专题15 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题15 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． （2）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得： 整理得：， 解得：， 检验：当时， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解是． 【变式1-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得    检验：将代入 ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 【变式1-2】解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意验根． （1）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可； （2）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解． 即原方程无解． 【变式1-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2．对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式2-1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式2-2】佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式2-3】解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析 【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变， 故答案为：二，等式的性质2； （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：三，去括号时忘记变号； （3）， ， ， ， 解得：， 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解； （4）最后一步忘记检验 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解． 类型三、已知分式方程的增根求参数 1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 【变式3-1】若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】当 时，方程会产生增根． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 【变式3-3】若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是  0x = 非零数  的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。 例4．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【变式4-1】如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 【变式4-2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 【变式4-3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的"先解方程，后代入"思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： - 情况一：转化后的整式方程本身无解。 - 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 例5．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 【变式5-1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式5-2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 【变式5-3】已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． 类型六、分式方程中的规律探究问题 1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。 2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。 试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。 把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 类型七、分式方程中的新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3. 求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。 例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，由分式方程有增根，得到最简公分母，进而可得答案． 【详解】解：方程的最简公分母为， 由分式方程有增根，得到， 即， 则增根是， 故选：． 3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 原方程无解， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解． 【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴方程的解是， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 二、填空题 6．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了根据分式的无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 化分式方程为整式方程，然后利用分式无解的情况求参数即可． 【详解】解： 当时，原分式方程无解，此时，； 当时，，代入上式得，； 当时，，代入上式无解； 综上a的值为5或， 故答案为：5或． 7．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 9．（2024·宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 【答案】第n个方程为，其解为 【分析】本题主要考查了与分式方程有关的规律探索，观察可得规律，第n个方程左边的式子的分子为n，分母为，方程右边的式子，第一项分子为，分母为，第二项为，其解为，据此规律求解即可． 【详解】解：①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是； ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 10．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）， 两边都乘以，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （2）， 两边同乘以，去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （3） 两边都乘以，得 ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 12．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得，① 去括号，得，② 解得， 检验：当时，，③ 所以是原分式方程的解．④ (1)你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）； (2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项； (3)写出上述分式方程的正确解法． 【答案】(1)①② (2)注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②； （2）根据解分式方程的方法写出注意事项即可； （3）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：第①步去分母错误，应该为 第②步移项后变号和去括号错误，应该为 小明在①②出现了错误； 故答案为：①②； （2）两条注意事项：注意方程中的每项都要乘以最简公分母；解分式方程求出x的值要进行检验（答案不唯一）； （3）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解． 【详解】解：去分母，得． 去括号、移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． ， ， 即． ， ∵解为非负数， ， ， 且． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； （3）证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 17．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）阅读理解，并根据所得规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______； (3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3),． 【分析】（）根据已知材料即可得出答案； （）根据已知材料即可得出答案； （）把方程转化成或，由材料得出或，求出方程的解即可； 此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴由关于的方程得到或； 故答案为：或； （3）解：， ， ， ∴或， ∴，． 18．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题15分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。 这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个 解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1.解分式方程： m兴 0 2),x=2-3 2x-1 1-2x 【变式1-1】解方程： m,2 2x+14=1. x-1x2-1 【变式1-2】解方程 1)1 212-4=1 x-2x2-4x+21 【变式1-3】解方程： 2)+1-1=4 x-1 1-x2-1 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出”小明“或”小红”是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照*”去分母、解整式方程、检验”*的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解 例2.对于分式方程2 十=本1的求解过程，小叶同学的解答如下一 解：方程两边同乘x+山，得x+x+七+山 第一步 x+1 2=x+1, 第二步 x=1. 第三步 检验，当x=1时，x+1=2≠0， 所以，x=1是分式方程的解 第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程 【变式2】下面是小亮国学解方程。三3一二)的过程，请阅读并完成相应在多 解：去分母得，1=3+(x-),第一步， 去括号得，1=3+x-1,第二步， 解得，x=-1.第三步， 检验：当x=-1时，2-x≠0，第四步， ·x=-1是原方程的根，第五步. 任务： (1)小亮同学的求解过程从第_步开始出现错误，错误的原因是-： (2)请你改正并写出完整的解方程过程： 3)解分式方程产生增根的原因是_ 【变式2-2】佳佳计算分式方程-=，1 -2的过程如下： x-33-x 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解方程： 1-x=1-2 x-33-x 去分母，得1-x=-1-2 第①步 移项，得-x=-1-2+1 第②步 合并同类项，得-x=-2 第③步 系数化1，得x=2 第④步 经检验，x=2是该分式方程的解 (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是 (填序号)： (2)请你写出正确的解答过程。 4 【变式2-3】解分式方程： -1 x2-4x+4x-2 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务 4 解：X2-4x+4x-2 21第步 4 4=x(x-2）-(x-2）2第二步 4=x2-2x-X2-4x+4…第三步 解得：X=0第四步 任务一：填空 (1)第步是去分母，去分母的依据是」 (2)第步出现错误，错误的原因是 任务二：填空 (3)直接写出该分式方程的正确结果 (4)解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整. 类型三、已知分式方程的增根求参数 1.确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选”。 这一步是解题的关键前提。 2.代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3.关于x的分式方程2，m =1有增根，则m的值为 x-11-x 【变式31】若关于x的方程+口+x =1有增根，则a的值是 x-2x-2 【变式3-2】当m=」 时，方程2x”3会产生增根 x-3 【变式33】若分式方程，-)品1有增根，则它的塔根是 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是Ox=非零数的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮”已知增根求参数"是一样的。 例4.关于x的分式方程2。+m心3 x-2-4x+2无解，则m的值为 【变式41】如果关于的方程一4，m=m+4无解，则m的值为」 x-33-x 【变式4-2】已知关于x的分式方程x,=2+k x-3 x-3 无解，则k的值为 【变式4-3】已知关于的分式方程+：5=1，若分式方程无解，则a的值为」 x-2x 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的”先解方程，后代入”思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： 情况一：转化后的整式方程本身无解。 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解>0或解<0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 4/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例5.若关于x的分式方程3-2=m+1的解为负数，则m的取值范围是 x+1x+1 【变式51】关于x的方程+？m,的解是个正数，那么m的取值范围是」 x-2x-2 【变式5-2】若关于x的分式方程mx'+,L=2有整数解，则整数m的值为 十 x-22-x 【变式5-3】已知分式方程2红+ =-1. x-3 (1)若分式方程无解，则b的值为」 (2)若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为」 类型六、分式方程中的规律探究问题 1.解前几个方程，找规律：题目通常会给你n=1,n=2,n=3.时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号n放在一起观察。 2.猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号n之间有什么联系。 试着用含n的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律的正确性：找到规律后，最好再用n=4或n=5来验证一下。 把n值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6.(2425八年级下湖北十堰期末)下列一组方程：①x+X3-4,②x+2x4-6:③x+3x5 8;… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由Ox+1x3=1+3,得x=1或x=3: 由②x+2x4=2+4,得x=2或x=4: 由③x+3x5=3+5,得x=3或x=5. (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解。 (②)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解。 (S)若n为正整数，关于x的方程x+n(n+2 =2n+1的一个解是x=5,求n的值. x+1 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江绍兴期末)先阅读下面的材料，然后回答问题： 1 1 1 防程x+2+的解为x2,3)方程x+3+的解为x3,3一 2 3 1 1 (1)根据上面的规律，猜想x+二=a+二的解为_ a 巴用（1)中的结论，将方程+生子变形为上a+之的形式求解： 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解方程：x+ 2x+313 x+13 【变式6-2】(24-25八年级上北京顺义期中)观察下列方程及其解的特征 第1个方程：12的解为x=x2=1 第2个方程：+士的解为=2号 x2 第3个方程x+ 110 1 的解为x=3=3 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程x+2的解为 x 5 (2)关于x的第n个方程为，它的解为 ； 3)利用上述规律解关于x的分式方程：x+,1一=a+3a+l 4x-6 2a 类型七、分式方程中的新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3.求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解 的有效性，避免出现增根。 例7.(24-25七年级上·上海虹口阶段练习)阅读理解题. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的和谐式”，这个常数称为A 关于B的“和谐值”. x+1 x+1 2x+2=2,则A是B的和谐式”，A关于B的和 x+1 谐值”为2. 、()已知分式C=x-2,D=3x =x一2，判断C是否为D的和谐式”，若不是，请说明理由：若是，请求出C关 于D的和谐值”. (②)已知分式M=、 9-r2V=、 =3一xM是N的和谐式”，M关于N的和谐值"是1，x为整数，且M的值 也为整数， ①求E所表示的代数式. ②求所有符合条件的x的值. 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6)已知分式A=r-5,B=x-2 x-2 ,A是B的和谐式”，则A关于B的“和谐值”是 x-2 (直接写出答案 即可). 【变式7-1】(24-25八年级下山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程“+1=b 的解是x三成立，那么我们就把实数4，b组成的数对Q,b称为关于x的分式方程+1=6的一个“关 数对”例如：口=2.b=-5使得关于x的分式方程子+1=-5的解是x2+-有成立，所以数对2-)就 1 是关于x的分式方程“+1=b的一个“关联数对” (1)下列数对是关于x的分式方程“+1=b的“关联数对”有 (填字母) A.[-2,4;B.[3,-5] -,2+n是关于的分式方程+1=b的“关联数对”，求的值. 1 (2)若数对 【变式7-2】(24-25八年级上湖南邵阳期中)新定义：如果两个实数α，b使得关于x的分式方程“+1=b的 解是x=1成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,b称为关于x的分式方程+1=b的一个“关联数 a+b 对。例如：0=2，：-5使剁关于的分式方程子1=5位解是2+有地立，所以数对2-到就 是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” ()判断下列数对是否为关于x的分式方程“+1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，打 “X”. ①[3，-5]()； ②1，-2](). 1 ②)若数对-儿十m是关于的分式方程+1=b的关联数对，求的值. (③)若数对2m+k,-个(m≠±士与，且m0,k≠-1)是关于的分式方程+1=b的“关联数对”，且关于x的 方程：-2m+1=4m x有整数解，求整数m的值. 2m+ 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 70 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级上贵州遵义期末)已知关于x的分式方程X,=+的解为x=-3,则a的值为() x-3x-1 A.1 B.2 C.-1 D.-2 2(2025八纸级上全国专练D若关于x的分式方程+5：有增根，则增根是（了 x-1 A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 3(2021八年级上候西西安期未)若关于的分式方程，42=4”：无解。则m的值为《) 4-x A.-2 B.2 C.-4 D. 4.(2425八年级下河南南阳阶段练习)对于实数a、b,定义一种新运算“⑧为：a⑧6=1 -，这里等 式右边是实数运算，例如：1⑧3一3三。：则方程x®(-=二-1的解是()门 x-1 A.x=2 B.x=3 C.x=4 D.x=I±7 2 5.(24-25八年级上河南安阳期末)观察规律： -+-0+ 0号-- (n为正整 数)，则n的值为() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 二、填空题 62024人年教上简商后件完赛)已知关于x的分式方程中1无解，则。的值为- 7.(25-26九年级上北京海淀开学考试)若关于x的方程★+，2=1的解为正数，则的取值范围 x-11-x 是一 8。（2025黑龙江哈尔滨三模)对于实数m、、定义一科新运算紧”为mm=m疗，这里等式右边是实 数运第，例：2※3=2子=与则方程测-刂=己1的解为一 x-1 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2024宁夏吴忠一模)观察下列等式①12，-1的解是：=0；② 24 -1的解是x=1;③ x+1x+1 x+1x+1 3=6-1的解是x=2;④4=8-1的解是x:3.根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的 x+1x+1 x+1x+1 解 x≤a 10.(23-24九年级上·重庆九龙坡期中)如果关于x的不等式组 +1>x+1至少有3个整数解，且关于 x- 2 3 4 y的分式方程 ,a=1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是 y-2'2-y 三、解答题 11.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)解分式方程： 5x=1-,6 (1) -2 2-x 321 22-9x-3x+3 6x,-,6=2. x-22-x 12.(24-25八年级下，宁夏银川期末)请阅读下列材料并回答问题： 在择分式方程品合时个明的法红下 解：方程两边同乘以x+1)(x-1,得2(x-1-3=1,① 去括号，得2(x-1=3-1,② 解得x=2 检验：当x=时，(x+1x-+0,③ 2 所以x=是原分式方程的解.④ 2 (1)你认为小明在哪里出现了错误_（只填序号)： (②)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事 项； (3)写出上述分式方程的正确解法. 13.(2025八年级上全国专题练习)若关于x的方程+m-3=x- 的解为非负数，求m的取值范围. x-22-x 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(23-24八年级下·江苏宿迁期中)定义a⑧b=2a+ 根据定义，解答下列问题： b (1)28(-1)= @i计算®+)+8-)g x-y (3)求方程2⑧(x-2)=1⑧(4-2x)的解. 15.(24-25七年级下·安微合肥阶段练习)观察下列方程及其解的特征： ①x13的解为5=2，x,=- x2 2 ②r-18 的解为=3，=3 1 ③x-上5的解为x=4,名= 4 解答下列问题： ()第4个方程x-1=24 的解为 x 5 (②)请猜想第n个方程为 ;第n个方程的解为 (3)请根据方程的解的定义验证(2)中猜想的方程的解的正确性. 16.(25-26八年级上·全国课后作业)阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程 中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式 方程的根，但不是原分式方程的根。已知关于x的分式方程2，+mx,三2 tx-2x2-4x+2 (1)若方程的增根为x=2,求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值. 17.(24-25八年级上·贵州铜仁期中)阅读理解，并根据所得规律答题， 小明同学在一次教学活动中发现：方程x+2+号的解为气=2，。分：方程x+3+兮的解为气=3， 1 名：方程x+士4+的解为=4，名号以此类推： 1 4 (①请你依据小明的发现，猪想关于x的方程x+1=5+上的解是」 5 ； (②)根据上述的规律，猜想由关于x的方程x+1+L 1 =a+-(a≠0)得到x+1=; x+1 (3)拓展延伸：由(2)可知，在解方程：x++2_65 1 时，可变形转化为x+二=a+二的形式求值，按要求 x+18 10/11