的解是______． 8. 如图，在的内接四边形中，，则________° 9. 已知是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 有一个边长为的正边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为______． 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 12. 若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm． 13. 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为________． 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 15. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限． 16. 如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为_________． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2） 18. 化简求值，其中． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． （1）求证：点E是的中点； （2）若，求的度数． 21. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．其中点的坐标为， （1）画出△ABC的外心D（保留画图痕迹） （2）写出点的坐标：C_______、D_______； （3）外接圆的半径=_______； （4）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______； （5）若，试判断直线与的位置关系并说明理由． 23. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，是的直径，点、在上，且在直径的两侧，点在直径上，的延长线交于点，、的延长线交于点，给出下列信息：①；②；③．请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是 ，结论是 ．（填写序号）． 证明： 25. 小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动． （1）几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由； （2）几秒钟后为直角？请说明理由； （3）当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______． 26. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $