八年级数学上学期期中模拟卷（湘教版2024第1～2章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了提公因式法因式分解． 将原多项式每一项都提取公因式即可． 【规范解答】解：， 故选：A． 2．（本题3分）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了用平方差公式因式分解，掌握平方差公式的形式是解题关键．根据平方差公式的特点即可求解． 【规范解答】解：可以用平方差公式进行因式分解的有①；③；④；⑤； 故选：C． 3．（本题3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 【答案】A 【思路引导】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【规范解答】解：毫米， 故选：A． 4．（本题3分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分式方程， 根据，可得，即可得出答案 【规范解答】解：∵， ∴， 所以原方程可化为. 故选：C 5．（本题3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【规范解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍， 可列出相应的方程：， 故选：A． 6．（本题3分）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【规范解答】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 7．（本题3分）分解因式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了用提取公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．识别公因式，提取公因式分解因式即可． 【规范解答】解： ． 故选：B． 8．（本题3分）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【规范解答】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 9．（本题3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键． 【规范解答】解：， ． 方程两边同乘，得 ． 故选：B． 10．（本题3分）已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的化简以及探究式子的规律．通过计算确定第个式子的变化规律和第个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ，， ，， ， 当为奇数时（1除外）， ，， 当为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当时，，故②正确； 由规律知，故③错误； 综上，正确的有①②，一共2个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）计算： ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了零指数幂，负整数指数幂． 先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可． 【规范解答】， 故答案为：． 12．（本题3分）“香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法进行表示即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：， 故答案为：． 13．（本题3分）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 【答案】 【思路引导】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【规范解答】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 15．（本题3分）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】此题考查解分式方程，分式方程无解，分两种情况：①将分式方程化为整式方程后，未知数的系数为，整式方程无解，从而分式方程无解；②未知数的系数不为时，最简公分母为，整式方程的解是分式方程的增根，从而分式方程无解，据此解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【规范解答】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，整式方程无解，即分式方程也无解； 当，即时， 解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或． 16．（本题3分）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 17．（本题3分）已知：，则 ； 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 18．（本题3分）已知两个多项式，若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式的运算，分式的化简求值，利用整体代入法是解题的关键．化简，得到，然后将代入化简即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用分式的混合运算法则，先化简括号内的，再进行除法即可； （2）利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得， 检验：把代入得， ∴是分式方程的解， ∴方程的解为． 20．（本题6分）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】(1) (2)7，，2， 【思路引导】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 21．（本题8分）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【规范解答】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 22．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母 (2)， (3)见解析 【思路引导】本题考查了分式加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据分式的混合运算，逐步分析找出错误及错因； （2）根据分式的混合运算正确计算，化为最简，再代入求值； （3）根据分式的混合运算，写出注意事项，答案不唯一，合理即可． 【规范解答】（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 23．（本题9分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 【答案】(1)40元，48元 (2)20件 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可； （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件，甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件．则由“两种商品全部售完后共获利不少于元”列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种商品的每件进价分别是x元，元， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：甲、乙两种商品的每件进价分别是40元，48元． （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件， 甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件． ，，，， 则， 得． 由题意得，a取整数，所以a最大取20． 答：甲种商品按原销售单价销售最多销售了20件． 24．（本题9分）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由见解析 【思路引导】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【规范解答】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 25．（本题10分）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得 ，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【规范解答】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 26．（本题10分）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【思路引导】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【规范解答】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·答案版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A C A C B C B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．5 12． 13． 14． 15．或 16. 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）解：（1） ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得， 检验：把代入得， ∴是分式方程的解， ∴方程的解为． 20．（本题6分）（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 21．（本题8分）（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 22．（本题8分）（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 23．（本题9分）（1）解：设甲、乙两种商品的每件进价分别是x元，元， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：甲、乙两种商品的每件进价分别是40元，48元． （2）设甲商品按原销售价销售了a件，则乙商品按原销售价销售了件， 甲商品降价销售了件，则乙商品打折销售了件． ，，，， 则， 得． 由题意得，a取整数，所以a最大取20． 答：甲种商品按原销售单价销售最多销售了20件． 24．（本题9分）（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 25．（本题10分）（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 26．（本题10分）（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（本题3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 4．（本题3分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）分解因式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）计算： ． 12．（本题3分）“香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为 ． 13．（本题3分）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 14．（本题3分）如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 15．（本题3分）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 16．（本题3分）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 17．（本题3分）已知：，则 ； 18．（本题3分）已知两个多项式，若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）（1）化简：； （2）解方程：． 20．（本题6分）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 21．（本题8分）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 22．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 23．（本题9分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品的每件进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元/件，乙种商品的销售单价为80元/件．甲、乙种商品共销售了60件后，将剩余的甲种商品降价5元销售，将剩余的乙种商品按原销售单价的七折销售；要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价销售最多销售了多少件？ 24．（本题9分）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 25．（本题10分）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 26．（本题10分）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $