八年级数学上学期期中模拟卷（湘教版2024第1～2章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列式子，分式有（    ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（本题3分）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 4．（本题3分）化简得（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 6．（本题3分）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中没有分解彻底的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知单项式串：，其中均为正整数，且．规定：，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以 ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，的值有10种不同的可能； ③若为整数，则满足条件的所有整数x之和为． 以上说法中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 12．（本题3分）分解因式： ． 13．（本题3分）若，则 ． 14．（本题3分）如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 15．（本题3分）计算： ． 16．（本题3分）如果，那么的值为 ． 17．（本题3分）已知两个多项式，若，则的值为 ． 18．（本题3分）已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）计算 (1) (2)解方程：． 20．（本题6分）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法； (2)请你按照上述方法分解因式：； 21．（本题8分）2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 22．（本题8分）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 23．（本题9分）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 24．（本题9分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 25．（本题10分）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 26．（本题10分）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列式子，分式有（    ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【思路引导】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：整式有：； 分式有：．共有5个， 故选：B 2．（本题3分）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【规范解答】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 3．（本题3分）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【思路引导】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【规范解答】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 4．（本题3分）化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【规范解答】解： ． 故选B． 5．（本题3分）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 【答案】C 【思路引导】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键． 根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解． 【规范解答】解： ， 根据题意，得， 所以， 所以． 6．（本题3分）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题干完成通分后，再根据同分母的分式加减法运算法则求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， 故选：B． 7．（本题3分）一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中没有分解彻底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．利用综合提公因式和公式法进行因式分解对各选项判断作答即可． 【规范解答】解∶A．，故A因式分解不彻底，符合题意； B．，分解彻底，不符合题意； C．，分解彻底，不符合题意； D．，分解彻底，不符合题意． 故选：A． 8．（本题3分）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【规范解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 9．（本题3分）随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据稀释前后溶质保持不变进行列式即可．本题考查了列分式方程解应用题，关键是了解浓度问题中的等量关系：浓度溶质质量溶液质量． 【规范解答】解：2浓度为的酒精中溶质的质量为， 加水后，溶液质量为，溶质质量保持不变， ∵浓度变为， ∴． 故选：C． 10．（本题3分）已知单项式串：，其中均为正整数，且．规定：，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以 ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，的值有10种不同的可能； ③若为整数，则满足条件的所有整数x之和为． 以上说法中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查整式的加减，分式的求值： ①根据条件列举所有可能的和组合，计算对应的并求和，验证结果是否为； ②分析时的可能组合，计算对应的值，统计不同值的数量是否为10种； ③对每个可能的，求满足为整数的整数，验证其和是否为． 【规范解答】解：当时，， 和满足，可能的组合为、、． 故对应的分别为、、． 三者相加得，故①正确． 当时，， ∴， ∵满足， ∴， ∴， ∵均为整数， ∴值为共7种，故②错误． 由①可知：分别为、、， 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 所有可能的为，其和为，故③正确． 综上，正确的说法为①和③，共2个， 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了分式的定义， 根据“形如中，分母B中含有字母的式子叫做分式”解答即可. 【规范解答】解：分式有：. 故答案为：. 12．（本题3分）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式即可． 【规范解答】． 故答案为：． 13．（本题3分）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是分式的乘方运算，熟练掌握乘方的运算法则是关键，根据分式乘方运算法则计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 【答案】 【思路引导】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【规范解答】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 15．（本题3分）计算： ． 【答案】2019 【思路引导】观察分子分母的式子特点．对于和，尝试对式子进行变形化简；对于和也通过变形构造出可以约分的形式，从而简化计算．本题主要考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，包括平方差公式和完全平方公式的应用．熟练掌握这些公式的变形和灵活运用是解题的关键． 【规范解答】解：.   ， 故答案为：． 16．（本题3分）如果，那么的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，负整数指数幂，根据已知可得，同底数幂的乘法运算法则得出，代入即可． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 17．（本题3分）已知两个多项式，若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式的运算，分式的化简求值，利用整体代入法是解题的关键．化简，得到，然后将代入化简即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（本题3分）已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式以及因式分解的应用；将两式作差并利用完全平方公式计算后再与0比较大小即可． 【规范解答】解： ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）计算 (1) (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，乘法公式的灵活应用，解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 移项，解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 20．（本题6分）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法； (2)请你按照上述方法分解因式：； 【答案】(1)平方差公式和提公因式，提公因式 (2) 【思路引导】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【规范解答】（1）解：小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式和提公因式法， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：平方差公式和提公因式，提公因式． （2）解： ． 21．（本题8分）2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 (2)有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 22．（本题8分）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【思路引导】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 23．（本题9分）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 【答案】(1)B (2)三，分式的基本性质 (3)四，第二个括号去括号时后两项没有变号 (4) 【思路引导】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分、几种常见的分解因式的方法和完全平方公式． （1）观察分式中的分子和分母进行判断即可； （2）观察第二步的过程，然后进行判断即可； （3）观察化简过程，然后根据去括号法则进行判断即可； （4）按照化简分式的一般步骤，进行化简即可． 【规范解答】（1）解：第一步将原式中的这一项变形为属于分解因式， 故选：B； （2）解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； （3）解：第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四，第二个括号去括号时后两项没有变号； （4）解： ， 故答案为：． 24．（本题9分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 【答案】(1)40元，48元 (2)20件 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可； （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件，甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件．则由“两种商品全部售完后共获利不少于元”列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种商品的每件进价分别是x元，元， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：甲、乙两种商品的每件进价分别是40元，48元． （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件， 甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件． ，，，， 则， 得． 由题意得，a取整数，所以a最大取20． 答：甲种商品按原销售单价销售最多销售了20件． 25．（本题10分）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 26．（本题10分）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【规范解答】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·答案版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B C B A B C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．， 12． 13． 14． 15．2019 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 移项，解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 20．（本题6分）（1）解：小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式和提公因式法， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：平方差公式和提公因式，提公因式． （2）解： ． 21．（本题8分）（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 22．（本题8分）解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 23．（本题9分）（1）解：第一步将原式中的这一项变形为属于分解因式， 故选：B； （2）解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； （3）解：第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四，第二个括号去括号时后两项没有变号； （4）解： ， 故答案为：． 24．（本题9分）（1）解：设甲、乙两种商品的每件进价分别是x元，元， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：甲、乙两种商品的每件进价分别是40元，48元． （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件， 甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件． ，，，， 则， 得． 由题意得，a取整数，所以a最大取20． 答：甲种商品按原销售单价销售最多销售了20件． 25．（本题10分）（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 26．（本题10分）（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $