专题06 抛物线（高效培优期中专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第一册

专题06 抛物线 考点01 抛物线的定义与标准方程 考点02抛物线的几何特征 考点03 抛物线焦点弦问题 考点04抛物线中的定点、定值问题 考点05抛物线与直线的位置关系 考点01 抛物线的定义与标准方程 1．设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 2．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：    由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 3．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由抛物线方程的性质可知，焦点，准线：，为的准线与的对称轴的交点可得，已知为抛物线上的点，代入方程得到，再根据两点间距离公式构建关于的方程求解. 【详解】 由抛物线的性质可知， 焦点，准线：. 又因为为的准线与的对称轴的交点， 所以. 因为位于上，则， 所以，故 根据两点间距离公式： ， 故选：B. 4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可. 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 5．在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积的最小值. 【详解】依题意，，解得，则抛物线，焦点， 设点，直线的方程为， 由消去得，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为8. 故选：D 6．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 7．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 8．已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 . 【答案】3 【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离， 因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即为点到直线的距离，即为. 故答案为：3 9．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    10．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 【答案】 【分析】设点，则，先计算得点的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 11．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 考点02抛物线的几何特征 1．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【详解】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 3．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 4．方程与在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对赋值，由此判断出正确选项. 【详解】变形为，此表示焦点在x轴的抛物线，排除D； 当时，表示开口向右的抛物线，此时表示双曲线，排除C; 当时，表示开口向左的抛物线，此时表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B; 选A 【点睛】本小题主要考查二元二次方程表示图像的识别，包括椭圆、双曲线和抛物线方程与图像的对应，属于基础题. 5．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 6．已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接，    由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 7．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 8．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 9．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 10．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】解法一：确定外接圆的方程，与椭圆联立可得点坐标，代入抛物线方程即可得解； 解法二：根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设直线AB与x轴的交点为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解. 【详解】解法一：设，则，， 由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴， 又圆过点与点，所以该圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 由点为圆与椭圆的交点， 由，解得，所以. 解法二：设，则，. 由题意知，四点共圆， 由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴， 设与x轴相交于点D，则， 在圆中，由相交弦定理可得有， 即，又， 所以，解得，① 代入，得，② 将①②代入椭圆方程，得， 整理，得，解得. 经检验，时，符合题意. 故实数p的值为. 故选：A. 11．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 考点03 抛物线焦点弦问题 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点F的直线与抛物线交于点，，点在上的射影为，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】D 【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项． 【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确； 对于B，设N为的中点，点N在l上的射影为，点Q在l上的射影为， 则由梯形性质可得＝＝＝，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当M，P，F三点共线时等号成立，故C正确； 对于D，显然直线，与抛物线只有一个公共点． 当过点M的直线斜率存在时，可设为， 由，可得， 令，解得， 所以直线与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误； 故选：D. 2．已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数的关系代入计算求出值． 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设、两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， ．    故选：C． 3．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 4．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点， 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为， 直线AB的方程为， 与抛物线联立得：， 则， 同理可得， 因此， 故选：D. 5．已知抛物线的焦点在直线上，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（   ） A．36 B．54 C．82 D．108 【答案】D 【分析】由点在直线上得到的值，从而得到抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，由韦达定理得交点坐标关系，由抛物线定义得到，消元转化成函数求最值问题，求导求得最值. 【详解】抛物线焦点，因为点在直线上，所以， 解得，所以， 设直线的方程为，，， 联立得， 所以，，， ，，， 所以， 由，得，所以， 令，求导得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以的最小值为108． 故选：D. 6．已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到，根据平行得到角相等，从而得到平分．同理可得平分，即可得到结果. 【详解】解法1  如图，由抛物线定义易知， 根据等边对等角，所以， 因为轴，根据两直线平行，内错角相等，从而，所以平分． 同理可得平分，所以． 解法2  抛物线的焦点为，由题可知的斜率不为0， 故设直线的方程为， 令，，则，， 联立直线与抛物线方程得，消去整理得， 则，． 又，，所以， 则，则． 故答案为：. 7．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆与准线相切可得，进而联立直线与抛物线方程得韦达定定理，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由知， 以的中点为圆心，DE为直径的圆的方程为. 由题意得，解得，故，且. 设直线的方程为， 当时，直线方程为，则，则； 当时，将与抛物线方程联立并消去可得. 设，则， 所以. 从而， 故，当且仅当时取等号. 综上，的最小值为， 故答案为： 8．已知直线l与椭圆C：交于A，B两点，与抛物线E：交于P，Q两点（P在x轴上方），且直线l过E的焦点F，若线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】设，，代入椭圆方程，利用点差法得，即可设直线的方程，，，与抛物线方程联立，解得，利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设，，所以两式相减可得， 又，所以． 故设直线l：，，， 所以得，解得，， 故． 故答案为：. 9．如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据条件得抛物线的方程为，设出直线方程，联立直线与抛物方程得，结合条件，利用弦长公式，即可求解； （2）设，根据条件，利用抛物线的性质及弦长公式，求得，，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以，所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，， 由，得，则， 所以，解得， 则的面积为. （2）因为在抛物线上，可以设，根据第（1）问可知两点的纵坐标之积为定值为， 所以，由（1）知，其中当时，， 可得， 当时，，满足，所以， 设直线的方程为，，， 由，得，所以， 又，所以，代入，得到，所以， 又过点，设直线的方程为， 由，得，则， 所以，代入，得，则， 所以， 易知直线斜率存在，且，所以． 所以， 所以有， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为． 10．如图所示，设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，且两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点.若直线的斜率分别为：，判定和的值大小关系，并说明理由.通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论. 【答案】相等，理由见解析，相等证明见解析 【分析】设出定点坐标与斜率表达式，推导与的关系，再分轴，，三种情况讨论角度关系即可；再根据题意和如上过程概括出更一般的条件并进行验证. 【详解】设，直线， 联立，得，， 直线的斜率分别记为：， 得且， 故 ， 如果取时，得， ，即，且， 设， （1）若轴，则，，； （2）若，则， 同理可得，， 而，即， 易知都是锐角， ； （3）若，类似的也可证明. 综上所述，，所以和的值相等. 通过对以上问题的研究，可概括出：设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，且两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点.若，和的值相等.证明如下. 设， 联立，得，， 直线的斜率分别记为：， 得且， 故 ， ，即，且， 设， （1）若轴，则，，； （2）若，则， 同理可得，， 而，即， 易知都是锐角， ； （3）若，类似的也可证明. 综上所述，，所以和的值相等. 11．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. (1)求的方程； (2)设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或. 【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可； （2）（i）设直线方程：. 直曲联立.另外，由前问求出.进而得到直线方程，化简得到.即可求出定点. （ii）先求出和直线方程，还求出点到直线的距离，根据面积公式计算出点坐标，即可求出直线方程. 【详解】（1）设直线方程：，代入中，消去得. 设，则. 当时，有的最小值为. ，故的方程为. （2）（i）设直线方程：. 由消去得.① 又由（1）知，同理. 当的斜率不存在时，的斜率不存在时，不妨设 此时，； 当的斜率存在时，直线的斜率. 直线方程为，化简得② 由①②得，即. 由得，直线过定点； 所以直线过定点； （ii）由（i）知， 直线方程为：，点到直线的距离， ，解得或6.所以点坐标为，或. 且，或. 直线方程为或. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为k）， （2）利用条件得到有关k与x，y的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至找到定点， ①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，让系数等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数. 考点04抛物线中的定点、定值问题 1．已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为-2，则点到直线的最大距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】设直线，，联立直线与抛物线的方程，表示出，与韦达定理联立求出，结合题意分析即可求解. 【详解】设直线，， 则，可得， 所以， 又，，所以， 所以， 所以，所以直线恒过， 则点到直线的最大距离为4. 故选：. 2．如图所示，已知拋物线过点，圆．过圆心的直线与抛物线和圆分别交于、、、，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在抛物线上求出，分析可知，直线不与轴，设、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，结合焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题设，，则，故抛物线的标准方程，则焦点， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若直线与轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设点、，设直线的方程为， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 结合图象可知，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：由韦达定理得出为解题的关键，结合基本不等式求最值. 3．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以为直径的圆过原点可求得直线恒过定点，由四点共圆可知的最大值为该圆直径，进而求得结果. 【详解】设点，点，其中，， 以为直径的圆过原点，，解得：， 易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：， 由化简整理得：，，解得：， 直线恒过定点， ，，四点共圆， 即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为， 的最大值为该圆的直径，即. 故选：B． 4．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 【答案】B 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）. 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点为坐标原点，则是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点位置有关 【答案】C 【分析】方法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积分析判断；方法二：根据结论，，结合数量积分析判断. 【详解】方法一：抛物线的焦点的坐标为， 由题意可知：直线的斜率一定存在， 设，，直线的方程为， 与抛物线联立，得，恒成立， 则，， 所以，所以为钝角． 方法二：因为抛物线焦点在轴上，则，， 则，故为钝角． 故选：C. 6．如图，已知抛物线，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接.直线是否过定点？ （填“是”或“否”）.若是，则定点坐标为 . 【答案】 是 【分析】设直线的方程为，又设，，则，与抛物线方程联立，由韦达定理得，，即可求直线的方程，进而求解. 【详解】设直线的方程为，又设，，则， 由，得． 则，，， 所以， 则直线的方程为， 所以，． 当时，，所以直线过定点． 故答案为：是；. 7．已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？ （填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为 ． 【答案】 存在 【分析】将抛物线方程与直线联立，由判别式为0可得.假设存在满足条件的点，则直线，将直线与抛物线联立结合韦达定理可得，据此可得答案. 【详解】将抛物线与直线联立有： ，消去x得：， 由于直线与抛物线相切，得，，所以． 假设存在满足条件的点，则直线， 将直线与抛物线联立有：，消去x得：. 判别式为：，设，， 由韦达定理有:，， ，， 从而 . 则当时，为定值，所以． 故答案为：存在；. 8．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 【答案】 【分析】第一空：设直线的方程为，直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理有，，求得即可；第二空：由斜率公式、韦达定理即可求解. 【详解】如图，设直线的方程为，直线的方程为， ，，，．    由得，故， 同理，，，所以，故． 由得，故， 所以，即，所以直线过定点． 下面求的值． 解法1：因为， 所以． 解法2：因为，所以． 故答案为：，. 9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，则 ． 【答案】 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理得，，结合整理化简即可得. 【详解】由题意，设，联立抛物线得，， 所以，，又，， 所以． 故答案为：    10．已知点在抛物线上，且的焦点为，过点作直线与交于、两点，则的取值范围为 ；若直线、分别交于、两点（点、异于点、），则 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，分析可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为，与抛物线方程联立，由可求出的取值范围，列出韦达定理，结合韦达定理可求出的取值范围；设点、，由可推导出，，利用抛物线的焦半径公式结合三角形的面积公式可求得的值. 【详解】将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 所以，抛物线的方程为，易知抛物线的焦点为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 则，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，； 设点、，则，， 由题意可知，，即，整理可得， 显然，则，同理可得， . 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 11．如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)直线恒过点． 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 12．在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，定值2304． 【分析】（1）方法一：由题意上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，然后由抛物线定义求解方程即可；      方法二：由题意，设点的坐标为，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程. （2）四边形的面积，根据点与圆的位置关系求得的最小值，即可得解. （3）设点的坐标为，则切线方程为，利用相切关系得关于的二次方程，设过点所作的两条切线的斜率分别为，根据韦达定理得，设点的纵坐标分别为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，同理可得，从而代入化简得. 【详解】（1）方法一：由题意，到直线的距离比点到点的距离小1， 上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意，设点的坐标为， 由题意得，易知点位于直线的右侧， ，化简得，曲线的方程为． （2）由题意得，的圆心为，半径， 又四边形的面积， 当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为， 四边形面积的最小值为． （3）当点在直线上运动时，设点的坐标为．又， 过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点，则切线方程为， 即，所以，整理得①. 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ． 联立得，③. 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ． 同理可得，⑤. 联立①③⑤三式，得 ， 当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 13．（1）抛物线 的两条弦AB、CD交于点， M、N分别为AB、CD中点； （i）证明： 若 (b为常数)，则直线MN过定点； （ii）若 (c为常数)，求与直线MN 平行的定直线； （2）抛物线 交y轴于C，抛物线 交y轴于D．设A为抛物线顶点右侧一点，过点A作切线交y轴于B．设M为上一点，作轴交直线AB于点N．若B为CD中点，且MN最小值的最大值为4，求的值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii），其中；（2）2或10. 【分析】（1）联立直线与抛物线，利用韦达定理找到中点与的关系，同理，通过的坐标得到直线的方程，（i）根据，进一步得到直线的纵截距为定值，即过定点，（ii）根据，进一步得到为定值，要求与直线MN 平行的直线，注意不要重合即可； （2）设出点坐标用表示，根据与相切，联立后求出与的关系，写出切线的方程，再设出的横坐标，表示的长度，逐步以、、为主元，利用二次函数求出最值，得到、、的值即可. 【详解】（1）由题意，、斜率均存在， 设 ，直线方程：， 联立，消得：， 由韦达定理得， 由于为中点，故， 代入直线方程得， 设，同理，， 所以， 直线的方程：， 化简得： （i）由于， 则直线：， 令，则， 所以直线过定点. （ii）由于，则， ， 所以与直线MN 平行的直线方程为，其中. （2）由题意，，， 若，则无法过点作的切线， 若，则重合，不合题意，故， 设，且，则， 直线的方程为， 联立，消得， 由于与相切，则， 则，直线：， 设，则， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，，或， 则此时或10. 考点05抛物线与直线的位置关系 1．抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线方程得，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到，即可求解. 【详解】设，， 由，消得到， 则， 因为，则，又，， 所以， 所以，解得， 故选：D. 2．如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线AB的方程，与抛物线联立，设，，由旋转体的体积公式，利用韦达定理，结合面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】设，，， 设直线：，m显然存在， 则，可得， 则：， ， 设M、N关于y轴的对称点分别为、， 记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 则所求旋转体体积为： . 当且仅当，即时等号成立，此时所求旋转体体积的最小值为． 故选：D. 3．已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】法一：联立抛物线与直线并整理得，根据已知及韦达定理列方程求参数即可；法二：设A，B，且，根据已知有，再联立抛物线与直线并整理得，应用韦达定理得到方程求参数. 【详解】法一：由，其中，得， 整理得，设， 因为直线OA与OB的斜率之和为4，由韦达定理，，解得. 法二：设A，B，且， 因为直线OA与OB的斜率之和为4， 所以， 可得，即（*）， 联立且，消去，得， 由韦达定理，， 代入（*），可得，解得. 故选：A 4．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 5．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 故选：C. 6．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件转化为，联立韦达定理求解，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线，进而联立抛物线方程求出坐标，再利用数量积求，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值. 【详解】由抛物线的方程，则其焦点， 直线l过点且斜率为，其方程为， 联立直线与抛物线方程消得，设交点， 则，, 由抛物线定义可得，代入条件， 得，结合解得，满足， 可得； 设，设，由， 则由余弦定理得， 故，则， 则，即， 联立直线与抛物线方程消得， 则，解得， 即，又， 则， 则， 所以， 则. 故选：C. 7．（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于C，由图结合，可得为线段的中点，然后结合抛物线定义可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误；对于A，由CD分析可得直线斜率，结合，可得直线方程；对于B，取线段中点，过作轴于，结合几何知识可判断选项正误. 【详解】抛物线的焦点，准线，. 对于C，如图，因为，所以为线段的中点，， 过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则， 由抛物线的定义可知，，得，故C正确； 对于D，在中，有，得，故D正确； 对于A，，则直线的斜率为，又 所以直线的方程为， 即或，故A错误； 对于B，取线段中点，过作轴于， 则， 所以，即线段中点到轴的距离等于，则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确． 故选：BCD． 8．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（    ） A． B． C．与面积之比为3 D．面积为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD.    9．已知抛物线的焦点为，是圆上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，若分别与轴交于点，则外接圆半径的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则设切线方程为，联立可得，根据坐标关系可得，同理可得，从而可得外接圆的直径为，根据圆外一点与圆上一点的位置关系得直径最小值从而得所求. 【详解】设且，则设切线方程为， 联立， 则可得， 则切线方程为，所以， 又抛物线的焦点为， 从而直线的斜率之积为， 所以，同理， 所以外接圆的直径为， 圆的圆心，半径， 外接圆直径最小值为， 所以外接圆半径最小值为. 故答案为：. 10．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性关系确定，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解. 【详解】作图如下： 因为为，的中点， 所以，即为的三等分点，且． 又因为，所以， 所以， 所以．不妨设，且在第一象限， 则，所以． 因为点在抛物线上，所以， 由为的三等分点，得， 即点到轴的距离为． 故答案为： 11．过点作直线与抛物线：相交于两点，是的准线，过作且交于，过B作且交于. (1)当，且与轴平行时，,求抛物线的方程； (2)记, （i）若，是否存在，使得为定值？若存在，则求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，且的斜率为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i），（ii） 【分析】（1）根据抛物线的概念及准线的性质，用坐标表示向量，根据向量数量积的坐标表示，求出参数，求出抛物线方程. （2）（i）根据抛物线与直线的位置关系，设出坐标，用参数表示面积，根据面积之间的关系，以及韦达定理，求出参数的值. （ii）根据抛物线与直线的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，列出方程，构造出新的函数，根据函数定义域，求出函数值域，进而求出结果. 【详解】（1）如图所示， 当时，， 由可知，当时，，解得， 不妨设， 由准线方程为得， 则， 由可得，因为，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图所示， 根据对称性原则，不妨设在第一象限，在第四象限， 设，可得，， 则， 当直线斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不符合题意，所以设直线解析式为， 则， 由得， 化简得， 联立直线和抛物线方程得，消去得，可知直线与抛物线必有两个交点， 则， 代入得， 化简得， 当时，为定值，即， 此时，代入得， 因为，化简得，解得，此时； 综上，时，为定值. （ii） 当，的斜率为，则直线解析式为， 此时， 联立直线和抛物线方程得，消去得， 可知直线与抛物线必有两个交点， 则， 由得， 化简得， 代入得， 化简得， 令， 令，即， 则， 变形得，根据对勾函数可知在上单调递增， 所以，则， 即的范围为. 12．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过两点，连接. (1)求两点的坐标及直线的函数表达式； (2)探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点； ①使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； ②使以点为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)①存在②存在 【分析】（1）通过令抛物线，求出与轴交点、的坐标；根据抛物线对称轴公式求出对称轴，进而得到点坐标；令得到点坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）先根据点的坐标求出线段长度，判断的形状，再分和两种情况，通过解直角三角形求出点的坐标； （3）①通过作与轴平行的直线，找到抛物线上的点，根据菱形的判定条件判断四边形是否为菱形； ②通过作垂直于的直线，找到矩形，确定点的坐标. 【详解】（1）当时， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为. ∵. ∴抛物线的对称轴为直线. ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为. 设直线的表达式为，则， 解得 ∴直线的表达式为. （2）点的坐标为，点的坐标为， . 又点的坐标为， . . 为等边三角形. . 分两种情况： 当时， ， . 作轴于点，如图： 在中，，， 点的坐标为． 作轴于点，如图： 当时， ， ，. . . 在中，， ，. ， 点的坐标为. 综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或； （3）①过点作轴交抛物线于点，连接，如图： 点的坐标为，， 当时，， （不合题意舍去）， 点的坐标为， . 点的坐标为， . 由（2）可知， ， 四边形是菱形. 当点位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为； ②过点作交直线于点，连接、，如图： ,， 由（2）可知， . 由（2）可知， ， . 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为, ， ， 四边形是矩形， 抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为． 13．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦半径公式求，即可求抛物线方程； （2）首先设直线，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，即可求解直线方程. 【详解】（1）由条件可知，，得， 所以抛物线方程为； （2）设直线，，，， 联立，得， ，，① 由，可得，② 由①②可知，，或，， 所以或，得或， 即直线的方程为，即或，即. 14．设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，． (1)求的方程； (2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0． （ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到，将将点代入抛物线的方程，求得，即可抛物线的方程； （2）（i）设，则，不妨设在的左侧，根据斜率公式，分别求得，结合，得到，进而求得直线的斜率； （ii）设为抛物线在点处的切线，转化为证明与圆相切，利用导数的几何意义，求得，取上点左侧一点，结合圆的性质，即证，利用两角差的正切公式，化简，即可得证，得到答案. 【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点， 因为为上位于第一象限的一点，且，所以， 将点代入抛物线的方程，可得，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. （2）解：（i）设，则，不妨设在的左侧， 根据题意，可得，同理可得， 因为直线的斜率之和为，所以， 即，整理得， 所以. （ii）设为抛物线在点处的切线，要证明即为，即与圆相切， 由函数，可得，所以， 要证与圆相切，取上点左侧一点， 结合圆的弦切角定理的逆定理，即证，只需证， 即证，即证， 即证， 由（i）知，即证， 即证，即，成立， 所以即为圆的切线，所以直线与圆有且只有一个公共点. 15．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； （2）先通过向量关系得到点M与Q的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ斜率最大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N坐标. 【详解】（1）设动点 ，则点 到点 的距离为 ， 直线 的距离为 ； 因为动点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以 ，所以 的方程 . （2）设 ，由 ，即 得 ； 因为点 在轨迹 上，所以 ，而 ， 因为要求 斜率的最大值，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 ，直线 ， 由 与 联立，得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 . 62 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线 考点01 抛物线的定义与标准方程 考点02抛物线的几何特征 考点03 抛物线焦点弦问题 考点04抛物线中的定点、定值问题 考点05抛物线与直线的位置关系 考点01 抛物线的定义与标准方程 1．设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 3．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 6．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 7．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 8．已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 . 9．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 10．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 11．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 考点02抛物线的几何特征 1．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 4．方程与在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　) A． B． C． D． 5．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 8．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 11．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 考点03 抛物线焦点弦问题 1．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点F的直线与抛物线交于点，，点在上的射影为，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 2．已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点在直线上，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（   ） A．36 B．54 C．82 D．108 6．已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 7．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 . 8．已知直线l与椭圆C：交于A，B两点，与抛物线E：交于P，Q两点（P在x轴上方），且直线l过E的焦点F，若线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为，则 ． 9．如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． 10．如图所示，设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，且两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点.若直线的斜率分别为：，判定和的值大小关系，并说明理由.通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论. 11．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. (1)求的方程； (2)设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 考点04抛物线中的定点、定值问题 1．已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为-2，则点到直线的最大距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图所示，已知拋物线过点，圆．过圆心的直线与抛物线和圆分别交于、、、，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点为坐标原点，则是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点位置有关 6．如图，已知抛物线，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接.直线是否过定点？ （填“是”或“否”）.若是，则定点坐标为 . 7．已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？ （填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为 ． 8．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，则 ． 10．已知点在抛物线上，且的焦点为，过点作直线与交于、两点，则的取值范围为 ；若直线、分别交于、两点（点、异于点、），则 ． 11．如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 13．（1）抛物线 的两条弦AB、CD交于点， M、N分别为AB、CD中点； （i）证明： 若 (b为常数)，则直线MN过定点； （ii）若 (c为常数)，求与直线MN 平行的定直线； （2）抛物线 交y轴于C，抛物线 交y轴于D．设A为抛物线顶点右侧一点，过点A作切线交y轴于B．设M为上一点，作轴交直线AB于点N．若B为CD中点，且MN最小值的最大值为4，求的值． 考点05抛物线与直线的位置关系 1．抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 8．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（    ） A． B． C．与面积之比为3 D．面积为 9．已知抛物线的焦点为，是圆上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，若分别与轴交于点，则外接圆半径的最小值为 . 10．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 11．过点作直线与抛物线：相交于两点，是的准线，过作且交于，过B作且交于. (1)当，且与轴平行时，,求抛物线的方程； (2)记, （i）若，是否存在，使得为定值？若存在，则求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，且的斜率为，求的取值范围. 12．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过两点，连接. (1)求两点的坐标及直线的函数表达式； (2)探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点； ①使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； ②使以点为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由. 13．已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 14．设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，． (1)求的方程； (2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0． （ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点． 15．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $