专题02 直线与方程（高效培优期中专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第一册

专题02 直线与方程 考点01 直线的倾斜角和斜率 考点02直线的方程 考点03直线交点坐标和距离公式 考点04直线方程的应用 考点01 直线的倾斜角和斜率 1．已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系来求解即可． 【详解】直线方向向量为，则斜率，设倾斜角为，由，得． 故选：C． 2．已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点后，再分别计算出直线过点、点时的斜率即可得. 【详解】，令，解得， 故直线过定点， 则，， 故该直线斜率的取值范围. 故选：B. 3．已知直线：与：平行，则m的值是（   ） A． B．2或 C．6 D．或6 【答案】D 【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解. 【详解】由直线，得,解得或， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：与直线：平行， 所以m的值是或6. 故选：D 4．直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】直线的方向向量坐标为，故直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 5．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 6．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知斜率，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 直线的斜率， 即，且，可得， 所以直线的倾斜角的取值范围为. 故选：C. 7．已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或.    故选：D 8．“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据直线与直线平行可得或，再根据充分条件和必要条件定义进而可判断. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或． 当时，两直线分别为，，不重合满足题意； 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以. 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据已知得直线的倾斜角为，设且，利用对称性和点线距离公式得，从而确定直线所过象限，即可得. 【详解】对于直线，斜率为，则其倾斜角为，逆时针旋转， 所以，则直线的倾斜角为，设， 由过，显然在下方，则旋转后与轴交点在上方，所以， 由到的距离， 由到的距离， 所以，可得（舍）， 所以中，， 所以过第一、二、三象限，不过第四象限. 故选：A 10．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A，将直线方程整理成以为未知数的方程即可求得定点；对于B，根据截距的定义求解；对于C，将方程化成斜截式方程，求得直线斜率，即可求出其倾斜角；对于D，将经过两点的直线分成三种情况，分别考虑即得结论. 【详解】对于A，因，故该直线经过定点，故A正确； 对于B，在直线方程中，令，可得，即该直线在y轴上的截距为，故B错误； 对于C，由化成斜截式为，可知直线的斜率为， 则直线的倾斜角满足，因，故得，故C错误； 对于D，对于经过任意两个不同点的直线， 若，则直线的斜率不存在，直线方程为，满足； 若，则直线的斜率为0，直线方程为，满足； 若且，则该直线方程为， 去分母后即得方程.综上可知，D正确. 故选：AD. 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】2或0 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解. 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0． 12．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为 . 【答案】或 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，求出两平行直线的距离，得到，所以，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m的倾斜角. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与间的距离 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以， 所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是或.    故答案为：或 考点02 直线的方程 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 2．已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【答案】D 【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，结合组合计算，再除去不合题意的即可. 【详解】可得，从集合中任取三个不同元素，且，异号， 若，共有条，若，共有条，总共种. 又因为当，，和，，时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种. 故选：D. 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行，则平行线间的距离是 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．点关于直线的对称点是 【答案】BD 【分析】根据直线在轴上截距的定义知A错误；由平行关系可求得，结合平行直线间距离公式可求得B正确；当直线斜率不存在时，无法用方程表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确. 【详解】对于A，直线过点，则其在轴上的截距为，A错误； 对于B，由两直线平行可得：，解得：， 则直线的方程可化为：， 两直线间的距离，B正确； 对于C，当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，C错误； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得：，即关于直线的对称点为，D正确. 故选：BD. 4．已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【分析】结合图形分析两点到直线距离相等的情况，根据直线方程的求法，求出结果即可. 【详解】    如图所示，当、到直线的距离相等时有两种情况， 情况一，直线经过中点，由点，可知点, 则直线为，化简得； 情况二，直线和直线平行，由点，可知， 则直线为，化简得； 故答案为：或 5．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，分和直线过线段的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为点和点到直线的距离相等，且过点， 当直线时，可得， 可得直线的方程为，即； 当直线过线段的中点，由，即， 则，所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 6．已知的三个顶点，，，则边上的垂直平分线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两点的中点坐标，及边上的垂直平分线所在直线的斜率，再由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】两点的中点为，即， 边所在直线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为， 即. 故答案为：. 7．在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. 【详解】（1）由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 （2）设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 8．求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点斜式方程，可得直线方程，整理即可得答案. （2）直线方程为，分别令和，结合面积公式，求得b值，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，求出直线方程，整理即可得答案. 【详解】（1）代入点斜式方程可得，整理得 （2）设直线方程为，令，解得， 令，解得， 所以，解得， 所以直线方程为，整理得 （3）当截距为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得； 当截距不为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得， 综上，直线方程为或 9．（1）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度后回到原来的位置，求的斜率； （2）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）入射光线：，反射光线：；（3）或或. 【分析】（1）设直线的方程为，根据直线平移规律得到平移后的直线方程，再结合平移后回到原来位置构造方程解出； （2）先根据两点式求出入射光线所在直线方程，再利用光的反射原理求出反射光线所在直线方程； （3）分直线在两坐标轴上的截距都为0和不为0两种情况讨论求解． 【详解】（1）设直线的方程为， 经过平移后的直线的方程为， 平移前后两直线重合， ，解得． （2）设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得 入射光线的斜率， 反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即 （3）当直线的截距为0时，直线的方程为，即 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 则，解得或． 若，则直线的方程为，即； 若，则直线的方程为，即 综上所述，直线的方程为：或或． 10．已知直线，直线. (1)求证：直线过定点； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或. 【分析】（1）变形得到，得到方程组，求出所过定点坐标； （2）求出与的交点为，分截距为0和不为0两种情况，利用待定系数法进行求解. 【详解】（1）变形得到， 令，解得， 故直线过定点； （2）当时，， 联立，解得， 故与的交点为， 当截距均为0时，设直线的方程为，则， 解得，故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 11．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， （2）又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 考点03 直线交点坐标和距离公式 1．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 2．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点坐标、关于直线的对称点为坐标，转化为求最小，当三点共线时最小，即最小，再求出直线的方程与联立可得答案. 【详解】令得，令得，所以， 如图，点在直线的同侧， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以，若最小，即最小， 当三点共线时最小，即最小， 此时，，直线的方程为， 由得，即. 故选：D.    3．已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 4．（多选）已知圆：，则（   ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在3个点到直线：的距离都等于 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：求出该直线所过定点可得该直线与圆相交，即可得解；对B：求出圆心到直线的距离后计算圆心加减半径与的大小关系即可得；对C：由公切线条数可得两圆位置关系，利用两圆位置关系即可得解；对D：计算可得，则只需计算的最小值即可得解. 【详解】对A：，则该直线必过点， 又，故点在圆内部， 故直线与圆相交， 故圆与直线必有两个交点，故A正确； 对B：圆心到直线的距离为， 由， 故圆上存在个点到直线的距离都等于，故B错误； 对C：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆相外切， 将化简可得， 则该圆圆心为，半径为， 则有，解得，故C正确； 对D：由切线性质及切线长定理可得、，， 四边形的面积， 又，故取最小时，最小， 又，则， 故，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则或 【答案】AC 【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断CD. 【详解】对于A：当时直线：，直线：，由， 解得，所以两直线的交点为，故A正确； 对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：若，则，解得或， 当时直线：，直线：两直线重合，故舍去， 当时直线：，直线：，两直线平行， 所以，故D错误； 故选：AC 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线：，：的距离为 B．直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D．直线与互相平行，则的值是或 【答案】AC 【分析】对于A利用两平行线的距离公式即可判断A，对于B分直线不过原点和过原点讨论即可判断， 对于C利用两直线垂直求出即可判断，对于D利用两直线平行求出即可判断. 【详解】对于A：直线：，：的距离为，故A正确； 对于B：当直线不过原点时设直线的方程为，又直线过点，所以，解得， 即，当直线过原点时，设方程为，又直线过点，所以， 所以，故B错误； 对于C：直线与垂直时， 所以或， 所以“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：直线与互相平行，所以，故D错误, 故选：AC. 7．已知两条直线平行，则直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行充要条件求出参数，再结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线 因为与平行，可得， 即，解得， 当时，直线，， 此时两平行直线之间的距离为. 故答案为：. 8．已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）设，则线段的中点坐标为，因为线段的中点在直线上，代入计算即可求解； （2）设点关于直线的对称点为，由角平分线性质可知在直线上，求出坐标后即可确定直线的方程，再联立直线的方程求出点的坐标，最后利用面积公式求解. 【详解】（1）因为直线CD的方程为， 设，又，线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即，所以； （2）因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则，解得， 故，所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程， ，解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以. 9．（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面积的最小值为8 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； （3）先求出直线恒过定点，直线与轴和轴的交点分别为，结合题意即可求得的范围，再表示出，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，得，解得或； （2）设，则， 解得，即. （3）存在，由，得． 由，得时，则直线恒过定点，如图， 直线与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交. 而 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值8． 10．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解， （2）联立直线与的方程，可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解． 【详解】（1）由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 11．（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 【答案】（1）；（2），周长 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小. 此时直线：，化成一般式为：. 且，， 的周长为． 所以当面积最小时，直线的一般式方程为：，的周长为． 考点04 直线方程的应用 1．（多选）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可. 【详解】设顶点C的坐标为，所以重心坐标为， 因为欧拉线方程为，所以. A：当顶点C的坐标为时，显然不满足； B：当顶点C的坐标为时，显然满足； C：当顶点C的坐标为时，显然满足； D：当顶点C的坐标为时，显然不满足， 故选：BC 【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 2．若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 【答案】 【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 所以线段的垂直平分线的方程为即， 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，所以点在以､为焦点的双曲线的左支上， 该双曲线的方程为， 所以，解得. 所以点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P为线段的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解. 3．在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 4．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点为线段的中点， (3)存在，或或 【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得的垂直平分线方程，再化成一般式即可； （2）由，可得，由，得与相似，从而得，即可得答案； （3）假定在轴上存在满足题意的点，分、和分别求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即； （2）由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时， 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 5．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    6．城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【答案】(1) (2)，200平方米 【分析】（1）先求点的坐标与直线的方程，再由点到直线的距离公式可得； （2）由对称性解得点坐标，可得所在直线方程，再由对称性将四边形面积转化为求三角形面积求解即可. 【详解】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 7．公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【答案】（1）；（2）；（3）当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 【分析】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围； （2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是， 设点，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在， 设直线BC的方程为，求出B点坐标，由直线联立，得到C点坐标，表示出的面积为S，建立关于k的函数关系式． （3）由（2）得由解得S的范围，得出结果． 【详解】（1）由题意得，所以， 即． （2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知得AN所在直线的方程为，即． 根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得． 解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以． 所以公路BC所在直线的方程为． 令，得，即． 将代入得，， 即 所以． （3）由（2）得． 有解得舍或． 当时，，满足条件． 故面积的最小值为15，此时． 综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 8．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【答案】（1）；（2）当时，，此时． 【解析】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 9．如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC=210 m，CD=240 m，DE=300 m，EA=180 m，AE∥CD，BC∥DE，∠C=90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少? 【答案】点P距AE15m，距BC50 m时所开发的面积最大，54150m2. 【分析】思路分析将问题转化为在线段AB上求一点P，使矩形面积最大，根据图形特征，可建立坐标系，求出AB的方程，设点P的坐标,写出面积的函数，求最大值即可. 【详解】 以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可得A(0，60)，B(90，0)， ∴AB所在直线的方程为=1，即y=60(1-). ∴y=60-x.从而可设P(x，60-x)，其中0≤x≤90， ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y). 故S=(300-x)(240-60+x)=-x2+20x+54 000(0≤x≤90)， ∴当x=-=15，且y=60-×15=50时， S取最大值为-×152+20×15+54 000=54 150(m2). 因此点P距AE15m，距BC50 m时所开发的面积最大， 最大面积为54 150 m2. 【点睛】本题考查了直线方程的实际应用题，考查了运算求解能力和解决问题能力，属于一般题目. 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与方程 考点01 直线的倾斜角和斜率 考点02直线的方程 考点03直线交点坐标和距离公式 考点04直线方程的应用 考点01 直线的倾斜角和斜率 1．已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：与：平行，则m的值是（   ） A． B．2或 C．6 D．或6 4．直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 6．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 8．“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 10．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 12．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为 . 考点02 直线的方程 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行，则平行线间的距离是 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．点关于直线的对称点是 4．已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 5．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为 . 6．已知的三个顶点，，，则边上的垂直平分线所在直线的方程为 ． 7．在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 8．求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 9．（1）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度后回到原来的位置，求的斜率； （2）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （3）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程. 10．已知直线，直线. (1)求证：直线过定点； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程. 11．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 考点03 直线交点坐标和距离公式 1．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 2．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 3．已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 4．（多选）已知圆：，则（   ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在3个点到直线：的距离都等于 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为 5．（多选）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则或 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线：，：的距离为 B．直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D．直线与互相平行，则的值是或 7．已知两条直线平行，则直线之间的距离为 . 8．已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求的面积. 9．（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 10．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 11．（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线方程的一般式和的周长． 考点04 直线方程的应用 1．（多选）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 3．在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 4．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    6．城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 7．公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 8．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 9．如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC=210 m，CD=240 m，DE=300 m，EA=180 m，AE∥CD，BC∥DE，∠C=90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少? 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $